圆的知识点总结及典型例题.docx圆的知识点总结及典型例题

1、圆章节知识点复习-16 -、圆的概念集合形式的概念:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;（补充2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条

2、直线。1、点在圆内d r点C在圆内;2、点在圆上d r点B在圆上;3、点在圆外d r点A在圆外;二、点与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离3、直线与圆相交无交点；2、直线与圆相切 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r；内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点/五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上

3、共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:AB是直径AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。中，: AB / CD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ；弧BA 弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即

4、：: AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在。中，. C、 D都是所对的圆周角 C D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，AB是直径或C 90C 90 AB是直径AD推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB.ABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜 边的一半的逆定理。在同圆或等圆

5、中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。中，四边形 ABCD是内接四边形 C BAD 180 B D 180DAE C九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN OA且MN过半径OA外端MN是。O的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理: 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其

6、中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：: PA、PB是的两条切线 PA PBPO平分 BPAH一、圆哥定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，弦AB、CD相交于点P,PA PB PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。0 中，.直径 AB CD, CE2 AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与即：在。中，PA是切线，PB是割线圆交点的两条线段长的比例中项。PA

7、2 PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在。中，PB、PE是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：0102垂直平分 AB。即：01、o 02相交于A、B两点十三、圆的公切线0102垂直平分AB两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长：Rt 0102c中,AB2C012O1O22 C022 ;(2)外公切线长：C02是半径之差;内公切线长：C02是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在。中 ABC是形，有关计算在Rt BOD中进行：0D

8、 : BD :0B 1:石:2；(2)正四边形同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,0E: AE:OA 1:1: 72 :(3)正六边形同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:0B:0A 1: 3:2.卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：i LR；180(2)n R2扇形面积公式：S 3601 -lR 2n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S :扇形面积2、圆柱：(1)圆柱侧面展开图S表 S侧 2s底=2 rh 2 r2(2)圆柱的体积：Vr2h(2)圆锥侧面展开图(1) S表 S侧 S底=Rr r2(2)圆锥的体积：V 1 r2h3典型

9、例题例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示(点O, O'是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求 /TPN的大小.例2.如图，AB为。直径，E是BC中点，OE交BC于点D, BD=3 , AB=10 ,则AC=例3.如图，O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()例4.如图，在。中，AB、CD是两条弦，OEAB, OFXCD,垂足分别为 EF.(1)如果/ AOB= / COD ,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2)如果oe=of,那么Ab与Cd的大小有什么关系？ ab与cd的大小有什么关系？

10、/为什么？ / aob与/ COD呢?D例5.如图3和图4, MN是。O的直径，弦 AB、CE 相交于 MW 上的一点 P, ZZAPM= / CPM .(1)由以上条件，你认为 AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2)若交点P在。的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例6如图，点。是/ABC的内切圆的圆心，若 Z BAC=80 ,则/ BOC=()A. 130° B, 100° C, 50° D, 65°例7.如图，AB为/0的直径，C是/0上一点，D在AB的延长线上，且 /DCBWA(1) CD与/0相切吗？如果相切，

11、请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2)若CD与/0相切，且 /D=30 , BD=10，求/0的半径.例8.如图所示，点 A坐标为(0, 3), OA半径为1,点B在x轴上.(1)若点B坐标为(4, 0), ZB半径为3,试判断/A与/B位置关系;(2)若/ B过M (2, 0)且与ZA相切，求B点坐标.例9.如图，已知正六边形 ABCDEF ,其外接圆的半径是 a, /求正六边形的周长和面积.例10.在直彳空为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于 ZABC 的矩形水池 DEFN,其中D、E在A

12、B上，如图24 94的设计方案是使AC=8 , BC=6 .(1)求/ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x,且h DN -NF ,当x取何值时，水池 DEFN的面积最大? h AB(3)实际施工时，发现在AB上距B点1 . 85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例11.操作与证明：如图所示，。是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇a.形纸板的圆心放在。处，并将纸板绕 O点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值例12.

13、已知扇形的圆心角为 120°,面积为300 cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?例13、如图，AB是/O的直径，BC是弦，OD/BC于E,交BC于D.请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC=8, ED=2,求/O的半径.例14.已知：如图等边ZXABC内接于/。，点P是劣弧PC上的一点(端点除外)，延长BP至D ,使BD AP ,连结CD .(1)若AP过圆心O,如图/，请你判断 4PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O,如图Z, APDC又是什么三角形？为什么?图D图CD ,垂足为例15.如图，四边形 ABCD

14、内接于/O, BD是/0的直径，AE(1)求证：AE是/0的切线；(2)若 DBC 30°, DE 1cm,求 BD 的长.例16、如图，已知在 Z0中，AB= 4，3, AC是/0的直径，AQ BD 于F, /A=30°(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形 OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径 例17.如图，从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90°的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留 ).(2)在剩下的三块余料中，能否从第/块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3)当/ 0的半径R(R 0)为任意

15、值时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.例1811)如图OA、OB是/0的两条半径，且OAZ OB，点C是OB延长线上任意一点： 过点C作CD切/0 于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2)若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动交 OA于F,交/0于B',其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗？为什么？(3)若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动到 Z0外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件 不变，那么上述结论 CD=CE还成立吗？为什么例19、(2010山东德州)如图，在 /ABC中，AB=AC , D是BC中点，AE平分/ BAD交BC于

16、点E,点。是AB上一点，Z0过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1)求证：BC与/0相切；(2)当/BAC=120时，求/EFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，O。的半径为1,点P是。上一点，弦AB垂直平分线段 OP,点D是Apb上任一点(与端点 A、B不重合)，DELAB于点E,以点D为圆心、DE长为半彳5作。D,分别过点 A、B作OD的切线，两条切线相交于点 C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ ACB是否为定值，若是，求出/ ACB的大小；否则，请说明理由;(3)记 ABC的面积为S,若 S2 =4和,求 ABC的周长.DE例21. (2010江西)“6字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于 B, OB与小圆相交于 A, BC/ AD , CD/BH/FM, BC/DG, DH/B H于 H,设 FOB , OB 4, BC 6(1 )求证：AD是小圆的切线；(2)在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；(3 )当 30 ,求DH的长例22. (2010江苏泰州，28, 12分)在平面直角坐标系中，直线 y kx b (k为常数且kw0)分另1J交x轴、y轴于点A、B,