中考数学专题复习一线三角三等角型

1、“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位， 在学习三角形相似形时， 我们从复杂图 形中分离出基本数学模型， 对分析问题、 解决问题有化繁为简的效果。 在近几年的中考题中， 经常可以看到“一线三等角”的数学模型， 所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三 个角相等。 所以，只要见到一条直线上出现了三个等角， 往往都存在这样的模型， 也会存在 相似三角形， 当出现了有相等边的条件之后， 相似就转化为全等了， 综合性题目往往就会把 相似和全等的转化， 作为出题的一种形式， 需要大家注意。 本文将重点对这一基本图形进行 探讨。 通过对题目的有效分解， 打破同学们对综合题

2、的畏惧心理， 让同学们加深对于题目条 件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力， 在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。 一、知识梳理：（1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点 M在BC边上运动，直角边分别与射线BA射线CD交于E、F,在运动过程中， EBMhA MCF.（2）如图1:已知三角形 ABC中，AB=ACZ ADEN B,那么一定存在的相似三角形有 ABMA DEC.如图2:已知三角形 ABC中, AB=AC,Z DEF=/ B,那么一定存在的相似三角形有 DBEA ECF.（图 1）（图 2）二、

3、【例题解析】【例 1】（2014 四川自贡）阅读理解:如图1,在四边形ABCD勺边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED EC, 可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD勺边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点解决问题:（1） 如图1,Z A=Z B=Z DEC=55，试判断点 E是否是四边形 ABCD的边AB上的相似点， 并说明理由；（2）如图2,在矩形 ABCD中, AB=5, BC=2且A, B，C, D四点均在正方形网格（网格中 每个小正方形的边长为 1）的格点（即

4、每个小正方形的顶点）上，试在图 2中画出矩形 ABCD 的边AB上的一个强相似点 E;拓展探究:（3）如图3,将矩形ABCD沿 CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形 ABCM勺边AB上的一个强相似点，试探究 AB和BC的数量关系.【练习】1、 已知矩形 ABCD中，AB=3 , AD=2 ，点P是AB上的一个动点，且和点 A,B不重合，过 点P作PE垂直DP,交边BC于点E,设,PA=x , BE=y,求y关于x的函数关系式，并写出 x 的取值范围2、如图，已知正方形 ABCD将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，

5、连接ON若0N=8求MQ的长3.如图，在矩形 ABCD中, AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点(不与 BC重合)连接DE,作EF丄DE, EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式(2) 若m=8求x为何值时，y有最大值，最大值是多少12(3) 若y，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少m【例2】等边 ABC边长为6, P为BC边上一点，/ MPN60°,且PM PN分别于边 AB AC 交于点E、F.(1) 如图1,当点P为BC的三等分点，且 PEIAB时，判断 EPF的形状；(2) 如图2,若点P在BC边上运动，且保持

6、 PE±AB设BP=x，四边形 AEPF面积的y, 求y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(3) 如图3,若点P在BC边上运动，且/ MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.分析过程：(EPF为等边三角形(2 )设 BP=x 贝U CP= 6-x.由题意可 BEP的面积为2X . CFP的面积为£6x)2 . ABC的面积为9.3.设四边形AEPF的面积为y.y 9 3 IP 号6 x)2= H2 心 93自变量x的取值范围为3v xv 6.(3)可证 EBPA PCF.aBPCFBECP .设 BP=x，则 x(6 x) 8.解得x,4,x2 2.

7、PE的长为4或 2 3【练习】如图，在厶ABC中, AB=AC=5cm BC=8，点P为BC边上一动点(不与点 B C重合)， 过点P作射线PM交AC于点M 使/ APM/ B;(1) 求证： ABMA PCM(2) 设BP=x, CMy.求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围.(3) 当厶APM为等腰三角形时，求 PB的长.(4) 当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.【例3】在ABC中,C 90o, AC是AC上的一个动点,AC 24,BC 3,O是AB上的一点，且 竺 -，点PAB 5PQ OP交线段BC于点Q,(不与点B,C重合)，已知AP=2,求CQ【

8、练习】在直角三角形ABC中,C 90o,AB BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF(1) 、当点D是边AB的中点时，求证:(2) 、当也 m，求匹的值DBDFDE, DF与射线BC相交于点F.DE DF【例4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点A( - 3, 0), B, C(0, - 3).（1）求抛物线的解析式；若点P为第三象限内抛物线上的一点，设厶PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D, DEL x轴于点E,在y轴上是否存在点 M使得 ADM是直角三角 形若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明

9、理由.27o15答案：（1）y=x2+2x - 3; （2）S有最大值，点P的坐标为（， 一）;82437M的坐标为（0,）或（0,）或（0，- 1）或（0，- 3）.22课后作业：1. 已知：如图，在 ABC中，AB AC5 , BC 6，点 D在边 AB上, DEAB ,点E在边BC上又点F在边AC上，且 DEF B .（1）求证： FC0A EBD当点D在线段AE上运动时，是否有可能使S FCE 4S EBD 如果有可能，那么求出 BD的长如果不可能请说明理由.2. 如图，在 ABC中, AB=A（=5, BC=6, P是BC上一点，且 BF=2,将一个大小与/ B相等的角的顶点放在 P

10、点，然后将这个角绕 P点转动，使角的两边始终分别与 AB AC相交,交点为D E。（1）求证 BPSA CEP（2）是否存在这样的位置， PDE为直角三角形若存在，求出 的长；若不存在，说明理由。BD3.如图，在 ABC中，AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一个动点（与B、C不重合）,PEI AB与 E, PFL BC交 AC与 F,设 PC=x,记 PE= y1 , PF= y2(1)分别求yi、y关于x的函数关系式(2 ) PEF能为直角三角形吗若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。4. 如图，在厶ABC中, AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一个动点(与B C不重合),

11、PEI AB与 E, PF丄 BC交 AC与 F,设 PC=x, PEF的面积为y(1) 写出图中的相似三角形不必证明；(2) 求y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(3) 若厶PEF为等腰三角形，求 PC的长。5.已知在等腰三角形 ABC中，AB BC 4, AC 6 , D是AC的中点， E是BC上的动点(不与B、C重合)，连结DE ,过点D作射线DF ,使 EDF A,射线DF 交射线EB于点F，交射线 AB于点H (1) 求证： CED s ADH ;(2) 设 EC x, BF y . 用含x的代数式表示BH ; 求y关于x的函数解析式，并写出 x的定义域.6. 已知在梯形 A

12、BCDK AD/ BC ADc BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1) 如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=/ A. 求证； ABSA DPC 求AP的长.(2) 如果点P在AD边上移动(点 P与点A D不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE交直 线BC于点E,同时交直线 DC于点Q那么 当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y，求y关于x的函数解析式，并写 出函数的定义域； 当CE= 1时，写出AP的长(不必写出解题过程).答案：1.解：(1)V AB=AC/ B=Z C/ BED/ DEf=Z C+Z EFC90。又： DEF FCEA EBD55

13、(2)v BD=x, BE=x , EC 6 x33B :丄 BED/ EFC/ FCEA EBD.S FECS BEDEC 2卄（而）右Sfce4S5x)21811363 BD不存在11 65x32.解：(1)v ABAC'. / B=Z C/ DPCZ DPEZ EP(=Z BV BDR.Z EPC= / BDPABDh DCE(2)/ DPE=Z B 90 °若Z PDE=90，在 Rt ABH和 Rt PDE中3bh cos / ABH=cos / DP AB12/ PC=4 BD 5若Z PED=90 在 Rt ABH和 Rt PDE中3PDPDBDPEPEPC c

14、os / ABHtcos / PE=-BH PEAB PDPDBDPEPC20/ PC=4 BD 2035 （舍去）综上所述，BD的长为12CCFx43.解：(1) yi (6 x)5(2)/ FPE=/ B 90°若/ PFE=90°,在 Rt ABH和 Rt PFE中4245x T、y2 cos / ABhtcos / FPE=-BH-ABPFPEy2yi2452717若/ PEf=90°, 在 Rt ABH和 Rt PFE中3A cos / ABH=cos / FPE=-BHPFABPEyi4.解：（1）4x34 24x5 5 PEBA EPC- x(3 )当PC=x PFx ,PE(6 x),EHEP35511 41632 “、y -PFEHx(6 x)x(6 x)22 32575643)y(2 )T蛋X27525x(0 xPE=PF 时,EPCA PEBPC=BE=x,PE=EF 时,PH - PF2cos / EP片cosB,16旁6x)42x3x)10843当1FE=PF 时，PM 丄 EP-(6x),cos / FPMcosB,25综上所述，PC的长分别为x9、108、2443解:(1)v AB BC , AC/ CDEEDF又 EDFA