实二次型的定性

1、定义定义 对实二次型对实二次型 AXXxxxfTn ,21若对任意若对任意n个不全为零的实数个不全为零的实数 ，恒有，恒有 nccc,21 （1） ，则称实二次型，则称实二次型 f 是是正正定定的，称实对称矩阵的，称实对称矩阵 A是是正定矩阵正定矩阵； 0),(21 ncccf （2） ，且至少存在，且至少存在n个不全为个不全为零的实数零的实数 ，使得，使得则称实二次型则称实二次型 f 是是半正定半正定的，称实对称矩阵的，称实对称矩阵 A为为半正半正定矩阵定矩阵； 0),(21 ncccfnccc ,210),(21 ncccf （3） ，则称实二次型，则称实二次型 f 是是负负定定的，称实对

2、称矩阵的，称实对称矩阵 A为为负定矩阵负定矩阵； 0),(21 ncccf0),(21 ncccfnccc ,210),(21 ncccf 上述四种情况以外的实二次型称为上述四种情况以外的实二次型称为不定不定的，其对的，其对应的实对称矩阵应的实对称矩阵A称为称为不定不定的。的。 （4） ，且至少存在，且至少存在n个不全为个不全为零的实数零的实数 ，使得，使得 ，则称实二次型则称实二次型 f 是是半负定半负定的，称实对称矩阵的，称实对称矩阵 A为为半负半负定矩阵定矩阵； 例例 实二次型实二次型 222221121),(nnnxaxaxaxxxf 正定正定 均大于零。均大于零。 naaa , ,

3、,21定理定理 可逆的实线性替换不改变实二次型的定性。可逆的实线性替换不改变实二次型的定性。 证明证明 考虑实二次型考虑实二次型 。任取可逆实。任取可逆实线性替换线性替换 ，把二次型，把二次型 变为变为 ，其中，其中 。 AXXfT CYX AXXfT BYYgT ACCBT （1）设设 正定。正定。AXXfT 0Y00CYX 则由则由 C可逆，可得可逆，可得 。因。因 正定，正定，故故 。于是，。于是， 0XAXXfT 000 AXXT0000)(YACCYBYYTTT )()(00CYACYT 000 AXXT即即 是正定二次型。是正定二次型。 BYYgT 任取任取 ，令，令 因因 可通过

4、可逆线性替换可通过可逆线性替换 化为化为 ， （2）设设 是正定二次型。是正定二次型。BYYgT BYYgT XCY1 AXXfT AXXfT 同理可证，同理可证，f 与与 g 也同为负定、半正定、半负定也同为负定、半正定、半负定或不定。或不定。 故由（故由（1）的结论可得）的结论可得 是正定二次型。是正定二次型。 推论推论 设设 A与与B是两个是两个n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵， ，则则 A是正定矩阵（负定矩阵，半正定矩阵，半负定是正定矩阵（负定矩阵，半正定矩阵，半负定矩阵，不定矩阵）矩阵，不定矩阵） B是正定矩阵（定矩阵，半正是正定矩阵（定矩阵，半正定矩阵，半负定矩阵，不定矩阵）。定矩阵，

5、半负定矩阵，不定矩阵）。 BA 定理定理 设设n元实二次型元实二次型 AXXxxxfTn ,21则下列命题等价：则下列命题等价： （1） 是正定二次型（即是正定二次型（即 A是是正定矩阵）；正定矩阵）； ),(21nxxxf （2） 的正惯性指数为的正惯性指数为n （即（即 ）；）； ),(21nxxxfIA （3）存在可逆的实矩阵存在可逆的实矩阵B，使得，使得 ； BBAT （4）A的的n个特征值全部大于零个特征值全部大于零 。 例例 判别下列二次型的定性判别下列二次型的定性 2232),(3221232221321xxxxxxxxxxf 解解（法一法一）利用定义利用定义 2)()(),(2

6、3232221321xxxxxxxxf 0),(321 xxxf令令 ，则有，则有 0),(321 xxxf 0 , 0 , 033221 xxxxx解得解得 。说明当。说明当 不全为零时，必有不全为零时，必有 0 , 0 , 0321 xxx321,xxx0),(321 xxxf 所以，所以， 是正定二次型。是正定二次型。 ),(321xxxf（法二法二）利用标准形利用标准形 2232),(3221232221321xxxxxxxxxxf 232322212)()(xxxxx 令令 33322211xyxxyxxy 或或 33322311yxyyxyyx 则则 2322213212),(yy

7、yxxxf 由此得由此得 的正惯性指数为的正惯性指数为3，所以，所以 是正定的。是正定的。 ),(321xxxf),(321xxxf（法三法三）利用特征值利用特征值 的矩阵为的矩阵为 ),(321xxxf 310121011A它有特征值它有特征值 ，均大于零，故二次型，均大于零，故二次型 正定。正定。 32 , 32 , 2 AXXxxxfT ),(321例例 设设 A是正定矩阵，则是正定矩阵，则 也是正定矩阵。也是正定矩阵。 1 A证明证明 A是正定矩阵是正定矩阵 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P，使，使 ，故，故 A可逆。可逆。 PPAT 又又 A是实对称矩阵，故是实对称矩阵，故 111)()

8、( AAATT即即 A- -1 也是实对称矩阵。也是实对称矩阵。 （法一法一） A是正定矩阵是正定矩阵 IA 故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵 ，使，使 1CIACCT 111111) ( IACCTICACT 11111)( ICACTTT )()( 11111ICACT 1因因 ，故，故 是正定矩阵。是正定矩阵。 IA 11 A（法二法二） A是正定矩阵是正定矩阵 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ，使，使 。 1P11PPAT 11111111) () ( TTPPPPATTTPP) ()(1111 令令 ，则，则 C可逆，且可逆，且 TCC)(11 令令 ，则，则 P可逆，且可逆，且 TPP)(1

9、1 PPAT 1所以，所以， 是正定矩阵。是正定矩阵。 1 A（法三法三） A是正定矩阵是正定矩阵 A的特征值的特征值 均大于零均大于零 于是，于是， 的特征值的特征值 也都大于零。故也都大于零。故 是是正定矩阵。正定矩阵。 1 A1 A 1（法四法四） A是正定矩阵是正定矩阵 二次型二次型 正定正定 AXXfT 又可逆线性替换又可逆线性替换 把把 化化为为 ，故二次型，故二次型 正定。于正定。于是，是， 是正定矩阵。是正定矩阵。 YAX1 AXXfT YAYgT1 YAYgT1 1 A性质性质 设设 是正定矩阵，则是正定矩阵，则 nnjiaA （1） niaii, 2 , 1 , 0 （2）

10、 0 | A定义定义 设设 是是 n阶方阵，则称子式阶方阵，则称子式 nnjiaA nkaaaaaaaaakkkkkkk, 2 , 1 , 212222111211 为矩阵为矩阵 A的的 k阶阶顺序主子式顺序主子式。 定理定理 n元实二次型元实二次型 正定的充分必要条正定的充分必要条件为件为 A的全部顺序主子式均大于零，即的全部顺序主子式均大于零，即 AXXTnkk, 2 , 1 , 0 例例 判别下列二次型的定性判别下列二次型的定性 2232),(3221232221321xxxxxxxxxxf 解解（法五法五）利用顺序主子式）利用顺序主子式 的矩阵为的矩阵为 ),(321xxxf 3101

11、21011A其各阶顺序主子式其各阶顺序主子式 02| , 012111 , 01|1|321 A 所以，所以， 正定。正定。 ),(321xxxf 定理定理 对实二次型对实二次型 ，下，下列命题等价：列命题等价： AXXxxxfTn ,21 （1） 是半正定二次型（即是半正定二次型（即 A是是半正定矩阵）；半正定矩阵）； ),(21nxxxf （2） 的正惯性指数的正惯性指数 p等于等于 的秩，且的秩，且 （即（即 A合同于对角矩合同于对角矩阵阵 ，其中对角矩阵的主对角元至，其中对角矩阵的主对角元至少有一个少有一个0）；）； ),(21nxxxf),(21nxxxfnp )0 , 0 , 1

12、, 1(diag（3）存在不可逆的实矩阵存在不可逆的实矩阵B，使得，使得 ； BBAT （4）A的特征值全部非负，且其中至少有一个等的特征值全部非负，且其中至少有一个等于零；于零； （5）A的各阶主子式全部非负，且其中至少有一的各阶主子式全部非负，且其中至少有一个等于零。个等于零。 小小 结：结： 1用正交替换法与配方法化二次型为标准形；用正交替换法与配方法化二次型为标准形； 2正交变换的几何意义；正交变换的几何意义； 3判别实二次型的定性。判别实二次型的定性。 例例 设设 A是是 n阶实对称矩阵，证明：当阶实对称矩阵，证明：当 t充分大时，充分大时， 是正定矩阵。是正定矩阵。 tIA 证明证

13、明 因因 tIAtIAtIATTT )()(故故 是对称矩阵。是对称矩阵。 tIA 设设A的特征值为的特征值为 ，则，则 的特的特征值为征值为 n ,21tIA tttn , , ,21当当 , ,max21nt 时，时， 的特征值全大于零。此时，的特征值全大于零。此时， 是正定是正定矩阵。矩阵。 tIA tIA （另法另法）考虑）考虑 的顺序主子式的顺序主子式 ，不难发，不难发现现 可表为可表为 tIA k k 0111btbtbtkkkk 因因 是是 t的的 k次多项式，且首项系数为次多项式，且首项系数为1，故存，故存在正实数在正实数 ，使当，使当 时，时， 。取。取 k kNkNt 0

14、k , ,max21nNNNt 则则 的顺序主子式全部大于零。故的顺序主子式全部大于零。故 正正定。定。 tIA tIA 例例 设设 A是是 实矩阵，则实矩阵，则 半正定或正半正定或正定。定。 nm AAT 证明证明 因因 ，故，故 是实对称矩阵。是实对称矩阵。 AAAAAATTTTTT )()(AAT 考虑二次型考虑二次型 。任取实列向量。任取实列向量 ，则有，则有 XAAXfTT)( 0X0)()()(0000 AXAXXAAXTTT这是因为这是因为 是实列矩阵。所以，是实列矩阵。所以， 是半正定二次型或正定二次型，即是半正定二次型或正定二次型，即 是半正定矩是半正定矩阵或正定矩阵阵或正定

15、矩阵。 0AXXAAXfTT)( AAT 结论结论 平面（空间）直角坐标系原点不动的旋转变平面（空间）直角坐标系原点不动的旋转变换是系数行列式等于换是系数行列式等于1的正交替换。的正交替换。 例例 将二次曲面方程化为标准形式将二次曲面方程化为标准形式 038283226 20828102222 zyxxzyzxyzyx解解 考虑方程的二次项部分考虑方程的二次项部分 xzyzxyzyxzyxf20828102),(222 其对应矩阵为其对应矩阵为 10410421410141A 因因 ，故，故 A有有特征值特征值 9, 18,18，它们对应的特征向量分别为，它们对应的特征向量分别为 )18)(18)(9(| AITTTXXX)1 , 2 , 2( ,)1 ,21 , 1( ,)1 , 1 ,21(321 单位化后得单位化后得 TTT)31 ,32 ,32( ,)32 ,31 ,32( ,) 32,32 ,31(321 令令 313232323132323231321 Q则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 181891AQQAQQT作