高考数学总复习第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第七章第七章 立体几何立体几何第二节第二节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,能运用四个基本事实解决一些简单的证明问题.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.平面的基本性

2、质平面的基本性质(1)基本事实1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 提醒三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个.所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.(2)基本事实2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.必备知识 整合 必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系:平行共面直线相交异面直线

3、不同在任何一个平面内必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 (2)异面直线所成的角:(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(ii)范围:.0,2(3)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 3.空间直线与平面、平面

4、与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. 提醒提醒直线l和平面相交、直线l和平面平行统称为直线l在平面外,记作l .(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 知识拓展知识拓展1.基本事实1的三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居

5、中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.唯一性定理:(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共

6、点,那么这两个平面重合.()(4)没有公共点的两条直线是异面直线.()必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.(新教材人教A版必修第二册P131练习T1改编)是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m ,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行D必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 3.若直线a不平行于平面,且a ,则下列结论成立的是()A.内的所有直线与a异面B.内不存在与a平行

7、的直线C.内存在唯一的直线与a平行D.内的直线与a都相交B必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 4.(2020浙江衢州四校联考)设m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若,=m,mn,则nD.若,m,n,则mnD必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 5.(易错题)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是b与相交或b或b.【易错点分析】【易错点

8、分析】判断直线与平面的位置关系时,忽视“直线在平面内”致误.必备知识 整合 关键能力 突破 考点一共点、共线、共面问题考点一共点、共线、共面问题关键能力 突破 1.在三棱锥A-BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,若EFHG=P,则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上B必备知识 整合 关键能力 突破 2.如图,P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点共面的序号是()A.B.C.D.D必备知识 整合 关键能力 突破 3.下列说法正确的是()A.三点可以确定一个平面B.一条直

9、线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面D必备知识 整合 关键能力 突破 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、AA1的中点,连接D1F、CE.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.必备知识 整合 关键能力 突破 证明证明(1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,E、F分别是AB、AA1的中点,EFA1B,且EF=A1B.又A1D1BC,A1D1=BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BCD1,EFCD1,EF与CD1能够确定一个平面ECD1F,即E、C、D1、F四点共面.12必备知识

10、 整合 关键能力 突破 (2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1,四边形CD1FE是梯形,CE与D1F必相交,设交点为P,则PCE,且PD1F,12必备知识 整合 关键能力 突破 CE平面ABCD,D1F平面A1ADD1,P平面ABCD,且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三线共点.必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评1.证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.2.证明点共线问题的2种方法(1)

11、先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上.3.证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.必备知识 整合 关键能力 突破 考点二空间两直线的位置关系考点二空间两直线的位置关系典例典例1(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为()A.B.C.D.D必备知识 整合 关键能力 突破 (2)(2019课标理,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.

12、BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线B必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(2)过E作EQCD于Q,连接BD,QN,BE,易知点N在BD上.平面ECD平面ABCD,平面ECD平面ABCD=CD,EQ平面ABCD,EQQN,同理可知BCCE,设CD=2,易得EQ=,QN=1,则EN=2,BE=2.易知BE=BD,322EQQN3 122BCCE442必备知识 整合 关键能力 突破 又M为DE的中点,BMDE,BM=,BM=2=EN.BMEN.又点M、N、B、E均在平面BED内,BM,EN在平面BED内,又BM与

13、EN不平行,BM,EN是相交直线,故选B.22BEEM8 177必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过合理的推理,推出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)定理:过平面外一点A与平面内一点B的直线,与平面内不过点B的直线是异面直线.(3)模型法:对于线面、面面平行或垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体,化抽象为直观来进行判断.必备知识 整合 关键能力 突破 1.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列

14、结论正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交D必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,故选D.必备知识 整合 关键能力 突破 2.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则()A.acB.a,c是异面直线C.a,c相交D.a,c平行或相交或异面D解析解析 若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c可以平行,可以相交,可以异面.必备知识 整合 关键能力 突破 考点三异

15、面直线所成的角考点三异面直线所成的角典例典例2如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.15253545D必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析如图,连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故cosA1BC1=,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.25552255 4545必备知识 整合 关键能力 突破 变式变式1将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1

16、,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.12必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1,得AA1=1.此时正四棱柱变为正方体ABCD-A1B1C1D1.如图所示.由图知A1B与AD1所成角为A1BC1或其补角,连接A1C1,BC1,则A1BC1为等边三角形,必备知识 整合 关键能力 突破 A1BC1=60,cosA1BC1=,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.1212必备知识 整合 关键能力 突破 变式变式2将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与A

17、D1所成角的余弦值为”,其他条件不变,则的值为3.9101AAAB解析解析设=t,则AA1=tAB.AB=1,AA1=t.A1C1=,A1B=BC1,cosA1BC1=.t=3,即=3.1AAAB221t 2222112211tttt 9101AAAB必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出所作的角.若求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;若求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020广

18、东江门模拟)正方体的平面展开图如图所示,AB,CD,EF,GH四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线成60角的有()A.1对B.2对C.3对D.4对D必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 平面展开图对应的正方体如图,其中AB与GH,AB与EF,GH与CD,EF与CD所成的角均为60,共有4对.故选D.必备知识 整合 关键能力 突破 2.(2020辽宁本溪满族自治县高级中学模拟)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的新纸的长与宽之比仍约为,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为()22A.B.C.D.64323C必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 ABCD,EDC(或补角)为异面直线DE与AB所成的角,设CD的中点为O,过E作EF底面O,连接OE,OF,E是的中点,F是的中点,CDOF,又EF平面O,EFCD,EFOF=F,CD平面OEF,ABCD必备知识 整合 关键能