二元函数的极值最值

1、4、二元函数的极值、最值10极值定义P208fxo、yo为极大值fx0、yo为极小值fxxo、yo0fyxo、yo0VoB、fyyxo、yoCfx、yfXo、yofx、yfXo、yofx、y在x0、y0有极限值驻点极值点，需判别设fxxxo、yoA、fxyxo、B2ACfxo、Vo<0A<0极大值A>0极小值>0非极值=0不定例1、求zx3y33xy的极值解：fx3x23y,fy3y23x,f。fxy3,fyy6y令fx03x23y0fy03y23x0得驻点0,0,1,1在o,o,B2AC|0,032090f0,0非极值1,1,B2AC1,1323601,1为极值点又A

2、1160f1,11为极小值I,*例2、求zx2y5xy在闭区域D:0,0,xy4的最大，最小值。解：fxxy103x2y,fyx252y人xy10令2x53x2yx2y0（在D内）0在D的内部函数只有一个驻点55，462564在边界x4,zx24/234xxdzdx8x3x20得:4,一、，-为驻点325627比较z6256425627得最大值在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例3、求原点到曲线x,y0的最大距离此题即在条件x,y0下求zJx2y2的最小值问题20条件极值、

3、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别求在条件x,y0下，zfx,y的极值令Ffx,yx,y称fx,y为目标函数，为拉格朗日常数Fx0Fy0解得的x,y为可能的极值点F0例1、求曲面4z3x22xy3y2到平面xy4z1的最短距离解法、曲面上任一点（x,y,z）到平面的距离dxy4z1,18设FFxFy1,2-2xy4z13x22xy2xy4z16x2y0xy4z16y2x03y24zFz4xy4z140F3x22xy3y24z0得:1xy-41z一16驻点唯min解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n6x2y,6y2x4平面x+y-4z=1的法矢量n11,1,4当n/n1时，

4、即6x2y/日1得：xy,z411166y2x1,111在（-,-,）点处切平面平行已知平面4416点（1114,416-,）到平面距离最短,dmin例2、在曲面z2x2y2位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。处的平面方程为:曲面位于第一卦限部分上任一点（x,y,z2xX2yYZ4z即金2x1,四面体体积V424xy故令3ln4Inx22lny入xyzFxFyFzy34z2y得：xz驻点唯一.2.2122为所求点例3、在第一象限内，过椭圆曲线3x22xy3y21上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点

5、（x,y）处的切线方程为：3xyXx3yYx3yX3xyyx3yx3xy切线与两坐标轴的截距分别为xUyy,y3xx3xyx3y1x3y3xy2x3y3xyxyyx23xyx3y若要使S最小，只要x3y3xy最大故设Fx3y3xy入3x22xy3y21Fx6x10y6入x2入y0由Fy10x6y2入x6入y0F入3x22xy3y210/曰1行：xy2.2驻点唯一1smin.4例4、P212例5.325.33第六章多元函数的积分10二重积分1、定义P225,ydlim02、性质其中D的面积P226d表示平面区域Dfx,ydfD3、几何意义fx,y0,x,yD4、，则fx,yd表示以zfx,y为顶

6、,D以D为底的曲顶柱体体积。二重积分在直角坐标下的计算法fx,ydfx,ydxdyDD用xx平面截立体得如图1所示的曲边梯形其面积sxy2x“xfx1ydyfx,ydDbsxdxy2y1fx,ydydxbdxay2y1fx,ydydcdyh2:h1yyfx,ydx例1、计算二重积分x2y2d其中D由曲线yx2直线x1及x轴所围成。解：首先画出积分区域dxx2y2dyyx2dx06x3dx26105例2、将二重积分x,yd中D为:(1)抛物线y解：y交点(2,2)(2,2)f(x,y)dD2_dx21x22f(x,y)dy20dyyf(x,y)dx-：-Ty44y24yf(x，y)dx(2)圆x

7、2k2,xf(x,y)dDk0dyk-y2v2f(x,y)dx7kydx22k2x20kf(x,y)dy0dxyx2,y4x2,y1所围,f(x,y)dD10dyy2f(x,y)dxy化为累次积分,x2所围成f(x,y)dydyyf(x,y)dx0例3、计算22.xydxdy0x1,0<y<1D1I122.12,12.dxxydyxdxydy0000例4、P228,例6.1,6.2,6.3x例5、f(x)y11eydy,贝U0f(x)dx-(e1)1x11-1x1_解：0f(x)dxyedydxdx0x0eydyx1xy-x1-y0dyeydx0yey0Jdy010y(e-1)dy

8、22、,22y、,2例6、0dxxedy0dy0edxyey2dy2(1-e-4)0x例7、交换积分次序1dx0x20f(x'y)dy13(3x)2dxf(x,y)dyi0132ydyf(x,y)dx0了例8、P231例6.5例6.6,6.7(1),6.8,6.9,6.105、重积分在极坐标下计算方法f(x,y)dDf(rcos,rsin)rdrd例9、计算x2y2dD:解:x22rdrr2d(r2)例10、x,ydD:由y0,x2yb2b2,解：Dx,yd2bsin2asin2rcossindr22cossin2bsin44(ba4)2asin24Y2asin04(b4a4)tin6Jb4a4)例11、x,yd221,xy0轴所围。r2sin(6,1)x,ydD2sin2consin4con6sin2sin454(4sincon61.-sin4con)d(-sin631.2一sin8_91612、P23涮6.136.146.1513、证明2九(.174)dxdyx2y2116sin2xsin7t4证:dxdy一2xsinyx2y2dxdy1.16x216r22(.174)dxdyx2y2116sin2xsin2yx21-dxdy2i412,16r2dr例14、设f(x)在a,b上连续且单调增加,试证:yf(y)dDf(x)dx(x,y)证：设iyf(y)dDba