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1、人教版九年级数学下册知识点汇总第一章直角三角形边的关系1、正切:定义:在RtABC中,锐角/A的对边与邻边的比叫做/A的正切,记作tanA,即tanA=/A的对边/A的邻边。tanA是一个完整的符号,它表示/A的正切,记号里习惯省去角的符号tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中/A的对边与邻边的比;tanA不表示"tan以"A”;tanA的值越大,梯子越陡,ZA越大;ZA越大,梯子越陡,tanA的值越大。(P1-6,11、P3-6、P4-12)A的对边与斜边的比叫做/A的正弦,记作sinA,A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦,记作cosA,2、正弦:定义:在RtAB
2、C中,锐角/即sinA=/A的对边/斜边;三角藁胪3刖45。sinor01241V叵1COSLF1JiMJ生20nna0再T后不存在wla不存我£1£04、余切:定义:在RtABC中,锐角/A的邻边与对边的比叫做/A的余切,记作cotA,3、余弦:定义:在RtABC中,锐角/即cosA=/A的邻边/斜边;即cotA=/A的邻边/A的对边;5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若/A为锐角,则sinA=cos
3、(90-/A)等等。6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90(P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3)110cot45cos60题6:计算:J213+tan602cos307、当角度在0。90。间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0Wsina,0Wcosa41同角的三角函数间的关系:tnaota=1tana=sina/coscota=cosa/§insinaa+co1sa=18、在ABC中,/C为直角,/A、/B、/C所对
4、的边分别为a、b、c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两锐角的关系:/A+ZB=90°(3)边与角之间的关系:sin筹;(4)面积公式;(5)直角三角形ABC内接圆。的半径为(a+b-c)/2;(6)直角三角形ABC外接圆。的半径为c/2。(P18-13、P16-例5、P19-15)题7:小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞,其中两边分别为1cm和2cm,若用同色形布将此洞全部遮盖,那么这个圆的直径最小应等于()。A.2cmB.3cmC.2cm或3cmD.2cm或45cm题8:长为12cm的铁丝,围成边长为连续整数的直角三角形,则斜边上的中线为cm。题9
5、:如图2,河对岸有铁塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进14米到达D,在D处测得A的仰角为45°,求铁塔AB的高。题10:已知:四边形ABCD中,/B=/ADC=90°,AB=2、CD=1、ZA=60°,求:BC。图3第二章二次函数1、定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2.2、二次函数yax的性质:(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴;(2)函数yax2的图像与a的符号关系:当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点。(
6、3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0)°(P21-12)3、二次函数4、二次函数其中hyax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线。yax2bxc用配方法可化成:yaxh2k的形式,b,4acb2一,k。2a4a5、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:yax2;yax2k;yaxh2;yaxh2k;yax2bxc。6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。0时,开口向上;当a0时,开口向下;a相等,抛a的符号决定抛物线的开口方向:当a物线的开口大小、形状相同。平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0。(P23-
7、9,10)7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数,开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法22,b(1)公式法:yaxbxcax2a如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、4acb24a顶点是b4acb一,2a4abyaxh2k的形式,得到顶点为轴是直线x。(P26-9)2a(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为(h,k),对称轴是直线xh。(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。注意:用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无
8、一失。题11:抛物线y=x2+6x+4的顶点坐标是()A.(3,-5)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(-3,5)9、抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用(P29-例2,1,10)2(1) a决定开口万向及开口大小,这与yax中的a完全一样。(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。b._bx,故:b0时,对称轴为y轴;20(即a、b同号)时,对称轴在y轴2aa左侧;b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧。a(3) c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时,yc,抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):c0,抛物
9、线经过原点;c0,与y轴交于正半轴;c0,与y轴交于负半轴。b以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则一0。a10、几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2yax当a0时开口向上当a0时开口向卜x0(y轴)(0,0)2yaxkx0(y轴)(0,k),2yaxhxh(h,0),2.yaxhkxh(h,k)2yaxbxcbx2ab4acb2(,)2a4a11、用待定系数法求二次函数的解析式(P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16)(1) 一般式:yax2bxc°已知图像上三点或三对x
10、、y的值,通常选择一般式。.2(2)顶点式:yaxhk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2。题12:已知关于x的一元二次方程x2-2(m1)x+(m2-1)=0,有两个实数根xi、x2,且xi2+X22=4.求m的值。,其中x=V3一.x25x6题13:先化简,再求值:x263x23x题14:在平面直角坐标系中,B(<3+1,0),点A在第一象限内,且/AOB=60°,/ABO=45°。求点A的坐标;(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式;(3)动点P从。点出发,以每秒2个单位的速
11、度沿OA运动到点A止,若POB的面积为S,写出S与时间t(秒)的函数关系;是否存在t,使POB的外心在x轴上,若不存在,请你说明理由;若存在,请求出t的值。12、直线与抛物线的交点(P47-5、P48-10,14)(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)。(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc)。(3)抛物线与x轴的交点。二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根。抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在
12、x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离。(4)平彳T于x轴的直线与抛物线的交点:同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根。(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,rkxn由方程组y2的解的数目来确定:yaxbxc方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点;方程组无解时l与G没有交点。(6)抛物线与若抛物线ax2bxx1x2ABx1x轴两交点之间的距离:yax2bxc与x轴两交点为Ax1,0,Bx2,0,c0的两个根
13、,故:bc,Xix2aa由于x1、x2是方程2T'2一b4cx2Xx1x2xx1x24x1x2Jaa,b24ac1a第三章圆1、定义:圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。2、点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:点在圆上<=>d=r;点在圆内<=>d<r;点在圆外<=>d>r。(P56-5,6、P58
14、-16)证明若干个点共圆,就是证明这几个点与一个定点的距离相等。(P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15)3、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。4、与圆相关的概念:弦和直径。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径:经过圆心的弦叫做直径。圆弧、半圆、优弧、劣弧。圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)弓形:弦及所对
15、的弧组成的图形叫做弓形。同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。5、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。6、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或
16、等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。7、1。的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1。的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1。弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。8、圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角。圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;(P66-5,7、P68-16)
17、9、确定圆的条件:理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆。定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。10、(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形。(P69-4,5、P70-15)(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的
18、距离相等。11、直线和圆的位置关系:(P72-3,5)(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点。(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设。O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,则d<r<=>直线L和。O相交。d=r<=>直线L和。O相切。d>r<=>直线L和。O相离。12、切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理:圆的切线垂直
19、于过切点的半径。推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个。垂直于切线;过切点;过圆心。(P73-13、P74-3、P75-14)13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角。(P77-2、P78-14)AB=4贝UBC=题15:如图,PA是。
20、的切线,割线PBC与。相交于点B、C,PA=6、PB的值为。14、两圆的位置关系:(P79-6、P81-13)(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交。(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个
21、圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。(6)两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离<=>d>R+r;(2)两圆外切<=>d=R+r;(3)两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>r);(4)两圆内切<=>d=R-r(R>r);(5)两圆内含<=>d<R-r(R>r)。(7)相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。(8)相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。题16:已知A是。O上的一点,OA与。相交于点C、D,。0的弦AB交CD于点E,AE=2、EB=6.求:OA的半径长(证EADsDAB)图615、圆周长公式:圆周长C=2tR(R表示圆的半径)。圆的面积公式:S=tiR2(R表示圆白半径)。弧长公式:2门兀R/360(R1示圆的半径,昧示弧所对的圆心角的度数)。(P82-6)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。(P82-9、P84-1、P85-8)扇形的面积公式:扇形的面积=nTtM/360(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)。弓形定
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