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1、实验二 数值方法计算积分 学号: 姓名: 指导教师:实验目的1、 了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法;2、 初步了解matlab中的部分函数,熟悉循环语句的使用;3、 通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式,以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。一、 用不同数值方法计算积分ln xdx=-.(1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函数,并与积分精确值比较两个公式的精度,是否存在一个最小的h,使得精度不能再被改善?(2) 用龙贝格求积计算完成问题(1)。二、 实现实验1、 流程图: 下图是龙贝格算法框图:开始读入a,b,ch=b-a,T1=h
2、f(a)+f(b)/2,k=1S=0,x=a+h/2S=S+f(x)x=x+hx<b ?YNT2=T1/2+hS/2S2=T2+(T2-T1)/3k=1?Yk=k+1,h=h/2T2=T1,S2=S1NC2=S2+(S2-S1)/15C2=C1YNR2=C2+(C2-C1)/63k=2 ?k=3 ?YR2=R1NR2-R1< NY输出R2结束2、 算法:(1) 复合梯形公式:Tn=2;(2) 复合辛普森公式:Sn=f(a)+f(b)+2+4;以上两种算法都是将a-b之间分成多个小区间(n),则h=(b-a)/n,xk=a+kh, xk+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据
3、两公式便可。(3) 龙贝格算法:在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式1、 Sn=T2n-Tn2、 Cn=S2n-Sn3、 Rn=C2n-Cn从而实现算法。3、 程序设计(1)、复合梯形法:function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f); (2)、复合辛普森法: function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fnam
4、e,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2); (3)龙贝格法: function I,step=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin=3) eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f
5、),b);while tol>eps k=k+1; h=h/2; Q=0; for i=1:M x=a+h*(2*i-1); Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x); end T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q; M=2*M; for j=1:k T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4j-1); end tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endI=T(k+1,k+1);step=k;4、实验结果;(1)复合梯形法 (2)、复合辛普森法结果: (3)龙贝格法结果四总结由结果(1)、(2)可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高,且当步长取不同值时即n越大、h越小时,积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再
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