九年级数学第13讲梅涅劳斯定理与塞瓦定理目标预备班练习版

1、1梅涅劳斯定理与塞瓦定理双块一梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、CEBD1.这条直线叫4ABC的梅氏线，4ABC叫梅氏三AFD、E点，那么FB角形.知识导航DCEA证法一：如左图,过C作CG/DF.DBFBECFGDCFGAEAF.AFBDCEAFFBFG1FBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AGIIBD交DF的延长线于G.AFAGBDBDCEDC.FBBDDCDCEAAG三式相乘即得：空空CE里生1FBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于Hi、H2、H3.则有AH1/BH2/CH3,

2、所以AFBDCEAH1BH2CH31231.BH2ch3AH1FBDCEA梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是ABC的二边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果里生1,则F、D、E三点共线.FBDCEA【例1】如图，在4ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F,交AD于点E,求证：AE:ED2AF:FB.习题1.在ABC中，D是BC的中点，经过点长线于点F.求证：-FA-EA.FCEBD的直线交AB于点E,交CA的延142BD习题2.如图，在ABC中，ACB90,ACBC.AM为BC边上的中线,AFCDAM于点D,CD的延长线交AB于点F.求生.FB【例2】如图，在4ABC中，B

3、M:MN:ND5:3:2.D为AC中点，BFFFFC,求证：习题3.如图，在4ABC中，D为BC的中点，AF:FF:FD4:3:1,求AG:GH:AB.【例3】过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F,交CB的延长线于点D.BECF彳求证：1EAFAAD2【例4】如图，点D、E分别在ABC的边AC、AB上，AEEB,2BDDC3与CE父于点F,SaABC40求SaeFD.144习题4.如图，在4ABC中，三个三角形面积分别为5,8,10.四边形AEFD的面积为x,求x的值.【例5】如图，在4ABC中，A的外角平分线与边平分线与边CA交于点Q,C的平分线与边BC的延长线交于点P,B的AB

4、交于点R,求证：P、Q、R三点共线.习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点.塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F,如图，那么里生空1.通常称点P为4ABC的塞瓦点.DCEAFB证明：二.直线FPC、EPB分别是ABD、4ACD的梅氏线,.BCDPAF.DBCEAP/-1,1.CDPAFBBCEAPD两式相乘即可得：EDCE空i.DCEAFB塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且-BD-CEF1,那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）.DCE

5、AFB146证明:ADBC如图,作直线若AD与BE相交于一点P时,CP交AB于F.由塞瓦定理得:又已知BDCEDCEABDDCAFFBCEEAAF1,AFFB.ABFBF与F重合CF与CF重合，AD、BE、CF相交于一点.若AD与BE所在直线不相交,BDDcEAACEABDCE,又已知ACDCEACEi,即年-EAFB则AFAD/BE1，FBFBACAF如图.BE/FC,AD/BE/FC.说明：三线平行的情况在实际题目中很少见.探索提升AX,BY,CZ三线共【例6】（1）设AX,BY,CZ是ABC的三条中线，求证:点.A(2)若AX,BY,CZ为4ABC的三条内角平分线.求证：AX,BY,CZ三线共点习题6.148若AX,BY,CZ分别为锐角4ABC的三条高线，求证：AX,BY,CZ三线共点.【例7】如图，M为4ABC内的一点，BM与AC交于点E,CM