几何五大模型教师版

1、.word格式.几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，Si： S2=a:b ;3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示， Si: S2=a:b ;4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，Sa acd=S a bcd； 反之，如果 SA ACD=S A BCD,则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24, D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。【详解】根据等积变换知，5CD上皿一鼻。上必一不 ，一一 ，=-x 6 = 3（2）鸟头（共角）定理模型1

2、、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角 形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形 ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线 上的点B则有：Saabc： Sa ade= (ABX AC) :( ADX AE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！DBC如图连接BE,根据等积变化模型知，SA ade： Sa abE=AD : AB、SA ABE： Sa cbe=AE : CE,所以 SA ABE： SA ABC=S ABE： (Sa abe+S CBE)=AE: AC,因此 Sa ade： Sa abC= ( Sa

3、ade： $ abe) 乂 (Sa abe： Sa abc) = (AD:AB) X (AE: AC)。例、如图在 AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB :AD=5:2 , AE: EC=3:2 , ADE的面积为12平方厘米，求 ABC勺面积。工详解】根据鸟头模型可知：又处;又所以皿=豢蛋”=抬35。（平方厘米）.（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”） $ =凡（因为 S&UC = 33况 , 所以 _ S&Q5C = OBC）S：凡= T ： &用；S?二 Sj S# = 口。;/：口方：&in梯形5的对应份数为g+与 例、如图，梯形ABCD , AB与CD平行，

4、对角线AC、BD交于点O, 已知AOB ABOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯 形ABCD的面积。详解】由梯形蝴蝶定理的性质知.CD）25:35t所以 皿土 CD=5:7*所以5即 ：5皿c = .必，。9 = 5建7 = ：5 一49,即S3M 平方厘 米，而S*也=5皿=35平三厘米，所以梯形ABCD的面积为工25+35+35+49=144（平方厘米12、任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”）： $: 5： = 5/ Sm或者 xS, 二 5尸 5二;皿 CC =(S4 sMs4 + S3)例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形

5、BCD面积的1/3 ,且AO=2、DO=3 ,求CO 的长度是DO长度的几倍。BC【详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知， AO: OC = S3D:Sqg = 1 ： 3,所以 0C二3Ao=3X2=6,所以 OC： 0D=6:3二2:屋蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的 三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系。(4)相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和 其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角

6、形相似。3、相似三角形性质:相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似 比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方 。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类 中都含有BC平行DE这样的一对平行线！AA/I &G金字塔蚓G HQ 昱E DE AF AB AC BC AG S: AF，： AG2 o例、如图，已知在平行四边形那么FC的长度是多少？木 /WCR14 CABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4 ,【详解】根据平行四边形的性质知，平行于CD.所以由沙漏模型知, BF:FC = BE CD = 6 = 1 4,所以 FC=10

7、k= 8(5)燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性质：SA ABG： SA ACG=S BGE： SA CGE=BE - CESA BGA： SA BGC=S GAF： SA gcf=AF ： CFSA AGC- SA BGC=S A AGD)- SA bgd=AD : BD例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE: EC=2:3 , BD:DC=1:2 , AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米， 求三角形ABC的面积。【详解】如图所示，连接仃构造燕尾模型.根据燕尾模型性质可知，5、由 _ BD _ 工、

8、，、心f _ HE 2S “亡首 DC 2 Sc EH JLll- JruJJLJlJr现设份,则邑8尸2 份、S2 份 Shcf=4 份、 = 4x=1. 6份、5式疔=4x=2. 4 粉, 所以加/2+工 4=4. 4 份、$ 二2+3+4=9 份.“会二22I4XQ45 (平方厘米)。二、五大模型经典例题详解(1)等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少？K详解】把另外三个三等分点标出之后,正方形的3条边而、BC、CD就被分成 了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分 割成了 9

9、个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针 标记6.这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一，阴影部分被分割成了其巾 的3个=角形。根据等质变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相 等；BC边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、 &个三角形相等,因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分 之一，即！ 12X12-3=48.例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形 ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3 ,求阴影部分三角形PQM的面积。专业资料.学

10、习参考PPt详解】如图所示，连接CE、DE,由于DQ% ME平行，根据同底等高知，邑科f = 5皿皿同理根据长、HE平行，有邑网所以由于四边形四为直角梯形，所以5“小=$靠8-5皿-5“=!（5 + 7）（5 + 3）-：*5乂5-1乂3力=25,即阴影三 角形PQM的面积为25。（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD, BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD ,平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形 ABCD与四 边形EFGH的面积比。【详解】如图所示.连接AC、BD,由于在ABC、GEBF巾，乙钳C与/EEF互补，所以根据鸟头定理有区生=理匹=妇=!

11、|因为S3F BEBF 1x3 35亡=工,平仔匹之辱abcd = 1，所以S江ef = 3 ;同理可得51的=4 = H、S3gcf = 42 =g、SiiwG = 5乂3 = 15Q所以 s- =：=A =J_O8 +8 + 15 + 3 + 2 36 18Ui-L Jfr例2、如图所示，AABC的面积为1, BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG ,求 FGS的面积。所以【详解】首先根据等积变换模型知，5加广路的、福=5,_UGE。根据鸟头定理有沁=票售=衿=2,所以七班二行 5父以 CEDE 1x353 =年专=等=2,所以侬=25由所以S mGs FGf SG 1x

12、1二黑 黑二二；，所以 $ajD3 = ZSaFM * 所以5AjSt?=105M8 AD DC 1x4 4(3)蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少？K详解】如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设 州的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，BC=2AD,再根据梯形蝴蝶定 理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了 18份，阴影部分站 其中的8份，即阴影部分面积为：=189例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。t详解】如图所示，连接DE、CF。在梯形ED

13、CF中，根据梯形蝴蝶定理知,$iE1白D - S 50C r乂 型穴 、或0F X 5 iDOC =28 = 16 ）即 $ 江8 511rat = 4，所以 S庄8 = 8+4 = 12,=12x2 = 24 与边噜qfsc =24-5-2-8 = 9。例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。S而5油ER - 7 S三方号NECD所以【详解】设BD与CE的交点为0,连接明、DFc在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知,EO:CO = 1:2-又因为F为CE的中点，所以EO:尸0 = 2:1*在四边形BFDE中，由蝴蝶定

14、理知，EO-.FOS,Sl-A,所以弋 _u _uaBFD 一斤口3即 _ g 3三万“JCZ）o所以=彳S说口 = 染点号zsuD _ 77x 10 = 6.23 （平方厘米）2 Io10(4)相似模型例1、如图，正方形的面积为1, E、F分别为AB、BD的中点,GC=1/3FC,求阴影部分的面积。工详解】如图所示，作FH垂直BC于点H, GI垂直BC于点I,根据金字塔模型 知,CI ： CH=CGi CF=1:3；因为 F 是 BD 的申点，所以 CH=BH, CI. CB=1:6,即BI： BC=（6-1）： 6=5：6t 所以115 5-X - Xo2 2 6 24例2、如图，长方形A

15、BCD, E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H , OE垂直于AD ,交AD于E点，交AF于。点，已知AH=5,HF=3,求 AG 的长。AEd【详解】根据长方形的性质知，AB平行于DF,再根据沙漏模型知AB .DF = AH .HF = 5.3 又因为后为金O的中点 ：.OE FD = 12AB,OE = 5:- = W:3 2利用相似三角形性质可得;AG:DO=AB-OE = W:3r: AO = -xAF = -(5+3) = 422AG-4x-_4013(5)燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，是人8的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。工详解

16、勘口图,连接BE由于BE与CD平行,根据沙漏模型知，BG工GD=BE：CD=1:2O 现设5片础二1份，根据燕尾模型知，二2份、加=2份。因此整个正方形1 17ABCD 就是.（1+2+2）X2=10（份）.四边形 BGHF 占：-xl + -x2=-（份所2 36以工弓把取=120910*工=14 （平方厘米） 例 2、如图，在4ABC 中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC ,那么 ABC的面积是阴影 GHI面积的几倍？【详解】如图，连接AI.根据燕星模型知，SC!:Ss/=FC-AF = V.2 .Sg。: Sjacr = BD : DA = 211,所以 Sjq : Sscz: 53山=1:2:4,那么ECI1+2+4AB