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文档简介
1、加法原理【例11从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法?分析与解:一天中乘坐火车有4种走法,乘坐汽车有3种走法,乘坐轮船有2种走法,所以一天中从甲地到乙地共有:4+3+2=9(种)不同走法。以上利用的数学思想就是加法原理。加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m种不同方法在第n类方法中有m口种不同方法,那么完成这件任务共有N=mi+m2+m种不同的方法。乘法原理和加法原理是两不重要而常用的计数法则,在应用时一定要注意它们的区别。乘法
2、原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积;加法原理是把完成一件事的方法分成几类*二类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。例2有红、黄、蓝小旗各一面,从中选用1面、2面或3面升上旗杆,做出不同的信号,一共可以做出多少种不同的信号?分析:因为选一面符合要求,选2面或3面都符合要求,这三类之间是单独成立的,事独成则加;而选两面时,第一步确定第一面,第二步确定第2面,要分步才能完成选两面这件事,事分步则乘。这道题是加法原理与乘法原理的综合运用。解:如一次开一面,则有3种信号;如一次开两面,则有32=6种信号;如一次开三
3、面,则有32X1=6种信号;一共有:3+6+6=15种。【例3】两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?分析与解:两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数都是奇数,或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇数,所以两数都是奇数的有3M=9(种)情况;同理,两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理,两次出现的数字之和为偶数的情况有9+9=18(种)。【举一反三】从19、20、21、22、93、94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法共有多少种?【例4】从2、3、4、5、6、10、11、12这8个数中,取出两个数组成一个最简真分数有多少种取法?【举一反三】有5家英国公司,6
4、家日本公司,8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易,彼此都希望与异国的每个公司洽谈一次,问要安排多少次会谈场次?【例5】1995的数字和是1+9+9+5=24,问:小于2000的四位数中,数字和等于24的数共有多少个?解:小于2000的四位数千位数字是1,要它数字和为24,只需其余三位数数字和是23。因为十位、个位数字和最多为9+9=18,因此百位数字至少是5,于是可以根据百位数字为5时,为6时,为7时,为8时,为9时这五类情况考虑。百位数字为5时,只有1599一个。百位数字为6时,只有1689、1698两个。百位数字为7时,只有1779、1788、1797三个。百位数字为8时,只有1869、18
5、78、1887、1896四个。百位数字为8时,只有1959、1968、1977、1986、1995五个。总计共:1+2+3+4+5=15个。【举一反三】从1-9这九个数中,每次取2个数,这两个数的和必须大于10,能有多少种取法。【例61从3名男生与2名女生中选出3名三好学生,其中至少有一名女生,共有多少种选法?分析:因为至少有一名女生,即有只有一名女生和有两名女两类情况,需要用到加法原理。又因为可以分先选女生,再选男生两步进行,所以需用到乘法原理。解:只有一名女生,女生的选法有2种;相应的男生要选出2名,在3名男生中选两名有3种选法。共有2毛=6种。两名女生都是三好学生,女生的选法只有1种;相
6、应的在3名男生中选出一名三好学生有3种选法。共有:1刈=3种总种数:6+3=9(种)【举一反三】从8个班选12个三好学生,每班至少1名,共有多少种不同的选法【例7】有3个工厂共订300份南方日报,每个工厂最少订99份,最多订101份,一共有多少种不同的订法?解:三个工厂都订100份,有1种情况;三个工厂分别订99、100、101份,有6种情况,所以三个工厂共有1+6=7种不同的订法。【举一反三】把12支铅笔分给3个人,每人分得偶数支,且最少得2支,共有多少种分法?【例8】一位小朋友横着一排画了6个苹果,其中至少有3个苹果连在一起画的方法有多少种?解:6个苹果连在一起1种,5个苹果连在一起1+5
7、,5+1,共2种。4个苹果连在一起有2+4,4+2,1+1+4,1+4+1,4+1+1共5种,3个苹果连在一起有3+3,3+2+1,3+1+2,2+1+3,2+3+11+3+2,1+2+3,3+1+1+1,1+3+1+1,1+1+3+1,1+1+1+3共11种。合计:19种。我们通常解题,总是要先列出算式,然后求解。可是对有些题目来说,这样做不仅麻烦,而且有时根本就列不出算式。下面我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。【例9】在左下图中,从A点沿实线走最短路径到B点,共有多少条不同路线?分析与解:题目要求从左下向右上走,所以走到任一点,例如右上图中的D点,不是经过左边的E点,就是经过下
8、边的F点。如果到E点有a种走法(此处a=6),至UF点有b种走法(此处b=4),根据加法原理,至ID点就有(a+b)种走法(此处为6+4=10)。我们可以从左下角A点开始,按加法原理,依次向上、向右填上到各点的走法数(见右上图),最后得到共有35条不同路线【举一反三】A点沿最短路线到B点,其中经过C点和D点的左下图是某街区的道路图不同路线共有多少条?【例10】小明要登上10级台阶,共有多少种不同的登法?分析与解:登上第1级台阶只有他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去、或者从平地跨2级上去,故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,
9、或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)一般地,登上第n级台阶,或者从第(n-1)级台阶跨一级上去,或者从第(n-2)级台阶跨两级上去。根据加法原理,如果登上第(n-1)级和第(n-2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这
10、用数的第10个,即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图)。【举一反三】小明要登15级台阶,每步登1级或2级台阶,共有多少种不同登法?同步测试姓名:得分:1、由A村去B村有2条路可走,由B村去C村有4条路可走,问从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?2、数字和是4的三位数有多少个?3、16、书桌上有10本不同的音乐书,5本不同的数学书,4本不同的外语书(1)从中任取1本有多少种取法?(2)从三种书中各取1本有多少种取法?4、十把钥匙开十把锁,但不知道那把钥匙开哪把锁,问最多试多少次,就能把锁和钥匙配起来?5、有4本不同的书,一个人去借,共有多少种不同的借法?6、小明全家五口人到郊外春游,由其中一人轮换给其他人拍照,如果单人各照一张,每两人合影一张,每三人合影一张,每四人合照
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