微积分：极限存在准则与两个重要极限

1、1主要内容：主要内容：一、一、极限存在准则极限存在准则二、二、两个重要极限两个重要极限 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第四节第四节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限2一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹挤准则夹挤准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限3准则准则 如果当如果当)(0 xU

2、xo ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹挤准则夹挤准则.4例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1

3、 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn5练习：!limnnnn1.求2221112.lim ()2nnnnnn求6x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.几何解释几何解释:AM7例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 ,

4、 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx8练习：2222证明数列， 的极限存在，并求此极限。9AC二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 10,tansinxxx , 1sincos xxx

5、即即.02也成立也成立上式对于上式对于 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxOABOACOABSSS扇形111sintan ,222xxx111sinlim0 xxx注意：注意：1.函数极限为函数极限为 型且含有三角函数型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母公式中出现的变量（可以是字母 或是或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为公式的等价形式为tx 或或001sinl

6、im0 xxx12例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 131) 1sin(lim. 22sinlim . 1231xxxxxx计算下列极限计算下列极限随堂练习232 ，答案：143、计算下列极限：,2tanlim)1(0 xxx),0(sinsinlim)2(0 xxx,cotlim)3(0 xxx ,sin2cos1lim)4(0 xxxx ,sinlim)5(nxnn .sinarcsinlim)6(0 xxx1)6( ;)5( ;2)4( ;1)3

7、( ;)2( ;21)1(x 答答案案：15(2)exxx )11 (lim定义定义ennn )11(lim利用伯努利不等式(数学归纳法)：(1)1nxnx (1,0)xn 整数161111(1+)(1+ )1nnnnxxnn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx另一方面，令：11(1+ )nnyn ;ny类似可证，是单调递减的 ;nx是有界的.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e121(1)() ()11nnnnnnn211(1+)(1)1(1)nnn21(1+)(1)1(1)nnn23(2)(1)(1)nnnn323(322)1(1

8、)nnnn14nnxyy17,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 18, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limttttttttttttt)111()111()1()1()11( 1

9、9e)x11 (limxx xu1 令令0limu则则euu 1)1 (ux1 则则20exxx)11 (lim对于公式注意：注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母底数中的无穷小量（可以是字母 或是或是 代数式）和指数互为倒数。代数式）和指数互为倒数。tx或或1.公式中底数的极限是公式中底数的极限是1，指数趋于无穷大，指数趋于无穷大,属于属于 型的极限问题型的极限问题1exxx 10)1(lim. 3 公公式式的的等等价价形形式式为为21例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 22内容小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 23习题演练习题演练xxx1sin1211lim1、计算、计算21e答案：24、计算下列极限：、计算下列极限：3 ,1lim)1(10 xx