人教版初三数学下册专题：定角定弦探索点路径问题

1、专题：“定角定弦探索点路径问题”教学设计中山中学数学组陈荔涛一、教材分析（一）教材的地位与作用定角定弦专题是数学中几个重要的问题，它揭示的是数学问题点路径的画法。它在数学的发展中起着复习中起重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过辅助弧引入的学习，可以提高学生学好数学的兴趣。（二）教学目标基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。知识与技能：1、回顾两定一动确定点的轨迹是圆弧，在几何题中的几种与线段最值问题，并能熟练的运用点的路径确定最值；2、掌握定角定弦确定点的路径解决数学综合题。过程与方法：1、通过不同辅助线的引入活动，让学生动手操作体验数学思维的严谨性，发展形象

2、思维。2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。情感与态度：1、通过对数学模型的总结与应用，再由学生画图上着色探究数学的图形美与内在关联激励学生奋发学习。2、在探索不同方法解答数学问题过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。（三）教学重、难点重点：探索定角定弦探索点路径问题难点：不同背景都是殊途同归多题一解引入证明中考综合题二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于

3、他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。三、教学策略本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。四、教学程序教学环节教学内容活动和意图创设情境导入新课温故而知新如图，圆O外一点P,连接PO并延长交圆O于点A,B,点P与圆O上所有点的连线中PA最短，PB最长设计意图这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对中点模型探究的兴趣，从而较自然的引入课题。新知探究'十里由土在。上取一点异于A.B的仔一点QOQ+PQ大于OA+

4、PA,因为OA=OQ.PQ大手PA同理：PB=PO-OB=PO+OQ大于PQ知识回顾例1如图，E,F是正方形RBUD的边与口上两个动点，满足AE-DF.连将CF交跖千点G跳BE兖AG于点H.若正方用的现长为:蝌DH版曲融K模型热身来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。总结反思：因为点H是一动点，解决问题的关键是寻找点H的路径（或轨迹），使“无迹问题”变得“有迹可循”问题2是在复习好倍长中线及中位线基础上提出目的是让学生利用这两模型解答，提升学生思维的发散性，培养学生一题目多解。深入探究交流归纳渗透从特殊到一般的数学

5、思想.为学生提供参与数学活动的时问和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提晨）o?如图，等边ABC氏片中，AB=4D是AB边的中点，E是BC边上一点，现将BDE&DE折叠，得B'DE连接CB,则CB长度的最小值为一一总结提升；路径问题”常会与最值问题”同时呈现，找到目标点的路径，就是抓到牛尾巴'，问题就迎刃而解。学生小组交流成果展示谙在困©的正方形用CD内,画出使乙4四=9/由T点八*P并潮腿由.通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。利

6、用分组讨论，加强合作意识。1、经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别。2、加强数学严密教育。从而更好地理解代数与图形相结合。请在图的正方形.宓CD内（含边），画出使乙行田=60°的所有的点F，并说明理问题变式突破重点和难点的方法，发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。请在图的正方形“超CD内（含边），画出使乙17咽=60°的所育的点尸，并说明理方法展小如囿以AB物收等MABP醇&的附卜援圆0,如分明正胧AD.BC相好匕R«EF为所求的,理摭蒯蒯圆雕用家B问题融（为耀纵观衽一块电陶板.双D*=4月t="

7、;工人师戳翻它藏出两央全等的、后和量大的口d踮和磁，且乙犯ff=/CFR=6（T.询冤遹倒中亘出苻合襄求的点P和P，并索出色且理的面积1器臬保禺程号1p如用.在善过支BE，再佗BABE的外挂圆交AC于也在ACJh申:AP=UP!»JAABP=iCDF,且面猊量大,曲作RI5C子】LSAH-4,RC-5Z.<&C=9»0，:专访上!I=,CmZ=-.因为上阴32jiIjTAP|-BETlnjn3Oc-yp-,L4ji1412苑*有SfiABP=-<+7>y-突破重点和难点的方法，发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在

8、领悟中理解。上课过程让学生动手操作进行画图，上台讲讲各组的方法提高学生的表达能力及动手操作能力问题变式在知施ABCI>中.是知擢ABCD四条边上的一个动用，H满足ZSFC=«O<.(I)若商足新的F有4个.则斗h黄足什Q：系T?>若满足条件的PA3个.则n上满足什去关再?a着满足条件的P书工个.则G篇足什去关系辛.如图3矩七ABCg优优HU交手A,B,RifiABC4=.磐TDLJ连接EQ并延K交RU于F.因为BD为白口扪中栽.司iEABFD为矩喀.;AB=EF=HX因为AEBC为名边三角形EF_BCL.RF=CF=-a三：1dm,-当b=gR时存在三4点P田3AB

9、CD的边上存在四个点P当:大二:或等二-;时矩形ABCDii上京点3上J问迪拓展如图，有矩形板材的D,小=3米.配=6维，现想从此板材中段出一个面积尽可能大的四辿形EFGH部件，ZEFG=90°,律=昨君米一ZEHGM5¥.经甜究.只有当点E、F，G分别在边曲.出、BC上，且切即.杯满足点H在矩形瓯内部或这二时，才有可能栽.出符合要事的郃件，览间能否衽得符合要求的而织尽可能大的四边形ETGH聚件1?若能.求出福得的四边和EFGH部件的面积1若不靛，请说明埋由.问邮展，如图，有一沌序幄材gJ,心3卡.加8荆，现想从此椅村中栽出一个面根屎可能大的四边褥EFGH部件，快4芯5T,

10、叮沂二垂形ZEH(4&'.蛭研究.只有当点粗F，G分别在他砥.怔一M上，且M即.并徜足点日在姬形AKD内部不辿上时，力荏可，庚出特含至求的聊.怅河靛否曲的吾票察的面枳尽可能大的西边把ETCH部件T若俄,事出战得的四边强EFCH颦件的比粉若不能，漏说明理由一“L-X*易证AEIWZiBF®设AF-x/勺则AE-EFT姆由勾股定理得；f因为AT小于HF,.AF=1-EFG为图形中的定点、J当ZEFXO%EF-FGSiyjE,1构造正方形EFG0,当上EHG75,时*H在以0为圆心，0E为半i的同上因为et=fg=A.OF=BG-yi0如图，OF,0H为定值时，H落在F0的延长HF最大，四眺EFGH®积最大为；EG，HF4国上-J-L也线上时'（怖+内C回顾小结整体感知本节小结这节课同学们学到了什么？?本节我们通过5道例题中条件的变什而轨迹的相似性了解了定弦对定