一.课题背景和研究内容.

1、一. 课题背景和研究内容：马克思曾说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算 达到完善的地步。 ”这位伟大的科学的革命的导师的这句话，高 度精确地概括了数学在众多科学中的地位。 可以说， 数学是众多 科学的基础，没有数学，没有数字，没有运算方法，那么其他的 科学根本找不到落脚点。也正因为如此， 数学是一门最博大精深 的学科， 我们中学生学了十几年的数学， 其实也只触摸到了这门 高深学问的一点皮毛。 而数学这座高耸入云的大厦经过世界人民 几千年的建设仍然有许多不完善的地方，等待着后人去修补， 去 创造。借助今天高度发达的电子计算机， 科学家们解决了许多曾 经相当棘手的问题，却仍然对一些问题束手

2、无策。那么可以想象， 在各种科学都不甚发达的过去，数学就像是个蹒跚学步的孩子， 每走一步都是巨大的艰辛和巨大的飞越。 在这里， 作者将通过以 一些标志性事件为线索，浅谈一下数学发展史上的艰难与成就， 相信这将有助于每一个对数学有兴趣的人加深对这门科学的了 解，从而更好地学习这门学问。二 . 文献综述：对于数学发展史这个问题，已有先人做过一些研究。1983 年， 美国 数 学 史 家 Howard Eves 出 版 了 Great Moments inMathematics （中文译名为数学史上的里程碑或数学史概 论） ，以时间为顺序较详尽地介绍了从远古时候开始数学的发展 情况。但这本四百多页的

3、书读起来还是需要花费大量的时间与精 力的，因此作者就以一个中学生的视角， 尽量做到从一个客观的 角度去解读数学这部庞大的历史。三 . 论文正文：每一门新兴学科的产生都有其必然性， 历史悠久的数学也是 如此。古代劳动人民在生产生活中会遇到许多不可避免的问题，因为当时没有“数学” ，这些问题往往得不到解决，或者解决的 方法在今天看来愚笨又可笑。 就拿最原始的计数问题来说， 古代 没有数字的概念，为了解决计数问题，比如清点人数，计算一天 打猎的战利品，他们只能采用被 Howard Eves 称为“一一对应” 的原理进行计数， 这就是广为人知的结绳计数法。 一一对应计数 原理，就是数学这株巨大植物最初

4、萌动的种子。大约在公元前 600 年，几何学有了突破性的发展。数学史家 们一致认为， 数学的这一重大进步应归功于当时的希腊人， 特别 是泰勒斯。他是在数学史上留名的第一人， 也是有幸占有一些演 绎几何学定理的发明权的第一人。 泰勒斯的成就在于对一些简单 的数学结论给出了逻辑证明， 而不像他之前的人们只靠直观感觉 或者实验方法去证明。 逻辑证明无疑更准确， 更有说服力。 因此， 演绎法的诞生是数学史上的一个里程碑，奠基人就是泰勒斯。泰勒斯以发明演绎法成为在数学史上留名的第一人， 那么毕 达哥拉斯就以其巨大的数学成就及由他创立的毕达哥拉斯学派 二成为在数学史上留名的第二人。初等几何中最精彩、最著名

5、、 最有用的定理之一就是毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中， 斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。 这是数学中真 正重要的第一个定理。 一般认为， 这个定理并不是毕达哥拉斯最 先提出的，但它的严格的逻辑证明也许就是毕达哥拉斯或者毕达 哥拉斯学派中的某一人提出的。 毕达哥拉斯学派认为整数是人和 物的各种性质的起因， 只要揭示了整数的复杂性质， 或许可以左 右和改善自己的命运。因此，他们热衷于研究数与几何学。毕达 哥拉斯学派无疑为数学的发展做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯学派的所有研究都是建立在他们一个坚定的信 仰之上的： 万物皆数， 即任何数都可以用整数或者整数与整数之 比表示。 这个说法在

6、一定时期内被广泛接受， 直到毕达哥拉斯学 派的一个成员希帕索斯考虑了这样一个问题：一个边长为 1 的正方形，它的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不 能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。这样一个简单的问题，动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，由此 产生了数学史上的第一次危机。毕达哥拉斯学派的成员为此感到十分恐慌， 因为他们所有 的研究成果都是建立在上述信仰的基础上的。存在不能用整 数也不能用分数表示的数的这样一个事实，推翻了他们的许 多研究成果。直到公元前 370年，希腊数学家欧多克斯给出 比例即两个比相等的定义，从而巧妙地化解了这次

7、危机。欧 多克斯给出的这个定义与所涉及的量是否能用整数或整数之 比表示完全无关，可叙述如下：所谓四个量成等比，即第一 个量与第二个量之比等于第三个量与第四个量之比，是指： 当取第一、第三两个量的任何相同的倍数，并取第二、第四 两个量的任何相同的倍数时，前两个量的倍数之间的小于、 等于或大于的关系是否成立，取决于后两个量的倍数之间的 相应关系是否成立。这样就巧妙地绕过了所涉及的量是否能 用整数或整数之比表示这个问题，欧几里得在原本中对欧多克斯的定义做出了很高的评价。这就是第一次数学危机 的产生与化解，也意味着数学得到了进一步的完善。在泰勒斯以后的三百年间，希腊人在数学上取得了辉煌的成就，现在公认

8、的这一时期的最大成就是希腊人形成了这样 一种观念：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组在开始研究 这一学科时假设可以接受的原始命题出发，通过演绎推理而 得到一系列命题。由此，实质公理体系诞生了，可以叙述如 下：对于一个学科的某些基本术语予以解释，目的是使读者 了解这些基本术语的含义是什么；列出关于基本术语的某些 原始命题，读者根据基本术语的含义便可承认这些命题是正 确的，这些原始命题称为这一学科的公理或公设；借助于已 经引入的术语定义这一学科的其他所有术语；由已经承认或 已经证明的命题，通过逻辑推理导出这一学科的其他所有命 题。早期希腊人对于数学的最杰出的贡献，就是确立实质公 理体系的模式和主张按

9、照这种模式使数学条理化。“根据公理 体系来建立数学”这一概念的产生，无疑又是数学史上一个 重要的里程碑。接下来就要说到一位伟大的数学家 欧几里得 （公元前 300275 年）及其巨著原本。需要说明的是，原本的 原始抄本现已无存，现在通用的版本是比欧几里得晚几百年 的西翁的修订本。 原本共有十三卷，这本书是世界上最著 名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价 值的一部著作。在原本里，欧几里德系统地总结了古代 劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里 德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方 法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建 立了一套从公理、

10、定义出发，论证命题得到定理得几何学论 证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学。而这本书， 也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，几何原本 一直是学习几何的主要教材。现在我们计算曲边图形的面积往往是采用积分的思想， 但鲜少有人知道最先使用积分思想的是古希腊科学家阿基米 德。我们现在熟知的计算球的表面积和体积的公式，约公元 前 240 年的阿基米德就已经给出。这些公式是通过一系列命 题一步一步地推导出来的，这个过程中蕴含着积分的思想。 但这不是现代使用的较简便的积分方法，而是采用较繁琐但 是可用的双重归谬法，也称欧多克斯穷竭法。阿基米德的思 想方法无疑为后来牛顿与莱布尼茨的研究打下了坚实的基 础

11、。关于数的研究，有两方面的问题：探讨数与数之间的关 系和发展数的计算技巧，古希腊人把前者称为算术，后者称 为计算术。现在通常把研究数的理论方面的学科称为数论， 说到数论，就不能不提到丢番图（约公元 250 年）。丢番图 最著名的成就是算术，它对后世欧洲的数论学家产生了 深远的影响。算术是一部具有高度创造性的伟大著作， 它对代数数论做了解析处理，技巧高超。算术给出了一 些方程的一般或特殊解法，还述了一些有关数的深奥定理， 为后世的研究做出了巨大的贡献。丢番图不仅是个伟大的数论学家，还对代数学的发展做 出了重大贡献，其中之一就是简写了希腊代数学。在这之前 的一切代数学都是用文字表示的， 在使用过程

12、中有许多不便。 而丢番图在算术中给出了表示未知数、未知数的直到六 次的幂、相减、相等和倒数的简写符号，因此可以说，向着 代数学迈进的最初几步是丢番图用其天才的智慧写就的。由于书写材料日趋方便、廉价，算术方法也随之发展。而数 字的出现起初是人们用来记录算盘（仅次于手指，人类最早使用 的计算工具。 ）上筹码的数目。目前，在世界各地通用着同一个 数学系统 , 印度 -阿拉伯数系即一切数字写成十个数学符号 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 的位值序列。在中世纪的欧洲，分别提倡使用罗马数字和算盘计算的、印度 - 阿拉伯数字和适当 算法的算盘家及算术家进行了 400 多年的争论。 其中， 算盘家有

13、一条能使人信服的理由 ; “这些新数字本身容易被篡改， 而且在 已经的数字之间和后面能在添加数字。 ”众所周知，印度- 阿拉伯数系是印度人发明， 阿拉伯人采用了 并传到了西欧， 再通过波斯数学家花拉子密专著的拉丁文译本及 后来欧洲人的有关著作， 得到了更广泛的传播。 其中，algorithm （ 算法 ）、algebra（代数）两个常用数学词汇的产生 都归功于花拉子密。而对印度 - 阿拉伯数系的应用影响及促进最 大的就是 1202 年在意大利出版，由中世纪数学技巧最娴熟 的数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibon acci1 1 7 5 - 1 2 5 0 ?）所著算盘书。这一书最

14、大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数 学的面貌，直接促进了印度 - 阿拉伯数系的传播。我们所熟悉的 斐波那契数列就是此书中最富有成果的兔子问题中得出的， 它在 数学的各个领域都有许多意想不到的应用，它还存在于多米诺 牌、蜜蜂的繁殖钢琴的 13 个半音阶的排列完全、自然界中一 些花朵的花瓣数目等诸多方面， 且随便选两个整数 , 然后按照 斐波拉契数的规律排下去 , 两数间比也是会逐渐逼近黄金比 的。如今，有关于斐波那契数列性质的探讨研究也是多的惊人。”。斐波那契其他数学著作还有几何实践 ，着重叙述 希腊几何与三角术。 平方数书 、花朵等，前者专论二次 丢番图方程，后者内容多为菲德里克

15、( Frederick )二世宫廷 数学竞赛问题十一世纪的波斯诗人兼数学家奥马尔海牙姆(Omar Khayyam 约 1044约 1 123)巧妙地用“ 一个立方体，一些边和一些数”得出了三次方程的几何算法，为阿拉伯代 数学作出了创造性的贡献。在此大约 500年以后，一个不讲信义的天才 G卡尔达诺(Cardano, 1501 1576)将塔尔塔利亚三次方程代数解法及费尔拉里的四次方程解法写进了他的拉丁 文的代数学巨著大衍书(Ars magna)。尔后，有不少数学家 提出了简化求解三次、 四次方程的方法或其根的表达式。 这些数 学家包括 R 邦贝利、F 韦达、笛卡尔我们都知道对数作为一种计算方法

16、的功能在于 ; 通过对数， 可以把乘除运算化为简单的加减运算。耐普尔 (Napier ， 1550 1617)潜心研究角的正弦的对数 20 余年，于 1614 年发表奇妙 的 对 数 表 的描 述 ( Mirifici logarithmorum canonis descriptio )，在其中阐明了对数原理。这一著作立刻引起 了人们广泛的兴趣。1616 年 H 布里格斯(B riggs , 15611631)去拜访耐普尔， 建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就 是后来常用的对数了。可惜耐普尔隔年于 1617 年春天去世， 后来就由布里格斯以毕生精力继承耐普尔的未竟事业，以10

17、为底列出一个很详细的对数表。并且于 1619 年发表了对数 算术( Arithmetica logarithmica )，于书中详细阐述了对 数计算和造对表的方法。耐普尔的对数原理被整个欧洲积极采 用，尤其是天文学界。拉普拉斯认为： “对数的发明以其节省劳 力而使天文学家的寿命增加了一倍。 ”布里格斯的同事 E 冈特 (Gunter ，15811626)又发表了间隔为弧分的角的正弦及正切 的普通对数表，并创造了 cosine( 余弦 ) 、cotangent( 余切 ) ， 他还设计了对数刻度尺。在十七世纪，两位杰出的数学家伽利略( Galiteo Gelilei ，15641642)和 J

18、开普勒( Kepler ，1554 1630)的一系列发 现，导致了数学的复兴。 伽利略通过大量的实验发现了有关物体 在地球引力场运动的许多基本事实，导致了现在动力学的诞生。 开普勒则在 1619年前后归纳出著名的行星运动三定律，产生了 现代天体力学。 这些学科的发展都推动了新的数学工具能够 研究变化、 流量和运动的数学分支微积分的出现。 开普勒为 了计算行星运动三定律中的第二定律的面积， 不得不采用了一种 原始的积分方法， 这是他成为微积分的奠基人之一。 开普勒对多 面体也有所贡献，他首先认识到反棱柱体，发现了立方八面体、 斜方十二面体等，并且还把“焦点”一词引入了圆锥曲线几何学 中。公元前

19、三世纪， 古希腊的 阿基米德 在研究解决抛物弓形的 面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问 题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如三国时期的 刘徽 在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割， 以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素 的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，求即时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、包括上面所讲到 的求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重 心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力这些需 要解决的问题都是促使微积分产生的重要因素。许多著名的 数学家、

20、天文学家、物理学家都为解决上述问题作了大量研 究，进而提出了许多很有建树的理论。例如 1635 年 B 卡瓦列 利( Cavalieri ， 1598 1647) 发表 了 不 可分量 几 何学 ( Geometria indivisibilibus), 其中阐述的了不可分量法的专论。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家 牛 顿 和德国数学家 莱布尼茨 分别在自己的国度里独自研究和完 成了微积分的创立工作。牛顿研究微积分着重于从运动学来 考虑，他在流数法和无穷级数一书中指出，变量是由点、 线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无 穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动

21、量，把这些流 动量的导数叫做流数。 牛顿在流数术中所提出的中心问题是： 已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知 运动的速度求给定时间内经过的路程 (积分法 ) 。而德国的莱 布尼茨在 1684年发表了现在世界上认为是最早的微积分文献 一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和 无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算，尽管这篇文 章的题目又长又古怪，却具有划时代的意义。它已含有现代 的微分符号和基本微分法则。今天，我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨精心选用的。他们的最大功绩是把两个貌 似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的 中心问题），一个是求积问题 （ 积分学

22、的中心问题 ） 。对于微积分这一新型数学有这样一个比喻：旧的数学如照 相术发展的静物摄影阶段， 而新数学可比作电影摄影阶段。 另为， 旧数学与新数学相比， 如同解剖学和生理学， 前者研究尸体而后 者研究活体。由此可以看出，旧数学只涉及不变和有限的问题， 消极静止；而新数学则包括变化和无限的问题，积极运动。所以 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等 数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出 微积分学的非凡威力。不幸的事， 由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余， 在提 出谁是这门学科的创立者的时候， 竟然引起了一场悍然大波， 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。

23、牛顿和 莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后 完成的。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由 于民族偏见， 关于发明优先权的争论竟从 1699年始延续了一 百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成 都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不 完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十 分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是 有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的 缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到十九世纪， 柯西 和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格 的实数理论，这门学科才得以严密化同样在十

24、七世纪， R 笛卡尔( Descartes ，1596 1650 ) 和 P de费马( Fermat ，1601 1665 )为解析几何做出了决定 性贡献。 解析几何的实质在于它的变换求解反演的特征，即首先把一个几何问题变换为一个相应的代数问题，然后求 解这个代数问题，最后反演成代数解而得到几何解。 解析 几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引 入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学 的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此 曾经作过评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数， 有了变数， 运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数， 微分和积分也

25、就立刻成为必要的了，”概率几乎是由游戏和赌博发展而来的。 概率科学的起源还 是从一个所谓的点数问题开始的， 这个著名的问题是这样的： 两个技巧相当的赌徒对局， 他们知道怎样的比分赌局终止，也知道取胜所要求的点数，问应该怎样来分配他们的赌注。而帕斯卡和费马在对这一问题的通信讨论，还思考了与点数 问题有关的一些其他问题。他们的这一工作奠定了概率论的 基础， 开创了概率的数学理论。 英国的逻辑学家和经济学家W S 杰文斯( Jevons ，1835 1882)认为：“概率是生活真正 的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难 行，无所作为。”在无穷级数发展史上， 阿基米德是第一个对一些特殊

26、的收 敛去穷级数求和的人，而第一个适当考虑无穷级数收敛概念 的是德国著名的数学家 C F 高斯( Gauss，1777 1855)，他 是在 1812 年研究超几何级数是提出的。然而在这一领域作为 里程碑的事件则是另外两件。1715年在 B 泰勒 ( Tatlor,1685-1731 )的著作增量法中第一次出现了函数 f(x) 展开成 x-a 的幂级数。 1742 年苏格兰数学家 C 马克 劳林( Maclaurin )在巨著流数论中用到了这一幂级数当 a=0 时的特殊情形。 而人们充分认识到这一幂级数的重要性是 在 1775 年欧拉机智地将他们应用在微分学中后， 以及在更后 来 1797 年

27、拉格朗日把级数作为函数论的基础之后。在十九世纪上半叶数学史上有两个重要的转折点。第一个是 1829 年左右发现了与人们所熟知的欧几里得几何有显著区 别的一种自相容的几何；第二个在 1843 年发现了与通常实数系代数有本质区别的一种代数。文艺复兴后的西欧数学家重 新提出了对欧几里第五公设的批评，而后的数学家用归缪法 证明欧几里德公设并做出了卓越的贡献。不少年后，法国著 名的数学家 A M 勒让德为证明平行公设做出了大量的努力， 发表在几何学基本原理一书中。比平行公设问题的解决有 更深远的意义的结果是：把几何学从其传统的模式中解放出 来.罗巴切夫斯基的和黎曼的非欧几何使创造许多不同体系的几何的道路

28、打开了.几何学的公设，对于数学家们来说，仅仅是假 定，其物理的真与假用不着考虑； 数学家们可以随心所欲的取其 公设，只要它们是彼此相容的.数学家采用一条公设，用不着考 虑：它是否具有，自古希腊以来规定它必有的，“自明”或“真”的特徵.有了创造纯粹“人造的”几何的可能性；物理空间必须 被看作是由我们的外部经验导出的经验概念，用来描述物理空间的几何学的公设只不过是这种经验的表述，和物理科学的定律一样，就成为显然的了.例如，竭力谋求解释现实空间的欧几里得 平行公设，看来就与伽利略的落体定律，有同类的效力；也就是 说，它们都是在实验误差的限度内，能被证实的观察定律.人类认知知识的过程在现阶段的归纳中分

29、为两个过程：第一个过程，是囫囵吞枣的认知一一对于数学， 就是不遗余力地记住公式、定理，培养逻辑思维。第二个过程，就是重返基础，从零 开始，一步一步，利用已建立起的严谨的逻辑来推演（基于假设 存在不必证明的公理）。任何伟大的学者在最初也是死记硬背公 式定理而非从哲学角度开始论证逐步演为数学。这和人类最先认知正整数一样是普遍规律。所有的数学命题最终应归结为关于自然数 * （为正整数）的 命题。事实上，我们之所以说正整数而不是自然数，是因为在生 活中，“零”不属于我们所应用的最“自然”的那一类数。可以想见，在原始社会，如果你问原始人类捕获了多少只猎物，如果 他一只也没捕获，他是绝对不会说“我捕获了零

30、只”的。由此可见，最基础的数学命题应当是关于正整数 （或部分）的，至于零， 在多数情况下，这会被我们当作一个特例处理。 往往我们验证的 是，对于任意正整数，我们有某结论恒成立，将零代入，得到对 于零，此结论也成立，故这个结论对于任意非负数成立。古希腊人将点作为数学基础，实际上与我们所说的将自然数 *作为数学基础是不矛盾的。第一，点的数量可以表示正整数。 第二，一个 n维整数组可以表示一个在 n 维坐标系中的点；对于 一个点，在坐标系单位长度取的足够小、合适的时候，这个点作 可以表示成为整数点（即格点）。数学之所以有别于其他任何一门学科 （包括物理、化学等理 科），是因为数学是完全抽象的或者说是

31、完全理想化的。比 如，在研究刚体的运动时，我们可以将其理想化，不考虑空气阻 力、不考虑形变等等，而涉及关于质点的计算的时候，我们仍然 要将其归结于数学模型，譬如方程、函数，我们将刚体运动轨迹 看作函数图像，对此进行计算，那么实际上我们又将其进一步理 想化了，试问，什么物体可以严格按照某个函数图像运动？物理 模型的抽象化、理想化多是可以实现的，譬如在真空中，可以忽 略空气阻力，但是即使在真空中，也不能将数学模型完全实现。数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代 人们对于数的认识与应用， 以及数系理论的完善程度， 反映 了当时数学发展

32、的水平。今天，我们所应用的数系，已经构 造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切 领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得 心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系 形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛 呢？最早发展的一类数系应该是简单分群数系( simplegrouping system)，如在公元前 3400 年埃及象形文字中就有 实例，它是 10 进的，但却不是位置的。在公元前 3000 到 2000年之间，巴比伦人发展了60 进位的定位数系(positionalnumeral system )，它采用了位置制，却不是 10 进的。而最

33、 重要和最美妙的记数法则是10 进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯(Laplace,1749 - 1827 )曾 经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对 的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一 个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽 视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都 提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列 在首位。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究 表明， 10 进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与 筹算制度的演进分不开的。有理数系：位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数 的语言，已从少量的文字

34、个体，发展到了一个具有完善运算 规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数 系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐 显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数 系 2 ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位 量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段， 在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们 的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。 ”但是，九 章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以

35、法命之。 ”这句话的今译是：被 除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古 代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数 算法的精髓：通分。刘徽在九章算术注中所言：众分错 杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。 齐者，子与母齐，势不可失本数也。容易证明，分数系是一 个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了 使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的 了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生 活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就 产生一种误解：似乎人类正是从这

36、种具有相反意义的量的认 识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中 算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和 筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在 九章算术 “方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加 减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。负数 虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但 16 世纪和 17世纪 的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不 认为它们是方程的根。 负数是人类第一次越过正数域的范 围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的 历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。 我们将会看到，负数并不是惟

37、一的例子。实数理论的扩张： 无理数的发现， 击碎了 Pythagoras 学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一 条直线上的有理数尽管是“稠密” ，但是它却漏出了许多“孔 隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数” 。这样，古希腊人 把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底 的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发 展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。 两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释， 而被认为是不可理喻的数。 15 世纪达芬奇 ( Leonardo da Vinci, 1452- 1519 )把它们称为是“无理的数” (

38、 irrational number )，开普勒( J. Kepler,1571- 1630)称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到 虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实 在在的数，却一直是个困扰人的问题。中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无 理根数。对于这种“开之不尽”的数， 九章算术直截了当 地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数” ，实际 上是用 10 进小数来无限逼近无理数。 这本是一条完成实数系 统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未 能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计 算，对数的本质并没有

39、太大的兴趣。 (李)而善于究根问底的 希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯(Eudoxus )、欧几里得( Euclid )在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量 等同起来。欧多克斯的比例论(见几何原本第 5 卷)，使 几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫 长时期中，形成了几何与算术的显著分离。17、 18 世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意 力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性 问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上 的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正 是实数域连续性的

40、关键。无理数是什么？法国数学家柯西 ( A.Cauchy,1789- 1875) 给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的 极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定 的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以 任意小。但是，这个预先存在的“数” ，又从何而来呢？在柯 西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来 以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在 19 世纪 后半叶，由维尔斯特拉斯( Weierstrass,1815- 1897 )、戴德 金( R.Ded

41、ekind1831- 1916 )、康托( G.Cantor,1845- 1918 ) 等人加以完成了。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从 而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年 来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再 是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于 在严格的科学意义下得以实现。复数的扩张：复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那 就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续 性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的 征程。 在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得 到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的

42、步伐已经到达了遥 远的前哨阵地。1797 年， 挪威的韦塞尔( C. Wessel,1745-1818 ) 写 了一篇论文“关于方向的分析表示” ，试图利用向量来表示复 数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到 1897 年译成法文后， 才被人们重视。瑞士人阿甘达(J. Argand ,1768-1822 ) 给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的 一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是： 能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受 复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复 平面上的一点 ( a, b) ，而且阐述了复数的几何加法和乘法。 他还说，如果 1, 1 和 原来不称为正、负和虚单位，而称 为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”(complex number)以与虚数相对立，并用 i 代替 。在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿(Hamilton,1805- 1865 ) 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑， 并不满足于几何直观。 他指出：复数 a+ bi 不是 2 3 意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的 偶然，而 bi