人教版七年级数学下册培优新帮手专题12数余的扩充

1、12数余的扩充实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数一一无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1 .把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数9的形式（这里p,q是互P质的整数，且pw0）;2 .掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与兀相关的数，开方开不尽得到的数等；3 .有理数对加、减、乘、除是

2、封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4 .明确无理数的真实性.克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？带根号的数是无理数；两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】已知|a-2|+（b+4）27a+b-2c=0.则（ac）b的平方根是.（湖南省长沙

3、市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a,b,c的值.【例2】若a,b是实数，且a2=而1172-2b+4.则a+b的值是（）.A.3或3B.3或1C.3或1D.3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得b1>0,2-2b>0,求出b=i.代入原式中可得a=±2.由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：遍中a>0；痴>0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法例3已知实数m,n,p满足等式*m-199+nw'199m-n=%；3m+5n-2-p+$2m+3n-p,求p的值.（北京市竞赛试题）解题思路

4、：观察发现（m-199+n）,（199-m-n）互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点.131.319【例4】已知a,b是有理数，且（+上）a+（）b-21±_“'3=0,求a,b的值.32412420解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a,b的方程组.实数有以下常用性质：若a,b都是有理数，JC为无理数，且a+bJC=0,则a=b=0；若a,b,c,d都是有理数，Jc,屈为无理数，且“a+<c=b+Jd,则a=b,c=d.要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，

5、即假设这个数为有理数，设法推出矛盾想一想怎样证明J2是无理数？例5一个问题的探究问题：设实数x,y,z满足xyzW0.且x+y+z=0.求证：+。=i+i+-x2y2z2xyz在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：111、，设a,b,c为两两不相等的有理数，求证：r+7+r为.(a-b)2(b-c)2(c-a)2理数.13211一+,''+1”+3+2，求S的整数部分.2008220092一八11c【例6】设S=1+方+二，S2=11222解题思路：从公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)入手.+-11Sq=1"1J

6、1S=1+-1122323242','nn2(n1)2求JST+JST+芯的值(用含n的代数式表示，其中n为正整数)(四川省成都市中考试题)解题思路：解答此题的关键是将Sn变形为一个代数式的平台。A级1 .在实数4,半，°，J2-1，V64，曜，中，共有个无理数.（贵州省贵阳市中考试题）2 .设a=3/3,b是a2的小数部分，则（b+2）3的值为.（2013年全国初中数学竞赛试题）3.已知a-4+Jb-9=0,则a2abb2营的值为（山东省济南市中考试题）4 .观察下列各式：271十1M2M3M4=1+3父1+1,12345=22321,、/1+3黑4二5黑6=32+

7、3X3+1,(A+B):(AB)=(2x+y):(xy)猜测：J1+2005父2006M2007M2008=.(辽宁省大连市中考试题)5 .已知有理数A,B,x,y满足A+B=0,(A+B):(AB)=(2x+y):(xy),那么A:(A+B)=A. 3x:(2x+y)B. 3x:(4x+2y)C.x:(x+y)D.2x:(2xy)（2013年“实中杯”数学竞赛试题）6 .若X,y为实数，且X+2+JT=2=0,则（与2009的值为（）yA.1B.-1C.2D.2（天津市中考试题）7 .一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）.22A.aB.a1C.a1D.a1（山东

8、省潍坊市中考试题）8 .若Jx1p1X=（x+y）2,则xy的值为（）.A.1B.1C.2D.3（湖北省荆门市中考试题）9 .已知x=a*m是m的立方根，而y=Vb-6是X的相反数，且m=3a7,求x与y的平方和的立方根.10 .计算：131sa.（广西竞赛试,2n个1n个211 .若a,b满足3va+54=7,求S=2mG-3b的取值范围.（全国初中数学联赛试题）B级21.x与y互为相反数，且xy=3.那么x+2xy+1的值为（全国初中数学竞赛试题）2,若2x*4x=128,则x的值为.（海南省竞赛试题）3 .已知实数a满足2004a+Ja2005=a,则a-20042=4 .J5的整数部分

9、为a,小数部分为b,则（J5+a），b的值为（广东省竞赛试题）5 .已知非零实数a,b满足|2a4|+|b+2+J（a3）b2+4=2a,则a+b等于（）.A. -1B. 0C. 1（“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）6 .已知a=%；21,b=、；3J2,c=J62.则a,b,c的大小关系是（）.A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<c7.已知：1a|=1,那么代数式1+|a的值为（）.aaA.虽B.-痣C.-V5228.下面有3个结论：存在两个不同的无理数，它们的差是整数；存在两个不同的无理数，它们的积是整数；存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与

10、商都是整数其中，正确的结论有（）个.A.0B.1C.2D.b<c<aD.、5（重庆市竞赛试题）D.3（江苏省竞赛试题）,2_.9 .已知<a+2005是整数，求所有满足条件的正整数a的和.（"CASIO杯”武汉市竞赛试题）axb10 .设y=,a,b,c,d都是有理数，x是无理数.求证:cxd(1)当bc=ad时，y是有理数；(2)当bc#ad时，y是无理数.11 .已知非零实数a,b满足|2a+4|+|b+2|+J(a3)b2+4=2a.求a+b值.(“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)专题12数余的扩充实数的概念与性质1例1±4提布：由条件得a2=0,

11、b+4=0,a+b2c=0,则a=2,b=4,c=1.故(ac)=2X(1)4=:16，A的平方根为土4.m-199+n>0/口得.199一m一n>0m+n>199m+nW199m+n=199.'3m+5n-2-p=02m+3n=0J3m+5n-2-p+%'2m+3n_p=0,由非负数性质，得解得p=201。已知等式整理，得1a1b3419_a-bd*3=01220因为a,解得-，1b是有理数，所以-a311b-211=0且一ab-112二335b=45z211+Iyzxz11+-yzxyz-2xyz12zrH少1.1.x2y2(xy)2111=T-xyx+y

12、(1)可证明(a-b)(b-c)2(c-a)21I-a令x=1,i得1n12(11n)2n+1s=；J-1<12；-1+'1+1-1十1十1-123八：200820091=20092009故S的整数部分为2008.1.1.n(n-1)n(n11)+2x一1一n(n1)1.22.9.Sn.原式=1-提示:1ILn(n1).11n(n1):11二11-1+1+22-3(3:32=36,2=3/8<V9<V27故(b+23=a93=93.1681一2一_4.200523200515.B,A-Bx-y提示：由题知=y2xy(A-B)+(A+B)(x-y)(2xy)6.B7.B

13、8.C9.22_n2nn1=3,则b=V9-2,b+2=V92xy2A3x2xy3xAB4x2y10.原式=/11二1父10n十11二1-2父11二1=/11二1父10n-11111二1父(10n-I)=n个111999=33311.由题中条件3,a+5忖=72后-3b=SIM+玛得19石=21+5$X2-4得19b=143S又Ja>0,b则321+5S之014-3S.0m21解得-S514<351.4提示：由条件3x=23y=-22拓2/3、3/3、5故x+2xy+1=i+2父一父l+1=02s42. 2提示：由2x书4x=128得2"*22'=27,故有(x+

14、1)+2x=7，所以x的值为2.3. 2005提示：由条件得：a>2005则Ja-2005=2004,从而有：a2-2004=20054. 15. C提示：由条件得：a>3,贝U|b+2|+：(a-3)b2=0,a+b=1。1111.6. C提不：因为一=42+1,=%-3+v2,所以0M一父一.故b<a,又ababc-a=(V6-2-W5-1)=而-"2+1)而Q'6)-(2+12=3-242>0,所以<6>72+1,故c>a,因此b<a<c.7.D由条件得：1=|a八'2门飞2|+1>0,a>0,+

15、a1=-a+41aliaJ8.D举例：J3+1,百-1满足；5,1满足339. 设Ta2+2005=b,贝Ub2-a2=2005,而2005=5>401,5,401均为质数，a,b为正整数，'b+a=2005b+a=401，或，解得a=1002或a=198,从而1002+198=1200.ba=1、ba=5b、，10. (1)c、d不能同时为0,否则y无息义，右c=0,由bc=ad,dwo,4导a=0,此时y=为有理数；daxabc右d=0,则Cw0,由bc=ad,得b=0,此时y=一=_为有理数，若cw0,且dw0,由bc=ad,得a=,代入y得y=b为有理数.d(2)假设bcw