第四章 应力和强度

1、 1. 应力与强度的概念应力与强度的概念 2. 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 3. 截面的几何特征截面的几何特征 4.梁的正应力强度梁的正应力强度 5.梁的剪应力强度梁的剪应力强度4-1 4-1 应力和强度的概念应力和强度的概念一、应力的概念一、应力的概念问题提出：问题提出：PPPP1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。1. 定义：定义：由外力引起的内力。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 P AM平均应力：平均应力：应力：应力：APpMAPAPpAd

2、dlim02. 应力的表示：应力的表示：应力分解为：应力分解为：p M ANANAddlim0AVAVAddlim0垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力” ( (Normal Stress) )；位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“剪应力剪应力”( (Shearing Stress) )。 应力的单位：应力的单位：2N/m即即 帕斯卡帕斯卡 Pa1GPa =103MPa =109Pa1MPa =106Pa变形前1. 变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：纵向纤维变形相同，原为平面的横截面在变形后仍为平面。受载后PP d ac b二、拉（压）

3、杆横截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2. 拉伸应力：拉伸应力：NPAN 轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。abcd横截面三、三、 强度设计准则（强度设计准则（强度条件）：）： max其中：-许用正应力， max-危险点的最大工作正应力 -许用剪应力， max-危险点的最大工作剪应力。 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。 max4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 纯弯曲纯弯曲:梁的梁的横截面上只有横截面上只有弯矩，而没有弯矩，而没有剪力作用。横剪力作用。横截面上只分部截面上只分部正应力。正应力。 剪力弯曲剪力弯曲:粱的横

4、截面上既有弯矩，粱的横截面上既有弯矩，又有剪力作用。横截面上同时分布正又有剪力作用。横截面上同时分布正应力和切应力。应力和切应力。变形的几何关系变形的几何关系应力与应变间物理关系应力与应变间物理关系静力平衡条件静力平衡条件正应力计算公式正应力计算公式导出导出纯弯曲时梁的正应力推导纯弯曲时梁的正应力推导纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力梁横截面上的变形梁横截面上的变形 变形几何关系变形几何关系 要找出梁横截面要找出梁横截面上正应力变化规律，上正应力变化规律，须先找出纵向线应变须先找出纵向线应变在该截面上的变化规在该截面上的变化规律律. 平行于梁轴线的平行于梁轴线的纵向线纵向线aaaa和和bbbb代

5、表纵代表纵向纤维；垂直于轴线向纤维；垂直于轴线的的mmmm和和nnnn代表横截面代表横截面4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力(c )(d )(e )zm中 性 层O中性层yxmmnbabam nmmmmm naayd xd OO O12x 梁横截面上的变形梁横截面上的变形规律：规律：（2）在变形前，与梁轴在变形前，与梁轴线垂直的横向直线线垂直的横向直线m-m和和n-n变形后仍保持变形后仍保持为直线，相互倾斜了为直线，相互倾斜了一个角度，但仍与弯一个角度，但仍与弯曲后的梁轴线保持垂曲后的梁轴线保持垂直。直。 （1）纵向线纵向线a-a和和b-b，由变形前的直线变成由变形前的直线变成了平行

6、的圆弧线，凹了平行的圆弧线，凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线缩短，凸边纵向线伸长。边纵向线伸长。梁内既不伸长也不缩梁内既不伸长也不缩短的纵向纤维层。短的纵向纤维层。中性层与各横中性层与各横截面的交线截面的交线,垂直于横截面的垂直于横截面的对称轴对称轴y。由观察变形而得的假设由观察变形而得的假设:平截面假设平截面假设: 横截面变形后仍保持平面横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于且仍垂直于变形后梁轴线变形后梁轴线,只绕横截面内某轴只绕横截面内某轴(中性轴中性轴)转一角度转一角度单向单向(纵向纵向)受力假设受力假设: 变形后各纤维之间互不挤压变形后各纤维之间互不挤压,只受拉伸或压缩作用只受拉伸或压缩作用

7、.4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力纵向纤维线应变变化规律纵向纤维线应变变化规律:变形前：变形前：变形后变形后: 伸长伸长变形的几何关系变形的几何关系4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力dxooab21dyab)( ddxoo21ydddydxabS)(ydyddxS 物理方面物理方面(弹性弹性)n静力平衡关系静力平衡关系 (合力矩定理、合力定理合力矩定理、合力定理)4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力EyE AdAN0AdAzyM0AMdAyzM推论推论1 : 中性轴必通过截面形心中性轴必通过截面形心推论推论2 : z 轴为主惯性轴轴为主惯性轴M 横截面上的弯矩横截

8、面上的弯矩y 所计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩正应力计算公式正应力计算公式4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIyMM 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y 所计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩应力正负号确定应力正负号确定 M为正时为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉中性轴上部截面受压下部截面受拉; M为负时为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压中性轴上部截面受拉下部截面受压. 在拉区在拉区 为正为正,压区压区 为负为负4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIyM梁横截

9、面上正应力的最大值：梁横截面上正应力的最大值：永远出现在梁截面的上、下边缘处永远出现在梁截面的上、下边缘处 抗弯截面模量抗弯截面模量(截截面抵抗矩面抵抗矩)zctIMymaxmaxmaxmaxmaxyIWzz令则则zctWMmaxmaxmax4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力正应力公式的使用条件及推广正应力公式的使用条件及推广 正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁; 材料处于线弹性范围内材料处于线弹性范围内; 对于具有一个纵向对称面的梁均适用对于具有一个纵向对称面的梁均适用; 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算.4

10、-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIM(x)yx 当当L/h5L/h5时，时，横截面上的剪力对正应力分布横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在和最大值的影响一般在5 5以内，因此横力弯曲时横以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力截面上的正应力 采用下式采用下式4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 示例：示例：矩形截面悬臂梁受均布荷载矩形截面悬臂梁受均布荷载q=2kN/m, b=120mm,h=180mm,L=2m.求求C截面截面a、b、c正应力正应力1.C截面上弯矩截面上弯矩MC=-qL/2 L/4=-qL2/8=-1kNm2.矩形截面惯性矩矩形截面惯性矩Iz=bh3/

11、12=0.58310-4 m43.分别求分别求a、b、c三点正应力三点正应力 a=MCya/Iz=1MPa(拉拉) b=MCyb/Iz=0, c=MCyc/Iz=1.5MPa(压压)4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力最大正应力最大正应力危险截面危险截面: 最大弯矩所在截面最大弯矩所在截面 Mmax危险点：距中性轴最远边缘点危险点：距中性轴最远边缘点 ymax令令Iz /ymax=Wz ,则则 max=Mmax/WzWz 抗弯截面模量抗弯截面模量矩形截面矩形截面:Wz=bh2/6, Wy=hb2/6圆形截面圆形截面:Wz= Wy= D3/32正方形截面正方形截面:Wz= Wy= a3/

12、64-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIyMmaxmaxmax一、极惯性矩：一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐与它到坐标原点的距离标原点的距离平方的乘积平方的乘积2dA,称为该面积称为该面积dA对于坐标原点对于坐标原点o的极惯性矩。的极惯性矩。 截面对坐标原点截面对坐标原点o的极惯性矩为：的极惯性矩为：APdAI;2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面：实心圆截面：;3224202DdAIDP 空心圆截面：空心圆截面：)();1 (3244DdDIP 二、惯性矩：二、惯性矩： 定义：平

13、面图形中任一微面积定义：平面图形中任一微面积dA对对z轴、轴、y轴的惯性矩分别为：轴的惯性矩分别为：y2dA和和Z2dA；则整个图形（面积为则整个图形（面积为A)对对z轴、轴、y轴的惯性矩分别为：轴的惯性矩分别为：;2AzdAyI;2AydAzI4-3 4-3 截面的几何特征截面的几何特征bhym a xym a xyzdyzym a xym a x2362122hbhhbhIWzz34322642ddddIWzzzyym a xym a xdD)(1 322)(6424344DdDDdDDIWzz不同梁横截面的惯性矩和抗弯截面模量：不同梁横截面的惯性矩和抗弯截面模量：123bhIz644dI

14、z64)(44dDIz4-3 4-3 截面的几何特征截面的几何特征正应力强度条件正应力强度条件 材料的容许应力材料的容许应力 矩形和工字形截面梁正应力矩形和工字形截面梁正应力 max=Mmax/Wz Wz = Iz /(h/2) 特点：特点： max+= max-4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度maxmaxzWM 正应力强度计算正应力强度计算校核强度校核强度:截面设计截面设计:确定许用荷载确定许用荷载:4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度maxmaxzWMmaxMzW maxzWM解：画内力图求危险截面内力矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.

15、9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLVNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mV2qL2qL+x例例1 1求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=3.6kN/mxM+82qLV2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAV例例1 1续续图示悬臂梁在自由端受集中力作用，图示悬臂梁在自由端受集中力作用，P

16、=20KNP=20KN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)(1)高宽比高宽比h/b=2的矩形；的矩形；(2)(2)圆形；圆形；(3)(3)工字钢。工字钢。 140MPa1lmP=20KN解解:作弯矩图作弯矩图P l max20MP lKN m maxmaxzMW由强度条件由强度条件 333max620 10143140 10zMWmcm(1)矩形矩形26zbhW b=6cm h=12cm2172Acm(2)圆形圆形332zdWd11.3cm22100Acm(3)工字形工字形查型钢表，取查型钢表，取1616号工字钢号工字钢3141zWcm2326.

17、1Acm例例2 2提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施采用合理截面形状采用合理截面形状 原则：当面积原则：当面积A一定时一定时,尽可能尽可能增大截面的高度增大截面的高度,并将较多的材并将较多的材料布置在远离中性轴的地方料布置在远离中性轴的地方,以以得到较大的抗弯截面模量。得到较大的抗弯截面模量。2362122hbhhbhIWzz4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度maxmaxzWM梁的宽高比为1/21/3，梁的宽度不应小于120MM,高度不小于150MM. 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhW)2/( ;,41221 DRaaD时当在面积相等的情况下，选择抗弯模量

18、大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWa12a1z工字形截面工字形截面提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度 合理安排梁的支座和荷载合理安排梁的支座和荷载 目的目的: 减小梁的最大弯矩减小梁的最大弯矩 外伸梁和简支梁的比较外伸梁和简支梁的比较:提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度采用变截面梁采用变截面梁 目的目的: 节省材料和减轻自重节省材料和减轻自重 理想情况理想情况: 变截面梁各横截面上最大正应力相等变

19、截面梁各横截面上最大正应力相等等强度梁等强度梁:W(x)=M(x)/ =Px/ = bh2(x)/6Px提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度6)(bPxxh提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施4-3 4-3 梁的正应力强度梁的正应力强度矩形截面梁矩形截面梁 剪应力分布假设剪应力分布假设 横截面上的剪应力都平行于剪横截面上的剪应力都平行于剪力力V 剪应力沿截面宽度均匀分布，剪应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴等距处与中性轴等距处 大小相等大小相等剪应力在横截面上的分布规律与截面形状有关：剪应力在横截面上的分布规律与截面形状有关：4-4 4-4 梁

20、的剪应力强度梁的剪应力强度Q横截面上剪力；横截面上剪力；Iz整个横截面对中性轴的惯性矩；整个横截面对中性轴的惯性矩；b 所求剪应力处的截面宽度；所求剪应力处的截面宽度；Sz*所求剪应力处横线一侧部分面积所求剪应力处横线一侧部分面积A*对中性轴静矩对中性轴静矩矩形截面梁剪应力计算公式矩形截面梁剪应力计算公式4-4 4-4 梁的剪应力强度梁的剪应力强度bzIzQSbzIzSdxMd 矩形截面剪应力沿截面高度的变化规律矩形截面剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度按二次抛剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化物线规律变化: y=h/2, =0; y=0, = max; 4-4 4-4 梁的剪应力强

21、度梁的剪应力强度AQbhQ2323max工字形截面梁工字形截面梁 剪应力分布假设仍然适用剪应力分布假设仍然适用 Q横截面上剪力；横截面上剪力；Iz整个工字型截面对中性轴的惯性矩；整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1 腹板宽度；腹板宽度；Sz*阴影线部分面积阴影线部分面积A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩最大剪应力：最大剪应力：111*maxmaxhbQbIQSzz4-4 4-4 梁的剪应力强度梁的剪应力强度1bzIzQS圆形截面梁圆形截面梁 剪应力分布假设不适用剪应力分布假设不适用 最大剪应力仍发生在中性轴上最大剪应力仍发生在中性轴上:4-4 4-4 梁的剪应力强度梁的剪应力强度AQ34max梁

22、的剪应力强度校核梁的剪应力强度校核 剪应力计算公式剪应力计算公式 剪应力强度条件剪应力强度条件 材料弯曲时容许剪应力材料弯曲时容许剪应力4-4 4-4 梁的剪应力强度梁的剪应力强度bzIzQSmaxmaxbzIzQS 设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。才需要校核剪应力强度。1、梁的跨度较短，M 较小，而V较

23、大时，要校核剪应力。2、各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：4-4 4-4 梁的剪应力强度梁的剪应力强度工程中以扭转为主要变形的构件主要是机器中的传动轴、石油工程中以扭转为主要变形的构件主要是机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等；建筑工程中则是雨篷梁和吊车梁等。钻机中的钻杆等；建筑工程中则是雨篷梁和吊车梁等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA4-5 4-5 扭转时的应力扭转时

24、的应力圆轴横截面上的圆轴横截面上的剪剪应力应力 变形几何关系变形几何关系从三方面考虑从三方面考虑：物理关系物理关系 静力学关系静力学关系mm4-5 4-5 扭转时的应力扭转时的应力变形几何关系变形几何关系观察到下列现象：观察到下列现象： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，变形前为平面

25、的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。mmdxxmaxppTTIWmaxmaxmaxppIW非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式, ,均建均建立在立在平面假设平面假设 的基础上。的基础上。 对于非圆截面杆对于非圆截面杆, ,受扭时横截面不再保持受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。曲面。这一现象称为截面翘曲。 因此因此, ,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。圆截面杆均不适用。mm表表矩形截面杆扭转时的系数矩形截面杆扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.3330.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.28