湖南大学材料力学-第三章：圆轴扭转I 截面几何性质

1、 一、概述一、概述实例实例： 方向盘的操纵杆 传动轴 钻头、钻杆在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。以扭转变形为主的杆称为。材料力学只研究圆轴扭转问题。二、扭转内力、扭矩、扭矩图、及外二、扭转内力、扭矩、扭矩图、及外力偶的计算力偶的计算 作用在轴上的外力偶往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速，因而需要换算。设输送的功率N为P kw 传动轴转速为n转/分化标准单位 1kw = 1000 Nm/s一分钟内作功W = Nt = P100060 (Nm)这功是由外力偶作用在轴上来实现的，假定外力偶为m，则一分钟内外力偶作功为：W = m = m n 2

2、)(55. 9mkNnPnPm2601000 )(9550mNnP6010002 Pnm若功率单位为马力时，经过单位换算可得到)(7mkNnPm 主动轮为动力轮，其上外力偶的转向与轴转动方向相同；从动轮为阻力轮，其上的外力偶的转动方向与轴转动方向相反。mx截面法：mmT 扭转内力通常用T表示，称为扭矩。0 xm由mT 0mT若保留右段，则有mT 即TT与大小相等，转向相反mxmmTmT(作用力反作用力)为了表达方便，按变形特点规定符号按右手螺旋法将扭矩T表为矢量，若该矢量方向与截面外法线方向一致为正，反之为负。mTmTmTmT正负(a)(b)mxmmTmT无论保留左段还是右段，得到的扭矩大小、

3、符号均相同，同时，若给出某截面扭矩的大小和符号，则无论保留左段还是右段，都能方便地画出该截面的扭矩 (大小、转向)。 已知A轮为主动轮，B、C、D， 400kwPA， 120kwPPCBkwPD160试求1-1，2-2，3-3截面的扭矩。，轴的转速为300转/分，为从动轮。ABDC123123解：1. 求外力偶mkNmA73.1230040055. 9mkNmmCB82. 330012055. 9mkNmD09. 530016055. 9mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD作轴的受力图，利用截面法可求出扭矩mKNMTB82. 31mKNMMTCB64. 72mKNMTD09. 53此时

4、，T的符号具有双重意义。+5.093.82(kNm)TmAmCmBmD7.64mkNMTB82. 31mkNMMTCB64. 72mkNMTD09. 53132mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD 若将力偶用矢量表示，则与杆的拉、压内力计算完全类似。三、薄壁圆筒的扭转应力三、薄壁圆筒的扭转应力为了解决圆轴的扭转应力计算，我们先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题。0Rt )10(0Rt R0tR0tm0m0 各圆周线形状、大小、间距不变。 各纵向线倾斜相同角度，各矩形变成平行四边形。 由圆周线的大小、形状不变，纵向线发生倾斜的变形现象，我们知道，薄壁圆筒横截面绕轴线转动了一个角度。 圆周线

5、的间距不变，杆子既不伸长，也不缩短，由此推得横截面上无正应力。 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变成平行四边形，而每个直角都改变了相同的角度，这种直角的改变量称为。这种剪应变是由剪应力引起的，因此在横截面的圆周上各点的剪应力是相等的，又由于tR0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均相等。T 剪应变是两截面的错动，发生在垂直半径的平面内，所以剪应力的方向垂直于半径。薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均相等。T由截面法，我们知道横截面上的分布内力系的合力为扭矩T，于是由静力等效关系有：rdATA 上式中的r可用R0代，于是由于，为常数，且t R0tRtRRdAR

6、TA2000022tRT202T材料单元体 三棱边为微元长度 0Ydzdydzdy2121dzdydx1组成一力偶xyzdxdydz1234 平衡，可推测上、下两个面中必有剪应3, 4 0 x043dzdxdzdx43dydzdx3组成一力偶31由平衡知dzdxdydzdydx31xyzdxdydz1234两个互相垂直平面上的剪应力大小相等，方向为同时指向(或同时背离) 两个面的交线。纯剪切 如图，各个侧面均无正应力，只在两对相互垂直的平面上有剪应力。当剪应力不超过材料的弹性极限时，剪应力与剪应变成正比：=G G 剪切弹性模量G与同量纲 G、E、 均为反映材料性质的材料常数对各向同性材料 这三

7、个量中，只有两个独立，它们满足下列关系：)1 (2EG四、圆轴扭转时应力与变形四、圆轴扭转时应力与变形思路思路：观察变形，提出变形假设，导出应变与变形的关系(几何关系)。利用材料本身的性质应力-应变关系(称为物理关系)，由应变规律得到应力分布规律。利用应力-内力关系(静力关系)，可得到用内力表示的应力公式。 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间距不变。 各纵向线近似于直线，只是倾斜了一个相同的角度。 轴表面变形前的矩形格，变形后成了平行四边形格。m0m0从变形的可能性出发假设：杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动。(刚性平面假设刚性平面假设)此假设只适用于等直圆杆，假设的合理性被实验结果和弹性理论

8、所证实。设想，从轴上取出微段dxdx1 2xzyo1 21lxmm1212dxAAodmax截面2-2相对于截1-1将有一个相对的扭转角d，根据刚性平面假设，截面2-2上的任意一半径OA转动到0A，且保持直线。如将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成的，则在这一微段中，组成圆轴的所有薄壁圆筒的扭转角均相等。将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成，然后，再想象从圆轴的dx微段中，取出一半径为 厚度为d 的薄壁圆筒1212dxBABAoddmaxBBodddxddxddxBBtgdx式中dxd为相对扭转角沿杆长度的变化率，记为dxddxdGG上式表明：横截面上的剪应力随着到圆心的距离 按直线规律变化，在同

9、一半径为的圆周上，各点的剪应力均相等。根据剪切胡克定律?dxd横截面上剪应力的合成结果就是该横截面上的扭矩。AAdAdxdGdAdxdG2AdAT rdAmaxdAodAIAp2 极惯性矩abpIdxdGT pGITdxd pITdxdG 在给定的横截面上，最外缘剪应力最大tpwTrITmax rIwpt 抗扭截面模量(1) 实心圆轴取距离圆心为，厚度为d的环形面积为dA于是，ddA2ddAIdAp2 2/022324d1623234dddrIwptdod(2) 空心圆轴)(322 44222dDdIDdp)1 (3244DDd 令)1 (16243DDIwptDodd单位长度扭转角：pGIT

10、dxd(3-16)相距dx的两横截面的扭转角dxGITdxddxpdxGITdp 相距L的两横截面的扭转角为dxGITdLpL0 若在L长度内，T、G、I p为常数，则上式可写成：pLpLpGITLdxGITdxGIT00GIp 抗扭刚度对比 轴向拉压EANLl pGITL公式形式相似，适用条件相同。圆轴扭转pGITLipiiiGILTLpxGITdx0)( 实心圆轴的直径D=100mm，长l=1m，两端受外力偶矩m0=14kNm作用，如图所示。设材料的剪切弹性模量G=80GPa。ABzm0m0yC(1) 杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应力数值及方向；(2) 杆内最大剪应力 max(3)

11、两端截面之间相对扭转角试求：ABzm0m0yC解：(1) 由截面法，易求得轴任意截面的扭矩均为T=m0MPapa4 .71104 .716ApAIT 31243105010321001014BpBIT MPa4 .7131243105010321001014CpCIT MPa7 .3531243102510321001014 截面扭矩为正号扭矩，由静力等效的关系知：在整体图中从右往左看，剪应力方向为A水平向左，B铅垂向下，C竖直向上。ACByzT(2) 因为等直圆轴，且各截面T相等，因此，轴内最大剪应力即为任意截面最外缘的剪应力。MpaA4 .71 max(3)pGITL)(1078. 110

12、32100108011014212493弧度五、圆轴扭转时的强度及刚度计算五、圆轴扭转时的强度及刚度计算等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于纯剪切状态，其强度条件是最大工作剪应力不大于材料的许用剪应力。即 max 等直圆轴强度条件为 tWTmax根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载maxtWTmaxTWtmaxtWT 一传动轴，横截面上最大扭矩为Tmax=1.5kNm，许用剪用力=50MPa，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其重量。(1) 横截面为实心圆截面(2) 横截面是 = 0.9的空心截面解解： 设计实心圆轴 tWTmaxmax maxt TW ma

13、x3016 Td即 3633max0105014. 3105 . 11616Tdmmm5 .53105 .533mmd54 0取(2) 设计空心圆轴 maxt TW max43)1 (16 TD 34max)1 (16TDmm76mmDd4 .689 . 0m3364310761050)9 . 01 (14. 3105 . 116(3) 比较重量同种材料，杆长相同，所以，重量比即为横截面面积之比395. 0545 .687644 2222022ddD重量比空心轴远比实心轴轻，说明空心轴材料利用率高。原因？ 为了保证轴的刚度，通常限制轴的最大单位长度扭转角刚度条件： max在工程中，的单位习惯上

14、用 度/m,记为/m，而按 (3-16) 式求出的值单位为弧度/m ，此外，等直杆，(3-16) 式中的T 为 Tmax(3-17) 上式可改写成 180maxpGIT(3-18)：许用单位长度扭转角通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。按(3-18) 可进行三种不同形式的刚度计算：即 校核刚度180maxpGIT 设计截面180maxGTIp 计算许可荷载180maxpGIT 有一外径D=100mm，内径d=80mm的空心圆轴与一直径d=80mm的实心圆轴用键联接(如图所示)。在A轮输入功率为N1=300马力。在B、C轮处分别负载N2=150马力、N3=150马力。若已知轴的转速为n=3

15、00转/分。材料的剪切弹性模量为G=80GPa，轴的扭转许用剪应力=100MPa，许用单位长度扭转角=1/m ，要求：(1) 校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响)(2) 三个轮的位置应如何设置才较为合理(3) 经合理布置各轮位置后，求C截面相对A截面转角ABC2m1m1mD解： 计算外力偶mkNm730030071mkNmm5 . 3300150732为简化计算，1马力取700瓦，取3 绘制扭矩图m1m2m32m1m1m+T(kNm) 刚度校核“ AD”轴1801079. 51080107180693maxmaxpADGIT mm1866. 012444410)80100(32)(32I dD

16、p式中461079. 5m“ DC”轴1801002. 41080105 . 3180693maxmaxpDCGIT mm1624. 04612441002. 410803232I mdp式中经校核，全轴刚度足够。 强度校核CD轴：PawTtCD663maxmax103510100105 . 3369331010010801616mdwt式中 MPaMPa4035经校核CD轴强度足够。式中9434310)10080(110016)(116DdDwt3610116mAD轴：MPaPawTtAD3 .60103 .6010116107663maxmax经校核AD轴强度不够。403 .60maxMP

17、aMPa 合理布置轮的位置，交换轮1和轮2的位置，则轴的受力图和扭矩图如下图所示：m2=3.5kNmm1=7kNmm3=3.5kNm2m1m1m+T(kNm)3.53.5 Tmax比原来小，这样布置显然更为合理，原来AD轴强度不够，现再对它进行强度校核PawTtAD663maxmax102 .3010100105 . 3 MPaMPa402 .30强度足够了。(Tmax的负号不要代，为什么？) BADBCDCABApBABADBpDBDBCDpCDCDGILTGILTGILT6936931079. 510801105 . 31002. 410801105 . 36931079. 5108021

18、05 . 3)(33. 3弧度dAOyxyx一、截面静矩与形心位置一、截面静矩与形心位置yASxdA xASydA -截面对y轴静矩-截面对x轴静矩Sy 、Sx 面积矩 静矩 量纲 长度3静矩与截面形状、大小、轴的位置有关。讨论水平面的一块均质薄板，重心与形心重合，通过求重心的方法来求形心，设厚度为t，单位体积重为，o-xy平面为水平面。CdAOyxyxyxxAttdAxAxAtxdAtAyASxdA xA xASydA yA 同理设形心为C，根据合力矩定理，有：ASAxdAxyAASAydAyxA或写成截面对某轴的静距为零，则该轴必过形心形心。nnAAAAAAAxdAxdAxdAxdAxdA

19、2121ySniniiiyixAxAS11niiniiiAxA11x niiniiiAyA11y例：求图示截面的Sy、Sx ，及形心位置。y120o801010 x解：将原截面化分为 I、II 两部分 。60 5 10120IIIyxA5 45 1070IIIIIIyxAIIIIIIIIiIyiyxAxASS3)( 37500451070510120mmy120o801010 xIIIIIIIIIIIIixixyAyASS3)( 75500510706010120mm)( 2010701012037500 x mmASy)( 4010701012075500ymmASx二、极惯性矩、惯性矩、惯

20、性积二、极惯性矩、惯性矩、惯性积定义定义dAIAp2截面对o点极惯性矩极惯性矩dAxyIAxy截面对x、y轴的惯性积惯性积oxyxydAdAyIAx2截面对x轴的轴惯性矩轴惯性矩dAxIAy2截面对y轴的轴惯性矩轴惯性矩定义定义oxyxydA轴惯性矩简称为惯性矩惯性矩。 极惯性矩，惯性矩和惯性积量纲均为 长度4，常用单位为 m4 或 (mm)4极惯性矩、惯性矩、惯性积与截面大小形状，以及原点或坐标轴的位置有关。 Ip恒大于零(A0) 且任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。即yxpIII证：由图可见222yx AApdAyxdAI)(222AAdA

21、ydAx22xyII oxyxydA 当A0时，惯性矩恒大于零AIiAiIyyyy 2AIiAiIxxxx 2ix ，iy 称为截面对 x、y 轴的惯性半径惯性半径。 同一截面对不同的 x、y 轴的惯性积Ixy有不同的值，其值可正、可负、也可能为零。 对 于 给 定的O点，总可以找到一对正交轴 xy 使得0yxI则， x、y 轴称为。oxyxyAoxyxyA 截面对主轴的惯性矩称为。 若O点为截面形心，则x、 y 为形心形心主轴主轴 ， I x ， I y 为形心主惯性矩形心主惯性矩。 对于以同一个点为原点的所有正交轴中，截面对主轴的惯性矩Ix 、Iy为极值惯性矩，其中一个为极大值，一个为极小

22、值。 当坐标轴x，y中有一根为对称轴，则Ixy0， 即：对称轴恒为主轴，反之不然。xyyydA dAxx1x例 求图示矩形截面，对 x 、x 轴惯性矩yxx2bb2b2h2h解：12 32222bhbdyydAyIhhAxydyyxx2bb2b2h2hy3 3022bhybdydAyIhAx(x、y为形心主惯性轴)例 求圆形截面对其形心轴的惯性矩xyd解：xyxpIIII2 642322 44ddIIpx圆的任意一根形心轴均为形心主惯性轴。三、惯性矩、惯性积的平行移轴公式，三、惯性矩、惯性积的平行移轴公式，组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积C点为截面的形心xc、yc为一对正交的形

23、心轴，x、y分别平行于xc、yC轴。yxdACOxcxyycabxcyc平行移轴公式，讨论截面对x、y轴的I x、Iy、Ixy 和对xc、yc轴的 ccyxIcxIcyI、之间的关系。任意面积元素dA，在两坐标系中的坐标分别为) ,( ) ,(yxyxcc和bxxcayyc显然，yxdACOxcxyycbaxcyc由定义dAaydAyIAAcx22)(AccdAaayy)2(22AAAccdAadAyadAy222cxAcIdAy2cxAcSdAyAdAA0 cxcSx 轴过形心AaIIcxx2 AAAccxdAadAyadAyI222即AbIIcy2y 同理有abAIIccyxxy a、b为

24、形心C在坐标系oxy中的坐标，因而有正负号之分。 对于所有的平行轴，截面对形心轴的惯性矩最小。例 已知矩形截面对形心轴x的惯性矩为xIbh ,123求yxx2b2b2h2h2)2(hAIIxx23)2(12hbhbh33bhyxx2b2b2h2hAxdAyI2niAxiI1nnAAAAAAdAydAydAy222121各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。 niAyyiII1 同理niAxyxyiII1 例 求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩Ix 、Iyxy2H2H2h2h2B2B2b2b解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。xIIIIIIy2H2H2h2h2B2B2b2b 三部分