圆周角与圆心角的(上课用)

1、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系1.圆心角的定义圆心角的定义?2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧相等相等，所对的弦所对的弦相等相等如果如果两个圆心角两个圆心角、两条弧、两条弧、 两条弦两条弦、两条弦心距两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等组量都分别相等用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成BC当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况当角的顶点发生变化时，

2、这个角的位置有哪几种情况? ?O.O.O.BCBCA.A.A.OBCA 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫圆周角叫圆周角.特征特征练习：练习：1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图2、指出、指出图中的圆图中的圆周角。周角。AOBC ACB ACB BAC ABCABCO有没有圆周角？有没有圆周角？有没有圆心角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们有什

3、么共同的特点？它们都对着同一条弧它们都对着同一条弧ABCOABCOABCOABCODABCOD 下列图形中，哪些图形中的圆心角下列图形中，哪些图形中的圆心角BOCBOC和圆周角和圆周角A A是同对一条弧。是同对一条弧。 自己动手量一量分别是多少度？圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况： 当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .解解:AOC:AOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AO

4、C=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .理解并掌理解并掌握这个握这个模模型型.ABCO 如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ? 2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能

5、否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .OABCD圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 ABC = AOC.ABC = AOC.2121nABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,21ABCO 如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ? 3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外

6、部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : ABC = AOC.ABC = AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的圆周角等于它所一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半对的圆心角的一半. .DOABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系nABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100

7、，则，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数130AO.X120 C C D B3、 如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为为圆心，圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=500，则，则CAD=_252.2.如图如图(2),(2),在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 为什么为什么? ?3.3.如图如图(3),AB(3),AB是直径是直径, ,你能确定你能确定C C的度数吗的度数吗? ?拓展拓展 化化心心动为动为行行动动 1.1.如图如图(1),(1),在在O O中中,BAD =50=50,

8、 ,求求C C的大小的大小. .OCABD(1)OBACDE(2)OABC(3)B=D=EC=130C=90用于判断某个用于判断某个圆周角是否是圆周角是否是直角直角问题解答问题解答1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。用于找相等用于找相等的角的角用于找相用于找相等的弧等的弧用于判断某用于判断

9、某条线是否过条线是否过圆心圆心例题精解例题精解例例1 1：如图，：如图，ABAB是是O O的直径，的直径，BD BD 是是O O的弦，的弦，延长延长BDBD到到C C，使，使AC=ABAC=AB。BDBD与与CDCD的大小有什么关的大小有什么关系？为什么？系？为什么？AOBCD解：解：BD=CD。理由是：。理由是：如图，连接如图，连接AD， AB是是 O的直径的直径ADB=90，即即 ADBC又又AC=AB BD=CD。例题精解例题精解例例2 2、如图，如图，ADAD是是ABCABC的高，的高，AEAE是是ABCABC的外接的外接圆直径。求证：圆直径。求证：ABABAC = AEAC = AE

10、ADADAOBC DE分析：要证分析：要证AB AC = AE ADABADAEAC ADC ABE或或ACE ADB题后思考：题后思考：1 1、证明题的思路寻找方法；、证明题的思路寻找方法；2 2、等积式的证明方法；、等积式的证明方法；3 3、辅助线的思考方法。、辅助线的思考方法。讨论与思考讨论与思考ABCDOE如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，弦弦ABCDABCD于于E E，那么你能，那么你能得到什么结论？得到什么结论？结论结论：（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD（2）AC = BC，CAB = ABC = ADC ， ACE =BCE =DAB（3）BC2

11、= AC2 = CE CD，AD2 = DE DC BE2 = AE2 = DE CE如图，如图，A、B表表示灯塔，暗礁分示灯塔，暗礁分布在经过布在经过A、B两点的一个圆形两点的一个圆形区域内，区域内，C表示表示一个危险临界点，一个危险临界点，ACB就是就是“危危险角险角”，当船与，当船与两个灯塔的夹角两个灯塔的夹角大于大于“危险角危险角”时，就有可能触时，就有可能触礁。礁。船在航行过程中，船长常常通过测定角船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否回遇到暗礁。度来确定是否回遇到暗礁。（1）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角大于大于“危险危险角角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角小于小于“危危险角险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？例例1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径 AOB=2BOC. 求证：求证：ACB=2BAC.AOB=2BOCAOBCACB=2BAC证明：证明： 规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和