晶体的点阵结构和晶体的性质解析

1、1第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质27.1 晶体结构的周期性和点阵晶体结构的周期性和点阵是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列 构成的固体物质。构成的固体物质。 原子、分子、离子在空间按周期性规律排列是晶体结构最原子、分子、离子在空间按周期性规律排列是晶体结构最基本的特征。基本的特征。晶体结构：按周期性规律重复排列晶体结构：按周期性规律重复排列 晶晶 体体 （具有周期性）（具有周期性）非晶态物质（无周期性）非晶态物质（无周期性）固态物质固态物质非晶体结构非晶体结构37.1.1 7.1.1 点阵、结构基元和晶胞点阵、结构基元和晶胞 晶体的周期性

2、结构使得我们可以把它抽象成晶体的周期性结构使得我们可以把它抽象成“点阵点阵”来来研究。在晶体内部，原子和分子按照周期性重复排列，就研究。在晶体内部，原子和分子按照周期性重复排列，就要有重复单位，每个重复单位的要有重复单位，每个重复单位的化学组成化学组成相同，相同，空间结构空间结构相同，相同，周围环境周围环境也相同。（周期性重复的内容）也相同。（周期性重复的内容） 晶体中重复出现的最小单元，为晶体中重复出现的最小单元，为。各个结构基。各个结构基元相互之间化学内容相同，它们所处的环境也完全相同。元相互之间化学内容相同，它们所处的环境也完全相同。 每个结构基元可以用一个数学上的点来代表，称为每个结构

3、基元可以用一个数学上的点来代表，称为（或结点）。于是，整个晶体就被抽象成一组点，称（或结点）。于是，整个晶体就被抽象成一组点，称为为。一、结构基元与点阵一、结构基元与点阵4点阵（点阵（lattice）：）：一组无限的点，连结其中任意两点可得一向量，将此向量平移能一组无限的点，连结其中任意两点可得一向量，将此向量平移能使它复原（即当向量的一端落在点阵点上时，另一端也必然落在使它复原（即当向量的一端落在点阵点上时，另一端也必然落在点阵点上）。点阵中每个点都具有完全相同的环境。点阵点上）。点阵中每个点都具有完全相同的环境。结构基元（结构基元（structural motif）：）：点阵结构中每个点阵

4、点所代表的具体内容，包括原子或分子的种点阵结构中每个点阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构单元。类和数量及其在空间按一定方式排列的结构单元。晶体结构（晶体结构（crystal structure）= 点阵点阵 + 结构基元结构基元 或或 晶体结构晶体结构 = 结构基元结构基元 点阵点阵晶体（点阵结构）晶体（点阵结构）把结构基元抽象为几何点把结构基元抽象为几何点把结构基元放回到点阵上把结构基元放回到点阵上点阵点阵 定 义关 系5周期性结构周期性结构点阵点阵结构基元与点阵点结构基元与点阵点（方框中为结构基元）（方框中为结构基元）周期性结构周期性结构点阵点阵

5、周期性结构周期性结构点阵点阵几种简单的一维周期性结构几种简单的一维周期性结构: 如何从周期性结构中辨认结构基如何从周期性结构中辨认结构基元元(右图中用方框标出右图中用方框标出), 进而画出点阵进而画出点阵.6一维周期性结构与直线点阵一维周期性结构与直线点阵Se螺旋链螺旋链点阵点阵点阵点阵伸展聚乙烯链伸展聚乙烯链7二维周期性结构与平面点阵Cu （111面）的点阵面）的点阵 （红线画出的是一个平面正当格子）：（红线画出的是一个平面正当格子）：二二 维维 周周 期期 性性 结结 构构 与与 平平 面面 点点 阵阵Cu（111面）密置层面）密置层 （每个原子就是一个结构基元，对应一个点阵点）：（每个原

6、子就是一个结构基元，对应一个点阵点）：8 不难想象，若将所有结构基元沿某一方向平移到另一不难想象，若将所有结构基元沿某一方向平移到另一个结构基元位置上，晶体不会有任何变化（假设不考虑表个结构基元位置上，晶体不会有任何变化（假设不考虑表面原子），即可以复原。面原子），即可以复原。 相应地，若将所有点阵点沿此方向平移到相邻或不相相应地，若将所有点阵点沿此方向平移到相邻或不相邻的另一个点阵点位置上，点阵也不应当发生任何变化。邻的另一个点阵点位置上，点阵也不应当发生任何变化。从数学角度给出点阵的定义从数学角度给出点阵的定义: 点阵点阵 是按连接其中任意两点的矢量是按连接其中任意两点的矢量 将所有的点平

7、移将所有的点平移 而能而能复原的复原的 一组无限多个点。一组无限多个点。9实例：如何从石墨层抽取出平面点阵实例：如何从石墨层抽取出平面点阵 小黑点为平面点阵小黑点为平面点阵. 为比较二者关系为比较二者关系, 暂以暂以石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.石墨层石墨层C原子原子 C原子原子点阵点点阵点 1011若将每个若将每个C原子都抽象成点阵点原子都抽象成点阵点 12实例：实例：NaCl(100)晶面如何抽象成点阵？晶面如何抽象成点阵？ 矩形框中内容为一个结构基元，包括一对正负离子矩形框中内容为一个结构基元，包括一对正负离子Na+和和Cl-，可抽象为一个

8、点阵点。可抽象为一个点阵点。 安放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致。这就得到点阵安放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致。这就得到点阵: 13三维周期性结构与空间点阵三维周期性结构与空间点阵下列晶体结构如何抽象成点阵？下列晶体结构如何抽象成点阵？Mn(立方简单立方简单)Li Na K Cr Mo W.(立方体心立方体心)以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点。以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点。14CsCl型晶体结构型晶体结构 CsCl型晶体中型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵点。是不同的原子，不能都被抽象为点阵点。否则，将得到错误的立方体心

9、点阵！这是一种常见的错误：否则，将得到错误的立方体心点阵！这是一种常见的错误：15 立方体心虽不违反点阵定义，却不是立方体心虽不违反点阵定义，却不是CsCl型晶体的点型晶体的点阵！试将此所谓的阵！试将此所谓的“点阵点阵”放回晶体，按放回晶体，按“点阵点阵”上所示上所示的矢量，对晶体中的原子平移，原子的矢量，对晶体中的原子平移，原子A与与B将互换，晶体不将互换，晶体不能复原！能复原！16 正确做法是按统一取法把每一对离子正确做法是按统一取法把每一对离子A-B作为结构基元，作为结构基元，抽象为点阵点抽象为点阵点, 就得到正确的点阵就得到正确的点阵立方简单。立方简单。CsCl 型晶体的点阵型晶体的点

10、阵立方简单立方简单 17 NaCl型晶体中，按统一的方式将每一对离子型晶体中，按统一的方式将每一对离子A-B抽象为抽象为一个点阵点。于是，点阵成为立方面心。一个点阵点。于是，点阵成为立方面心。NaCl 型晶体结构型晶体结构 NaCl型晶体的点阵型晶体的点阵立方面心立方面心 18Mg金属晶体结构金属晶体结构如果这样做如果这样做, 得到的所谓得到的所谓“点阵点阵”违反点阵定义。违反点阵定义。一个晶胞一个晶胞 晶胞俯视图晶胞俯视图 19 正确的做法是按统一的取法把一对原子正确的做法是按统一的取法把一对原子Mg-Mg作为一作为一个结构基元，抽象成为一个点阵点，就得到正确的点阵：个结构基元，抽象成为一个

11、点阵点，就得到正确的点阵：六方简单点阵。六方简单点阵。Mg金属晶体的点阵金属晶体的点阵六方简单六方简单20 这些实例表明，将晶体抽象成点阵的关键是正确地辨认这些实例表明，将晶体抽象成点阵的关键是正确地辨认结构基元。结构基元。当把一种晶体抽象成一组点以后，应当问自己两个问题：当把一种晶体抽象成一组点以后，应当问自己两个问题： 按连接其中任意两点的矢按连接其中任意两点的矢量量 将所有的点平移将所有的点平移 而能复原。将而能复原。将Mg晶体中每个原子都抽象晶体中每个原子都抽象成成“点阵点点阵点”, 得到的一组点就违反了点阵定义得到的一组点就违反了点阵定义, 不是点阵不是点阵. 将将CsCl型、型、N

12、aCl型晶体中的型晶体中的每个原子都抽象成点阵点，得到的一组点并不违反点阵定义，每个原子都抽象成点阵点，得到的一组点并不违反点阵定义，但却不是所研究的晶体的点阵但却不是所研究的晶体的点阵. 217.1.2 7.1.2 点阵参数和晶胞参数点阵参数和晶胞参数 晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的。只要从点阵中晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的。只要从点阵中取一个点阵单位即格子（取一个点阵单位即格子（反映晶体结构的周期性反映晶体结构的周期性），就能），就能认识这种点阵。那么，如何从点阵中取出一个点阵单位呢？认识这种点阵。那么，如何从点阵中取出一个点阵单位呢？ 根据点阵中点阵点的分布情况（排列的维数），可将

13、点根据点阵中点阵点的分布情况（排列的维数），可将点阵分成三类：直线点阵，平面点阵，空间点阵。阵分成三类：直线点阵，平面点阵，空间点阵。 我们从一维的直线点阵开始讨论。我们从一维的直线点阵开始讨论。22 直线点阵直线点阵1. 连接相邻两个点阵点的向量连接相邻两个点阵点的向量 是直线点阵的单位向量。是直线点阵的单位向量。a2. 向量长度向量长度 称为点阵参数。称为点阵参数。3. 由于单位向量由于单位向量 两端的点都是两个相邻向量共用的，两端的点都是两个相邻向量共用的， 每个只含半个点，所以单位向量范围内只有一个点阵点。每个只含半个点，所以单位向量范围内只有一个点阵点。) 1221(aaa 所有点阵

14、点都分布在同一条直线上。所有点阵点都分布在同一条直线上。23直线点阵与素向量、复向量直线点阵与素向量、复向量 连接直线点阵上两个相邻点阵点的向量是素向量连接直线点阵上两个相邻点阵点的向量是素向量 ，取法是唯一的；取法是唯一的； 连接两个不相邻点阵点的向量是复向量连接两个不相邻点阵点的向量是复向量 ，取法有，取法有无穷多种。无穷多种。 aam24 平面点阵平面点阵所有点阵点都处于同一个平面上。所有点阵点都处于同一个平面上。1. 平面点阵可以划分为一组无限多的相互平行的直线点阵。平面点阵可以划分为一组无限多的相互平行的直线点阵。253. 矢量矢量 和和 的长度的长度 ， 及其夹角及其夹角 称为平面

15、点称为平面点阵参数。阵参数。abaabb2. 可选择两组互不平行的直线点阵（方向分别为可选择两组互不平行的直线点阵（方向分别为 和和 ），），将平面点阵划分为成相同形状和大小的平面格子，其中每一将平面点阵划分为成相同形状和大小的平面格子，其中每一个格子都是以向量个格子都是以向量 和和 为边的。为边的。aabb264. 由于向量由于向量 和和 选择的多样性决定了平面格子的形状和大选择的多样性决定了平面格子的形状和大小是多样化的。小是多样化的。ab27平面点阵与素格子、复格子平面点阵与素格子、复格子 净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点阵净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点阵点者是

16、复格子；点者是复格子； 平面素格子、复格子的取法都有无限多种。平面素格子、复格子的取法都有无限多种。282. 向量长度向量长度 a、b、c 和夹和夹角角 称为点阵参数。称为点阵参数。 空间点阵空间点阵空间点阵分布在三维空间。空间点阵分布在三维空间。1. 1. 可选择三组互不平行可选择三组互不平行的直线点阵，将空间点阵的直线点阵，将空间点阵划分为以划分为以 、 和和 为边为边的平行六面体，称为点阵的平行六面体，称为点阵单位（晶格）。单位（晶格）。ab,c3.晶格反映了晶体结构的周期性。晶格反映了晶体结构的周期性。29单晶体单晶体：一整块固体基本上为一个空间点阵所贯穿：一整块固体基本上为一个空间点

17、阵所贯穿多晶多晶：由许多小的单晶体按不同的取向聚集而成的固体：由许多小的单晶体按不同的取向聚集而成的固体微晶微晶：结构重复的周期数很少，只有几个到几十个周期：结构重复的周期数很少，只有几个到几十个周期的固体，微晶是介于晶体和非晶体物质之间的物质。的固体，微晶是介于晶体和非晶体物质之间的物质。纤维多晶物质纤维多晶物质：棉花、蚕丝、毛发及各种人造纤维等物：棉花、蚕丝、毛发及各种人造纤维等物质，一般具有不完整的一维周期性的特征，并沿纤维轴质，一般具有不完整的一维周期性的特征，并沿纤维轴择优取向。择优取向。晶晶 体体按照周期性规律分类按照周期性规律分类30晶晶 胞胞 设想把点阵放回晶体中去，设想把点阵

18、放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面将把晶体切分成并置的平行六面体单位，每个空间格子对应一个体单位，每个空间格子对应一个小晶块。小晶块。 这种小晶块就是晶胞这种小晶块就是晶胞, 它是代它是代表晶体结构的最小单元表晶体结构的最小单元.CsCl晶体的一个晶胞晶体的一个晶胞 点阵单位和晶胞都是用来描述晶体周期性结构的。点阵单位和晶胞都是用来描述晶体周期性结构的。点阵是点阵是抽象的抽象的，只反映晶体结构周期重复的方式；，只反映晶体结构周期重复的方式；晶胞是按晶体晶胞是按晶体实际情况划分出来的实际情况划分出来的，它包含原子在空间的排布等内容。，它包含原子在空间的排布等内容。31晶晶 胞：胞： 按

19、照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位。完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位。晶胞的划分原则：晶胞的划分原则：（1）尽可能反映晶体内部结构的对称性）尽可能反映晶体内部结构的对称性（2）尽可能划得小）尽可能划得小晶胞的划分方式：晶胞的划分方式：素晶胞：只含一个结构基元（点阵点）素晶胞：只含一个结构基元（点阵点）复晶胞：含一个以上结构基元（点阵点）复晶胞：含一个以上结构基元（点阵点）晶胞参数：晶胞参数： a，b，c， ， ， 32 晶胞的形状，一定是平行六面体，对应的是一晶胞的形

20、状，一定是平行六面体，对应的是一个点阵单位，即一个格子。个点阵单位，即一个格子。 晶胞既包含结构基元的信息，也包含结构基元晶胞既包含结构基元的信息，也包含结构基元在晶体中排列的信息。这样一来，它就包含了晶体在晶体中排列的信息。这样一来，它就包含了晶体结构的全部信息。结构的全部信息。 所以，晶胞是构成晶体的基础，是代表晶体结所以，晶胞是构成晶体的基础，是代表晶体结构的最小单位，只要将晶胞进行简单的平行并置即构的最小单位，只要将晶胞进行简单的平行并置即可构成整个晶体；其化学成分（即晶胞内各原子的可构成整个晶体；其化学成分（即晶胞内各原子的个数比）与晶体的化学式相一致。个数比）与晶体的化学式相一致。

21、33点阵与晶体关系图点阵与晶体关系图晶体晶体（点阵结构）（点阵结构）点点 阵阵晶晶 胞胞点阵单位点阵单位把结构基元放回到点阵上把结构基元放回到点阵上把结构基元抽象为几何点把结构基元抽象为几何点并置并置 截分截分并置并置 截分截分把结构基元抽象为几何点把结构基元抽象为几何点把结构基元放回到点阵上把结构基元放回到点阵上34晶胞两要素晶胞两要素1. 晶胞的大小和形状晶胞的大小和形状 由晶胞参数由晶胞参数 a、b、c， 、 、 确定确定2. 晶胞的内容晶胞的内容 晶胞中原子的种类和位置，即原子的坐标参数（分数坐标）晶胞中原子的种类和位置，即原子的坐标参数（分数坐标）晶体结构的内容，包含在晶胞的两个基本

22、要素之中晶体结构的内容，包含在晶胞的两个基本要素之中35晶晶 胞胞 参参 数数晶胞参数晶胞参数:a、b、c 、 、 晶轴选取：右手定则晶轴选取：右手定则 食指食指 x 轴轴 中指中指 y 轴轴 拇指拇指 z 轴轴36原子在晶胞中的坐标参数（原子在晶胞中的坐标参数（x, y, z）注意：晶胞中原子的坐标参数是以注意：晶胞中原子的坐标参数是以晶胞的晶胞的3个轴为坐标轴，以个轴为坐标轴，以3个轴的个轴的轴长作为坐标轴的单位。轴长作为坐标轴的单位。czbyaxrr由晶胞原点指向原子的矢量由晶胞原点指向原子的矢量 用下式来表达用下式来表达:cba,为单位矢量为单位矢量x, y, z 为分数坐标，永远为分

23、数坐标，永远1。37立方面心晶胞净含立方面心晶胞净含4个原子个原子:所有顶点原子：所有顶点原子： 0， 0， 0 (前前)后面心原子：后面心原子： 0，1/2，1/2左左(右右)面心原子：面心原子：1/2，0， 1/2(上上)下面心原子：下面心原子：1/2，1/2，0选择坐标原点、通过坐标原点的三条棱、以及三面上的原选择坐标原点、通过坐标原点的三条棱、以及三面上的原子作为属于这一晶胞的原子。子作为属于这一晶胞的原子。38CsCl型晶体型晶体原子的分数坐标：原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2结构基元结构基元: A-B（每个晶胞中有（每个晶胞中有1个结构基元）个结构基

24、元）39NaCl型晶体型晶体原子的分数坐标：原子的分数坐标： A: 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2结构基元结构基元: A-B（每个晶胞中有（每个晶胞中有4个结构基元）个结构基元）407.2 晶体结构的对称性晶体结构的对称性7.2.1 7.2.1 晶体结构的对称元素和对称操作晶体结构的对称元素和对称操作宏观对称元素：宏观对称元素：（同分子对称性）（同分子对称性） (1) 旋旋 转转 轴轴旋旋 转转 操操 作作 (2) 镜镜 面面反反 映映 操操 作作 (3) 对称中心对称中心反反

25、 演演 操操 作作 (4) 反反 轴轴旋转反演操作旋转反演操作增加平移的对称元素和对称操作：（微观对称性元素）增加平移的对称元素和对称操作：（微观对称性元素） (5) 点点 阵阵平移操作平移操作 (6) 螺旋轴螺旋轴螺旋旋转操作螺旋旋转操作 (7) 滑移面滑移面反映滑移操作反映滑移操作41晶体对称性定理晶体对称性定理轴次定理：轴次定理： 晶体中的对称轴（旋转轴、反轴、螺旋轴）的轴次只晶体中的对称轴（旋转轴、反轴、螺旋轴）的轴次只有有1、2、3、4、6。？ 由于晶体点阵结构的限制，晶体的对称元素也受到了由于晶体点阵结构的限制，晶体的对称元素也受到了一定的限制。一定的限制。42证明：晶体中对称轴只

26、有：证明：晶体中对称轴只有：n=1、2、3、4、6， 没有没有5重轴和大于重轴和大于6的的7、8 设晶体中存在设晶体中存在n重重旋转轴旋转轴( (垂直于屏幕垂直于屏幕) )。 绕绕A2点顺时针转点顺时针转动角度动角度 (= 2 /n)，得点得点B1；绕；绕A3点逆时点逆时针转动角度针转动角度 ，得点，得点B2。 B1和和B2连线平行于连线平行于A1和和A2连线。由于连线。由于B1，B2都是点阵点，都是点阵点，故故B1B2间的距离必为间的距离必为 a 的整数倍。的整数倍。4312/1mcos2aama2/1cos m即：即：-10123-1-1/201/2118012090600(360)234

27、61cos/360nm44螺旋轴和滑移面螺旋轴和滑移面微观晶体对称性特有的对称元素微观晶体对称性特有的对称元素 螺旋轴螺旋轴nm的基本操作：绕轴旋转的基本操作：绕轴旋转 ，再沿轴的方，再沿轴的方向平移向平移m/n个单位矢量。个单位矢量。n/221螺旋轴螺旋轴螺旋轴：对称轴和平移的联合操作螺旋轴：对称轴和平移的联合操作4546b滑移面的基本操作：按该面进行反映后，沿滑移面的基本操作：按该面进行反映后，沿 y 轴方向滑移轴方向滑移 b/2滑移面：反映和平移的联合操作滑移面：反映和平移的联合操作bbb滑移面滑移面4748 点阵点阵、螺旋轴螺旋轴和和滑移面滑移面3种对称元素是晶体点阵结构种对称元素是晶

28、体点阵结构所特有的，他们对应的对称操作中都包含有平移成分。所特有的，他们对应的对称操作中都包含有平移成分。 凡是包含有平移的对称性，都要求图形本身是无限的，凡是包含有平移的对称性，都要求图形本身是无限的，否则平移后就会出现一边缺少一边增多的现象。否则平移后就会出现一边缺少一边增多的现象。 晶体中原子的数目是有限的，但因其数目很多，而且晶体中原子的数目是有限的，但因其数目很多，而且微观对称操作中的平移量是极其微小的，故可忽略边界效微观对称操作中的平移量是极其微小的，故可忽略边界效应，用理想化的点阵结构来描述。应，用理想化的点阵结构来描述。小结：小结：497.2.2 7.2.2 晶系、晶族和惯用坐

29、标系晶系、晶族和惯用坐标系7大晶系：按大晶系：按 特征对称元素特征对称元素 的有无为标准（的有无为标准（7种形状）种形状）50 确定一个晶体的晶系时，以晶体有无特征对称元素为标准，确定一个晶体的晶系时，以晶体有无特征对称元素为标准，自上而下判断：自上而下判断：立方晶系：在立方晶胞的立方晶系：在立方晶胞的4个体对角线方个体对角线方向上均有三次对称轴向上均有三次对称轴高级晶系高级晶系中级晶系中级晶系六方晶系：有六方晶系：有1个六次对称轴个六次对称轴四方晶系：有四方晶系：有1个四次对称轴个四次对称轴三方晶系：有三方晶系：有1个三次对称轴个三次对称轴正交晶系：有正交晶系：有3个互相垂直的二重轴或个互相

30、垂直的二重轴或2个个互相垂直的对称面；互相垂直的对称面；单斜晶系：有单斜晶系：有1个二次对称轴或对称面个二次对称轴或对称面三斜晶系：没有特征对称元素。三斜晶系：没有特征对称元素。低级晶系低级晶系51 根据晶体的对称性，选择平行六面体晶胞或坐标系要遵根据晶体的对称性，选择平行六面体晶胞或坐标系要遵循下列三条原则：循下列三条原则：（1）所选的平行六面体应能反映晶体的对称性）所选的平行六面体应能反映晶体的对称性（2）晶胞参数中轴的夹角）晶胞参数中轴的夹角 、 、 为为90的数目最多的数目最多（3）在满足上述两个条件下，所选的平行六面体的体积最小）在满足上述两个条件下，所选的平行六面体的体积最小按这三

31、条原则，将按这三条原则，将7个晶系的晶体分成个晶系的晶体分成6类晶胞类晶胞晶族晶族（六方晶系与三方晶系合为一个六方晶族，其他每个晶族都（六方晶系与三方晶系合为一个六方晶族，其他每个晶族都与晶系相同。）与晶系相同。）立方晶胞立方晶胞 c六方晶胞六方晶胞 h四方晶胞四方晶胞 taaaaacabcabcabc三斜晶胞三斜晶胞 a单斜晶胞单斜晶胞 m正交晶胞正交晶胞 oaac1206个晶族对应的晶胞个晶族对应的晶胞537.2.3 7.2.3 晶体学点群晶体学点群 晶体在外形上呈现出的对称性为晶体在外形上呈现出的对称性为晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 在晶体宏观对称性中只有在晶体宏观对称性中只有8种独

32、立的对称元素。种独立的对称元素。 对称中心对称中心 反映面（镜面）反映面（镜面） 一重旋转轴一重旋转轴 二重旋转轴二重旋转轴 三重旋转轴三重旋转轴 四重旋转轴四重旋转轴 六重旋转轴六重旋转轴 反轴反轴（四重）四重） 把这把这8种独立的宏观对称元素种独立的宏观对称元素进行合理组合，得到进行合理组合，得到32种宏观对种宏观对称类型，即称类型，即32个晶体学点群。个晶体学点群。5432个点群（个点群（32种空间对称类型）种空间对称类型） 特殊群特殊群 （共（共4种）种） Ci 群：群：1 i （只含有一个对称中心只含有一个对称中心i） Cs 群：群：1 m （只含有一个对称面只含有一个对称面m） C

33、3i群群: 1 3 1 i（含有一个含有一个3和一个和一个i） S4 群：群：1 （只含有一个只含有一个 ） Cn群群 (1 n) 5种种 C1： 1 1 （含有一个含有一个1 ） C2： 1 2 （含有一个含有一个2 ） C3： 1 3 （含有一个含有一个3 ） C4： 1 4 （含有一个含有一个4 ） C6： 1 6 （含有一个含有一个6 ）4455 Cnv群群 (1 n n mv 且且m包含包含n） 4种种 C2v： 1 2 2 m C3v： 1 3 3 m C4v： 1 4 4 m C6v： 1 6 6 m Cnh群群 （1 n 1 mh 且且mn） 4种种 C2h： 1 2 1 mh

34、 i C3h： 1 3 1 mh( = )属于六方晶系属于六方晶系 C4h： 1 4 1 mh i C6h： 1 6 1 mh i656 Dn群（群（1 n n 2 且且2n） 4种种 D2： 1 2 2 2 D3： 1 3 3 2 D4： 1 4 4 2 D6： 1 4 6 2 Dnh群群 1 n n 2(2n) 1 mh n mv 4种种 D2h： 1 2 2 2 3 m i D3h： 1 3 3 2 4 m 属于六方晶系属于六方晶系 D4h： 1 4 4 2 5 m i D6h： 1 6 6 2 7 m i(n+1) m57 Dnd群群 (1 n n 2 n md ) 2种种 D2d：

35、1 2 2 2 2m (1 四方晶系）四方晶系） D3d： 1 3 3 2 3 m T群群 3种种 T 群：群： 43 32 Th群：群：43 32 3m i，mh2 Td群：群：43 32 6m ，md平分平分2间夹角间夹角 O 群：群：34 43 62 Oh 群：群：34 43 62 9m i 4587.2.4 7.2.4 晶体的空间点阵型式晶体的空间点阵型式 根据晶体结构的对称性，在七大晶系的基础上，将点根据晶体结构的对称性，在七大晶系的基础上，将点阵点在空间的分布按简单格子（不带心）和带心格子进行阵点在空间的分布按简单格子（不带心）和带心格子进行分类（各种形状的格子中所摊到的点数不同）

36、分类（各种形状的格子中所摊到的点数不同）, 就会产生就会产生14种空间点阵型式种空间点阵型式, 也叫做也叫做14种布拉维格子种布拉维格子, 由布拉维由布拉维（O.Bravais）1895年确定。年确定。 空间点阵型式属于微观对称空间点阵型式属于微观对称性。性。59为什么要考虑为什么要考虑带心的格子带心的格子而不只考虑而不只考虑素格子素格子呢？呢？原因是：如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较原因是：如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较高的对称性，但如果取成素格子，某些对称性就可能被掩高的对称性，但如果取成素格子，某些对称性就可能被掩盖，表现为较低的对称性。盖，表现为较低的对称性。例：

37、立方面心60（1）素格子：）素格子： 只在顶点只在顶点有结点，用有结点，用“P”表示。表示。（2）体心格子：）体心格子： 除顶点外，在除顶点外，在格子中心格子中心还有结点，还有结点，用用“I”表示。表示。14种布拉维晶格种布拉维晶格 每一个格子的外形由三个棱长每一个格子的外形由三个棱长a、b、c 和三个棱之间的夹角和三个棱之间的夹角 、 、 来决定。来决定。4种类型种类型:61（3）底心格子：）底心格子： 除顶点外，在除顶点外，在相对的两个面的中心相对的两个面的中心有结点，用有结点，用“C”表示。表示。（4）面心格子：）面心格子： 除顶点外，在除顶点外，在六个面的中心六个面的中心均有结均有结点

38、，用点，用“F”表示。表示。6214种布拉维格子之一：立方简单（种布拉维格子之一：立方简单（cP）晶系：晶系：立方（立方（c）特征对称元素：特征对称元素： 4个按立方体体对角线个按立方体体对角线 取向的三重旋转轴取向的三重旋转轴晶胞参数：晶胞参数： a = b = c = = = 90常见的具有简单立方晶胞结构的晶体有氧、硫。常见的具有简单立方晶胞结构的晶体有氧、硫。6314种布拉维格子二：立方体心（种布拉维格子二：立方体心（cI）晶系：晶系：立方（立方（c）特征对称元素：特征对称元素： 4个按立方体体对角线个按立方体体对角线 取向的三重旋转轴取向的三重旋转轴晶胞参数：晶胞参数： a = b

39、= c = = = 90具有体心立方晶格的金属有钾（具有体心立方晶格的金属有钾（K）、钛（）、钛（Ti）、钼（）、钼（Mo)、钨（钨（W）、钒（）、钒（V）、）、-铁（铁（-Fe，912）等）等 6414种布拉维格子三：立方面心（种布拉维格子三：立方面心（cF）晶系：晶系：立方（立方（c）特征对称元素：特征对称元素： 4个按立方体体对角线个按立方体体对角线 取向的三重旋转轴取向的三重旋转轴晶胞参数：晶胞参数： a = b = c = = = 90具有这种晶格的金属有铝（具有这种晶格的金属有铝（Al）、铜（）、铜（Cu）、镍（）、镍（Ni）、）、金（金（Au）、银（）、银（Ag）、）、-铁（铁（

40、-Fe，9121394）等）等6514种布拉维格子之四种布拉维格子之四: 四方简单（四方简单（tP）晶系：晶系：四方（四方（c）特征对称元素：特征对称元素： 四重对称轴四重对称轴晶胞参数：晶胞参数： a = b c = = = 906614种布拉维格子之五：四方体心（种布拉维格子之五：四方体心（tI）晶系：晶系：四方（四方（c）特征对称元素：特征对称元素： 四重对称轴四重对称轴晶胞参数：晶胞参数： a = b c = = = 906714种布拉维格子之六：六方简单（种布拉维格子之六：六方简单（hP)晶系：晶系：六方晶系（六方晶系（h）特征对称元素：特征对称元素： 六重对称轴六重对称轴晶胞参数：

41、晶胞参数： a = b c = = 90 ， = 120黑色与灰白色点黑色与灰白色点都是点阵点，黑都是点阵点，黑点与蓝线表示一点与蓝线表示一个正当格子个正当格子六方石墨六方石墨6814种布拉维格子之七：六方种布拉维格子之七：六方R心心 (hR)晶系：晶系：六方晶系（六方晶系（h）特征对称元素：特征对称元素： 六重对称轴六重对称轴晶胞参数：晶胞参数： a = b c = = 90 ， = 120三方石墨三方石墨6914种布拉维格子之八：正交简单（种布拉维格子之八：正交简单（oP）晶系晶系：正交晶系（：正交晶系（o）特征对称元素：特征对称元素： 2个互相垂直的对称面个互相垂直的对称面 或或3个互相

42、垂直的二重个互相垂直的二重 对称轴对称轴晶胞参数：晶胞参数： a b c = = = 907014种布拉维格子之九：正交体心（种布拉维格子之九：正交体心（oI）晶系晶系：正交晶系（：正交晶系（o）特征对称元素：特征对称元素： 2个互相垂直的对称面个互相垂直的对称面 或或3个互相垂直的二重个互相垂直的二重 对称轴对称轴晶胞参数：晶胞参数： a b c = = = 907114种布拉维格子之十：正交种布拉维格子之十：正交C心（心（oC）晶系晶系：正交晶系（：正交晶系（o）特征对称元素：特征对称元素： 2个互相垂直的对称面个互相垂直的对称面 或或3个互相垂直的二重个互相垂直的二重 对称轴对称轴晶胞参

43、数：晶胞参数： a b c = = = 907214种布拉维格子之十一：正交面心（种布拉维格子之十一：正交面心（oF）晶系晶系：正交晶系（：正交晶系（o）特征对称元素：特征对称元素： 2个互相垂直的对称面个互相垂直的对称面 或或3个互相垂直的二重个互相垂直的二重 对称轴对称轴晶胞参数：晶胞参数： a b c = = = 907314种布拉维格子之十二：单斜简单（种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)晶系：晶系：单斜晶系（单斜晶系（m）特征对称元素：特征对称元素： 二重对称轴或二重对称轴或对称面对称面晶胞参数：晶胞参数： a b c = = 90， 90 7414种布拉维格子之十三：单斜种布拉维格

44、子之十三：单斜C心（心（mC)晶系：晶系：单斜晶系（单斜晶系（m）特征对称元素：特征对称元素： 二重对称轴或二重对称轴或对称面对称面晶胞参数：晶胞参数： a b c = = 90， 90 7514种布拉维格子之十四：三斜简单种布拉维格子之十四：三斜简单(aP)晶系：晶系：三斜晶系（三斜晶系（a）特征对称元素：特征对称元素： 无无晶胞参数：晶胞参数： a b c 9076 为什么为什么1414种空间点阵型式中有正交底心，而无四种空间点阵型式中有正交底心，而无四方底心，也没有立方底心型式？方底心，也没有立方底心型式？ 如果有四方底心格子存在，则从中可划出体积更小而对称性相同的四方格子，因此它没有底

45、心格子。 如果有立方底心格子存在，则破坏了晶体的对称性，绕立方晶系的特征对称元素C3 轴旋转，不能复原，因此无立方底心格子。777.3 点阵的标记和点阵平面间距点阵的标记和点阵平面间距 当空间点阵选择某一阵点做为坐标原点，选择当空间点阵选择某一阵点做为坐标原点，选择3个不个不相平行的单位矢量相平行的单位矢量 后，该空间点阵就按确定的平后，该空间点阵就按确定的平行六面体单位进行划分，单位的大小、形状就已确定。行六面体单位进行划分，单位的大小、形状就已确定。 这时，点阵中每一点阵点都可用一定的指标标记。而这时，点阵中每一点阵点都可用一定的指标标记。而一组直线点阵或某个晶棱的方向也可以用数字符号标记

46、。一组直线点阵或某个晶棱的方向也可以用数字符号标记。一组平面点阵或晶面也可以用一定的数字指标标记。一组平面点阵或晶面也可以用一定的数字指标标记。 点阵中的所有对称元素都可以用一定的指标标记。点阵中的所有对称元素都可以用一定的指标标记。cba,782、直线点阵指标（或晶棱指标）：、直线点阵指标（或晶棱指标）：标志一组直线点阵在晶体中的方向，标志一组直线点阵在晶体中的方向，由一组由一组3个互质整数表示个互质整数表示 u v w直线点阵直线点阵u v w的取向与矢量的取向与矢量 平行平行cwbvaurcwbvau1、点阵点指标：、点阵点指标：点阵中某一点阵点的坐标，点阵中某一点阵点的坐标，采用轴单位

47、采用轴单位 度量而得到的一组度量而得到的一组3个数个数 u v w ；cba,cwbvaur79标志一族平面点阵在晶体中的方向，标志一族平面点阵在晶体中的方向，对应于实际晶体中不同方向的晶面。对应于实际晶体中不同方向的晶面。记为（记为（h k l），称为晶面指标。），称为晶面指标。3、平面点阵指标（或晶面指标，密勒指数）：、平面点阵指标（或晶面指标，密勒指数）：Important !标记晶面，采用标记晶面，采用MilerMiler方法，设某一晶面在三个晶轴上的方法，设某一晶面在三个晶轴上的截长分别为截长分别为 。以。以 为量度单位，则为量度单位，则截距为截距为 。此截距也能反映出晶面方向，但当

48、与。此截距也能反映出晶面方向，但当与晶轴平行时，截距会出现无穷大。因此采用截距的倒数晶轴平行时，截距会出现无穷大。因此采用截距的倒数比（称为倒易截距之比）比（称为倒易截距之比） 作为晶面指标。作为晶面指标。cwbvau,cba,wvu,wvu1:1:180例如例如M1 M2M3 M2 M3M22:3:631:21:11 晶面晶面(632)OM1=1a, OM2=2b, OM3=3c即即u=1, v=2, w=3 OOM1=2a, OM2=4b, OM3=6c2:3:661:41:21 晶面晶面(632)说明说明（h k l）是一个平面点阵族，代表一组晶面。）是一个平面点阵族，代表一组晶面。 8

49、1OP矢量矢量 所以，所以，P点阵点指标为：点阵点指标为：323cbacwbvaur323点阵点、直线点阵和平面点阵的指标点阵点、直线点阵和平面点阵的指标PO82直线点阵直线点阵MN与与OQ平行或重合平行或重合OQ矢量矢量所以，所以，MN直线点阵指标为直线点阵指标为121cbacwbvaur12183平面点阵指标(hkl)1. 写出平面点阵截数写出平面点阵截数 u, v, w : 2 2. 求倒易截数求倒易截数 1/u, 1/v, 1/w : 0 1/2 03. 倒易截数最简整数比为平面点阵指标倒易截数最简整数比为平面点阵指标 (hkl): ( 0 1 0 )84相互平行的一族平面点阵相互平行

50、的一族平面点阵, 其（其（hkl）相同）相同:85xzyacb例：例：Step1. u, v, w : 3 3 5 Step2. 1/u, 1/v, 1/w : 1/3 1/3 1/5Step3. ( h k l ) : ( 5 5 3 )86 （hkl）是一个平面点阵族，代表一组晶面，相）是一个平面点阵族，代表一组晶面，相邻两个晶面的间距用邻两个晶面的间距用 表示，称为表示，称为。 它指由指标（它指由指标（hkl）规定的平面族中两个）规定的平面族中两个相邻平相邻平面间的垂直距离面间的垂直距离。 )(hkld晶面间距计算晶面间距计算 若已知点阵参数及晶面指标，可以严格计算晶若已知点阵参数及晶面

51、指标，可以严格计算晶面间距。对称性越高，计算越简单。面间距。对称性越高，计算越简单。晶面间距晶面间距87平面点阵族（平面点阵族（hkl）中相邻）中相邻2个平面的间距个平面的间距2222222)(1clbkahdhkl222222)(1clakhdhkl22222)(1alkhdhkl（1）正交晶系正交晶系（2）四方晶系四方晶系（3）立方晶系立方晶系222)(lkhadhkl888990911. 有一有一AB晶胞，其中晶胞，其中A和和B原子的分数坐标为原子的分数坐标为A(0，0，0)， B(1/2，1/2，1/2)，属于，属于_点阵点阵答案：答案： 立方简单点阵立方简单点阵 922. 有一有一A

52、B4型晶体，属立方晶系，每个晶胞中有型晶体，属立方晶系，每个晶胞中有1个个A和和4个个B， 1个个A的坐标是的坐标是 (1/2, 1/2, 1/2)， 4个个B的坐标分别是的坐标分别是(0, 0, 0)；(1/2, 1/2, 0)；(1/2, 0, 1/2)；(0, 1/2, 1/2)，此晶体的点阵类型是：，此晶体的点阵类型是：_ (A) 立方立方 P (B) 立方立方 I (C) 立方立方 F (D)不能确定不能确定 答案：答案： 立方简单点阵立方简单点阵 933. 给出在三个坐标轴上之截距分别为给出在三个坐标轴上之截距分别为 (2a, 3b, c) ， (a, b, c) ， (6a, 3

53、b, 3c) 的点阵面的指标。的点阵面的指标。 4. 与与a 轴垂直的面的晶面指标是：轴垂直的面的晶面指标是：_ 答案：答案： (100) 截距截距(2a, 3b, c) (a, b, c) (6a, 3b, 3c)截数截数2，3，11，1，16，3，3倒易截数倒易截数1/2，1/3，11，1，11/6，1/3，1/3（hkl）（326）（111）（122）答案：各点阵面指标分别为：答案：各点阵面指标分别为： (2a, 3b, c) : (326) (a, b, c) : (111) (6a, 3b, 3c) : (122)945. (312)晶面在晶面在 a，b，c 轴上的截距分别为轴上的截

54、距分别为_，_，_解解： 晶面指标：晶面指标： （3 1 2 ） 截数比：截数比： （1/3 1 1/2） 截数取整数：（截数取整数：（2 6 3 ） 故此晶面在故此晶面在a，b，c 轴上的截距分别为：轴上的截距分别为： 2a，6b，3c956. 点阵参数为点阵参数为 432 pm的简单立方点阵中，的简单立方点阵中，(111)，(211)和和(100)点阵面的面间距离各是多少？点阵面的面间距离各是多少？ 222)(lkhadhkl解解：立方晶系：立方晶系：pmd432001432222)100(pmd176112432222)211(pmd249111432222)111(967.4 空间群及

55、晶体结构的表达空间群及晶体结构的表达 晶体结构为具有空间点阵式的周期结构，为无限图形。晶体结构为具有空间点阵式的周期结构，为无限图形。既具有宏观对称元素（点操作）又具有微观对称元素（平既具有宏观对称元素（点操作）又具有微观对称元素（平移操作移操作）。宏观对称元素与微观对称元素组合在一起，合。宏观对称元素与微观对称元素组合在一起，合理的的组合方式理的的组合方式有有230种，称为种，称为230个空间群。个空间群。1. 空间群的写法空间群的写法（1）圣弗利希符号）圣弗利希符号在点群符号的基础上标记。在点群符号的基础上标记。（2）国际符号）国际符号7.4.1 7.4.1 空间群的推导和表达空间群的推导

56、和表达97国际符号的写法：国际符号的写法：格格子子类类型型第第一一方方位位第第二二方方位位第第三三方方位位（1）将晶体的格子类型写）将晶体的格子类型写 在首位。在首位。（2）分别写上晶体第一、）分别写上晶体第一、 第二、第三方位上所第二、第三方位上所 具有的对称元素。具有的对称元素。 各晶系的对称性不同，第一、第二、各晶系的对称性不同，第一、第二、第三方位的方向也不同。第三方位的方向也不同。9899空间群空间群 四方晶系，格子类型为素格子四方晶系，格子类型为素格子P；第一方位第一方位 方向上有方向上有4，垂直于，垂直于4有有m；第二方位第二方位 方向上有方向上有2，垂直于，垂直于2有有m； 第

57、三方位第三方位 方向上有方向上有2，垂直于，垂直于2有有m。mmmPDh22414Caba例：点群例：点群D4h：1 4，4 2，1 mh, 4 mv, i100 点群和空间群的关系点群和空间群的关系（1）把点群中的对称面和对称轴看成是滑移面和）把点群中的对称面和对称轴看成是滑移面和螺旋轴，则螺旋轴，则32个点群变为个点群变为230个空间群。个空间群。（2）把空间群的滑移面和螺旋轴看成是对称面和对）把空间群的滑移面和螺旋轴看成是对称面和对称轴，则称轴，则230个空间群变为个空间群变为32个点群个点群 。1017.5 晶体的结构和晶体的性质晶体的结构和晶体的性质7.5.1 7.5.1 晶体的特性

58、晶体的特性 晶体内部原子或分子按周期性规律排列，具有三维晶体内部原子或分子按周期性规律排列，具有三维点阵结构，使晶体具有下列通性：点阵结构，使晶体具有下列通性：（1）均匀性）均匀性（2）各向异性）各向异性（3）自发地形成多面体外形（自范性）自发地形成多面体外形（自范性）（4）具有明显确定的熔点）具有明显确定的熔点（5）具有特定的对称性）具有特定的对称性（6）对）对X射线的衍射射线的衍射102 一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的（密度、化学组成等）。的（密度、化学组成等）。 无序物质（气体、液体、玻璃体）也具有无序物质（气体、液体、玻璃体）也具有均匀性，源

59、于无序分布的统计性规律。均匀性，源于无序分布的统计性规律。（1）均匀性）均匀性 103石蜡 云母片石蜡 玻璃片云母薄片上的热导率有异向性云母薄片上的热导率有异向性（2）各向异性）各向异性 在晶体中不同方向上具有不同的物理性质。在晶体中不同方向上具有不同的物理性质。104 石墨晶体在与层平行的方向上的电导率很高，石墨晶体在与层平行的方向上的电导率很高，为垂直方向的为垂直方向的1万倍。万倍。石墨的晶体结构石墨的晶体结构105（3）自发地形成多面体外形（自范性）自发地形成多面体外形（自范性）晶体在生长过程中能自发地形成规则的凸多面体外形晶体在生长过程中能自发地形成规则的凸多面体外形（晶面（晶面晶棱晶

60、棱顶点）。顶点）。满足欧拉定理：满足欧拉定理：F（晶面数）（晶面数）+V（顶点数）（顶点数）=E（晶棱数）（晶棱数）+ 2106（4）晶体具有确定的熔点）晶体具有确定的熔点tT 晶体内部各部分排晶体内部各部分排列方式相同。列方式相同。 当温度升高，晶体当温度升高，晶体开始融化时，各部分需开始融化时，各部分需要达到同样的温度，故要达到同样的温度，故有确定熔点。有确定熔点。107 晶体的理想外形具有特定的对称性晶体的理想外形具有特定的对称性 内部结构对称性的反映内部结构对称性的反映（5）具有特定的对称性）具有特定的对称性108（6）对）对X射线的衍射射线的衍射晶体结构的周期与晶体结构的周期与X光波长相当光