第4章-线性时不变控制系统的综合与设计0519N模板

1、第4章 线性时不变控制系统的综合与设计 经过前面的学习，我们已经牢固建立了状态经过前面的学习，我们已经牢固建立了状态空间的概念，掌握了利用状态方程这样的内部描空间的概念，掌握了利用状态方程这样的内部描述方法描述被研究的系统，并且由此进一步衍生述方法描述被研究的系统，并且由此进一步衍生了系统的可控性、可观性和了系统的可控性、可观性和Lyapunov稳定性的概稳定性的概念。念。本章主要内容4.1 引言引言 4.2 状态反馈状态反馈4.3 闭环系统极点配置闭环系统极点配置4.4 状态观测器状态观测器4.5 MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中在闭环极点配置及状态观测器设计中的应用的应用 4.

2、1 引言 本章重点讲述对一个性能不好甚至不稳定的被控本章重点讲述对一个性能不好甚至不稳定的被控系统，系统，如何设计系统的状态反馈控制律如何设计系统的状态反馈控制律，使闭环，使闭环系统稳定且具有优良的动态响应。系统稳定且具有优良的动态响应。 状态反馈包含系统全部状态变量信息，是较输出反状态反馈包含系统全部状态变量信息，是较输出反馈更全面的反馈，这本是状态空间综合法的优点，但并馈更全面的反馈，这本是状态空间综合法的优点，但并非所有被控系统的全部状态变量都可直接测量，这就提非所有被控系统的全部状态变量都可直接测量，这就提出了状态重构问题，即能否通过可测量的输出及输入重出了状态重构问题，即能否通过可测

3、量的输出及输入重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的状态估值？新构造在一定指标下和系统真实状态等价的状态估值？1964年，年，Luenberger提出的状态观测器理论有效解决了提出的状态观测器理论有效解决了这一问题。这一问题。状态反馈与状态观测器设计是状态空间综合状态反馈与状态观测器设计是状态空间综合法的主要内容法的主要内容，故，故如何设计状态观测器重构出所需如何设计状态观测器重构出所需状态估值状态估值也是本章重点讲述内容之一。也是本章重点讲述内容之一。 4.2 状态反馈与输出反馈 图图4-1为多输入多输出系统的状态反馈结构图。为多输入多输出系统的状态反馈结构图。设图设图4-1虚线框内所示多

4、输入多输出线性定常被控系虚线框内所示多输入多输出线性定常被控系统统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 )(DC,B,A,oDuCxBuAxxy(4-1)式中，式中， 分别为分别为n维维, ,r维和维和m维列向量；维列向量；A,B,C,D分别为分别为 实数矩阵。实数矩阵。 y,u,xrmnmrnnn,4.2.1 状态反馈图图4-1 多输入多输出系统的状态反馈结构多输入多输出系统的状态反馈结构 若被控系统若被控系统D=0，可简记为，可简记为 ，对应的状态，对应的状态空间表达式为空间表达式为 )(CB,A,oCxBuAxxy（4-2） 图图4-1采用线性直接状态反馈（简称状态反馈）采用线性直接状

5、态反馈（简称状态反馈）构成闭环系统以改善原被控系统的性能，即将被控构成闭环系统以改善原被控系统的性能，即将被控系统的每一个状态变量乘以相应的反馈增益值，然系统的每一个状态变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入后反馈到输入端与参考输入v一起组成状态反馈控制一起组成状态反馈控制律，作为被控系统的控制量律，作为被控系统的控制量u。由。由图图4-1显见，状态显见，状态反馈控制律（即被控系统的控制量反馈控制律（即被控系统的控制量u）为状态变量的）为状态变量的线性函数线性函数 Fxvu（4-3） 式中，式中，v为为r维参考输入列向量；维参考输入列向量；F为为 状态反馈状态反馈增益矩阵，且其为

6、实数阵。增益矩阵，且其为实数阵。 nr 将式（将式（4-3）代入式（）代入式（4-1）, ,可得采用状态反馈可得采用状态反馈构成的闭环系统状态空间表达式为构成的闭环系统状态空间表达式为 DvxDFCBvxBFAx)()(y（4-4） 若若D=0，则式（则式（4-4）可简化为式（）可简化为式（4-5），即），即 CxBvxBFAxy)( (4-5) ) 式式( (4-5) )可简记为可简记为 ，其对应的传递函，其对应的传递函数矩阵为数矩阵为 )(CB,BF,AFBBFAICW1)()(ssF(4-6)4.3 闭环系统极点配置闭环系统极点配置 本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可本节主要讨论

7、两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。单输出系统。 1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件 定理 采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统 状态完全能控。 )(CB,A,o(1).若被控系统若被控系统 状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为 )(CB,A,oCxyBuAxx 0111det)(a

8、sasasssfnnnAIo(4-10)01110122111)()(asasasbsbsbsbssGnnnnnnnBAICo(4-11)2. 采用状态反馈配置闭环极点的方法采用状态反馈配置闭环极点的方法 (2).由给定的期望闭环极点组由给定的期望闭环极点组 ，可写出期望闭，可写出期望闭环特征多项式环特征多项式 ),(nii2101111)()(asasassspnnnnii(4-12) (3).求状态反馈增益矩阵求状态反馈增益矩阵 ，方法有二，方法有二: : 解联立方程的方法；解联立方程的方法； 规范型方法。规范型方法。 下面分别讲解。下面分别讲解。 110nfffF 方法一 解联立方程解联

9、立方程 设状态反馈增益阵设状态反馈增益阵 ，则闭环系统，则闭环系统 的特征多项式为的特征多项式为 110nfffF)(FCB,BF,A0111110F ),()(det)(asasasfffspsspnnnnFBFAI(4-13)而由给定的期望闭环极点组而由给定的期望闭环极点组 , ,可确定如式可确定如式(4-12)所示的期望闭环特征多项式。为将闭环极点配置在期望位置，所示的期望闭环特征多项式。为将闭环极点配置在期望位置，应令式应令式(4-13)与式与式(4-12)相等，即令相等，即令 ，由两个，由两个n阶特阶特征多项式对应项系数相等，可得征多项式对应项系数相等，可得n个关于个关于 的联立的联

10、立代数方程，若代数方程，若 能控，解联立方程可求出唯一解。能控，解联立方程可求出唯一解。 ),(nii21)()(spspF110nfff)(oCB,A,xCyuBxAx（4-15） 式中式中12101121011000,100001000010nnnbbbbaaaaccccCTCBTBATTA（4-16） (1)通过如下变换（设通过如下变换（设 为能控标准型变换矩阵）为能控标准型变换矩阵） cTxTxc（4-14） 将将 化为能控标准型化为能控标准型 ，即，即 )(oCB,A,_o)(C,B,A方法二 规范型方法规范型方法 (2)针对能控标准型针对能控标准型 引入状态反馈引入状态反馈 _o)

11、(C,B,AxF vu(4-17)式中，式中， ，可求得对，可求得对 的闭环系统的闭环系统 的状态空间表达式仍为能控标准型，即的状态空间表达式仍为能控标准型，即 1210nffffFx_)(C,B,FBAFxCBxFBAxyv)(4-18)式中式中1111111nnncaaaBABBAT(4-19)()()()(10000100001011221100nnfafafafaFBA( (4-20) ) 则闭环系统则闭环系统 的特征多项式和传递函数分别为的特征多项式和传递函数分别为 _F)(C,B,FBA)()()()(det)(0011111fasfasfassspnnnnFBAIF（4-21）

12、)()()()()(00111110122111fasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnBFBAICF（4-22） (3)事实上，由给定的期望闭环极点组事实上，由给定的期望闭环极点组 ，可写出期望闭环特征多项式可写出期望闭环特征多项式 ),(nii2101111)()(asasassspnnnnii(4-23)令式（令式（4-23）与式（）与式（4-21）相等，可解出能控标准型）相等，可解出能控标准型使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为 _)(C,B,Ao111100110nnnaaaaaafffF(4-24)(4) 将式（将式

13、（4-14） 代入式（代入式（4-18） 得得 xFvxTFvxFvuc1（4-25） 则原被控系统则原被控系统 即对应于状态即对应于状态x引入状态反馈使闭引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为 )(CB,A,o1cTFF（4-26） xF vuxTxc例例4-1. 被控系统被控系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 试设计状态反馈增益矩阵试设计状态反馈增益矩阵F，使闭环系统极点配置为，使闭环系统极点配置为 和和 ，并画出状态变量图。，并画出状态变量图。 )(oCB,A,xyuxx11101031j1j1解解 (1) 判断可控性判断

14、可控性nABBQc21130rank)(rankrank所以被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环所以被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。系统极点。 (2) 确定闭环系统期望特征多项式确定闭环系统期望特征多项式 闭环系统期望极点为闭环系统期望极点为 ，对应的期望闭环特征多，对应的期望闭环特征多项式为项式为 j 1*2, 122)1)(1()()(221ssjsjssssp则 , 。 21a20a(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵 10ffF 方法一 解联立方程解联立方程 对被控系统对被控系统 ，引入，引入 状态

15、反馈状态反馈后的闭环系统后的闭环系统 特征多项式为特征多项式为 )(oCB,A,21ffF )(FCB,BF,A13 131)(det)(101210ffsfsfsfssspFBFAI令令 ，即，即 比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程 )()(spspF221321012ssffsfs2132101fff解之得解之得 ， 3/50f21f 被控系统被控系统 的特征多项式为的特征多项式为 )(oCB,A,11031)det()(2osssAI ssp则则 ， 。 01a10a 根据式根据式( (4-24)，能控标准型，能控标准型 对应的对应的 下的状态下

16、的状态反馈增益阵反馈增益阵 为为 _o)(C,B,AxF 2302) 1(2110010aaaaffF将将 化为能控标准型化为能控标准型 的变换矩阵的变换矩阵 为为 )(oCB,A,_o)(C,B,AcT 方法二 规范型方法规范型方法 1103100111031011aBABTc则则 131031110311cT根据式根据式(4-26)，原状态，原状态x下的状态反馈增益阵下的状态反馈增益阵F应为应为 235131031231c10TFFff 4.4 状态观测器状态观测器 状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息,然而然而,状态变量并不一定是系统的物理量状

17、态变量并不一定是系统的物理量, 选择状态变选择状态变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一,但但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量测这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量测;另一方面另一方面,有些状态变量即使可测有些状态变量即使可测,但所需传感器的价但所需传感器的价格可能会过高。格可能会过高。状态观测或状态重构问题正为了克服状态观测或状态重构问题正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的状态反馈物理实现的这些困难而提出的,其核心是通其核心是通过系统可量测参量过系统可量测参量(输出及输入输出及输入)重新构造在一定指标重新构造在一定指标下

18、和系统真实状态下和系统真实状态 等价的估计状态或重构状等价的估计状态或重构状态态 ,且常采用式且常采用式(4-27)所示的渐近等价指标所示的渐近等价指标,即即 )(tx)( tx0ttxtxxtt)(lim)()( lim(4-27) 式中式中, 为观测误差。实现状态重构的系统称为状态为观测误差。实现状态重构的系统称为状态观测器观测器, 式式(4-27)也称观测器存在条件。也称观测器存在条件。 当观测器重构状态向量的维数等于被控系统状态当观测器重构状态向量的维数等于被控系统状态向量维数时向量维数时,分别称为分别称为全维状态观测器全维状态观测器。 当观测器重构状态向量的维数小于被控系统状态当观测

19、器重构状态向量的维数小于被控系统状态向量维数时向量维数时,分别称为降维状态观测器。分别称为降维状态观测器。 )(tx图图4-4 闭环闭环(渐近渐近)状态观测器状态观测器 图图4-4中中, G为为 输出偏差反馈增益矩阵输出偏差反馈增益矩阵(m为系统输出变为系统输出变量的个数量的个数)，且其为实数阵。，且其为实数阵。由图可得闭环状态观测器的状由图可得闭环状态观测器的状态方程为态方程为 mn BuGyxGCA BuGyxGCxABuyyGxAx)()(4-29)4.4.2 闭环观测器极点配置 1. 闭环观测器极点任意配置的充分必要条件闭环观测器极点任意配置的充分必要条件 定理 图4-4中的闭环状态观

20、测器的极点可任意配置的充分必要条件是被控系统 能观测。 )(oCB,A,2. 输出偏差反馈增益矩阵输出偏差反馈增益矩阵G的设计的设计 全维闭环状态观测器的设计就是确定合适的输全维闭环状态观测器的设计就是确定合适的输出偏差反馈增益矩阵出偏差反馈增益矩阵G,使使A-GC具有期望的特征值具有期望的特征值,从从而使由式而使由式(4-29)描述的观测误差动态方程以足够快的描述的观测误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定。响应速度渐近稳定。 状态完全能观测的单输入单输出系统状态完全能观测的单输入单输出系统, ,闭环观测闭环观测器的极点配置设计可仿照器的极点配置设计可仿照4.3节介绍的状态完全能控节介绍的状

21、态完全能控的单输入单输出系统用状态反馈进行闭环极点配置的的单输入单输出系统用状态反馈进行闭环极点配置的设计方法进行。分别有两种方法设计方法进行。分别有两种方法 ：联立方程方法；：联立方程方法；规范型方法。规范型方法。(1)若单输入单输出系统若单输入单输出系统 )(CB,A,oCxyBuAxx 状态完全能观，其特征多项式为状态完全能观，其特征多项式为 0111asasasAI ssfnnnodet)(4-31)设设 为闭环状态观测器系统矩阵期望特征值，为闭环状态观测器系统矩阵期望特征值，对应的期望特征多项式为对应的期望特征多项式为 ), 2, 1(nii01111asasassspnnnnii)

22、()(4-32) 若若 为能观标准型为能观标准型,则所需的观测器偏差反馈增则所需的观测器偏差反馈增益矩阵为益矩阵为 )(oCB,A,111100nnOaaaaaaG(4-33) 若若 不为能观标准型不为能观标准型,则可采用如下变换（设则可采用如下变换（设 为能观标准型变换阵）为能观标准型变换阵） )(oCB,A,oTxTxo(4-34)将系统将系统)(oCB,A,CxyBuAxx _o)(C,B,AxCyuBxAx化为能观标准型化为能观标准型其中其中1000100010001000112101oonooCTCBTBaaaaATTA,则先用式（则先用式（4-33）求出能观标准型）求出能观标准型

23、对应的对应的 下的观下的观测器增益矩阵测器增益矩阵 , ,然后再将然后再将 下求得的下求得的 变换到原状态变换到原状态x下下,即得重构系统即得重构系统 状态状态x所需的观测器偏差反馈增益矩所需的观测器偏差反馈增益矩阵为阵为 _o)(C,B,AxoGx)(oCB,A,oG111100110nnooonaaaaaaTGTgggG(4-35) 11111o111CCACAaaaTnnn(4-36)例例4-2.被控系统被控系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 )(oCB,A,xyuxx11101031试设计全维状态观测器使其极点为试设计全维状态观测器使其极点为-3，-3。 解: :(1)判断能观

24、性判断能观性nrankCACrankQranko22111)(所以系统状态完全能观，可建立状态观测器所以系统状态完全能观，可建立状态观测器, , 且观测器的极且观测器的极点可任意配置。点可任意配置。 (2) 确定闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式确定闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式 观测器系统矩阵观测器系统矩阵 的期望特征值为的期望特征值为 ，对应的期望特征多项式为对应的期望特征多项式为 GCA 321*96) 3)(3()()(221sssssssp则则 ， .90a61a(3) 求所需的观测器偏差反馈增益矩阵求所需的观测器偏差反馈增益矩阵 TggG10 规范型方法规范型方法 在例

25、在例4-1中已求得系统中已求得系统 的特征多项式为的特征多项式为 )(oCB,A,1)(2o ssp，则则 ， 。 01a10a 根据式（根据式（4-33），能观标准型），能观标准型 对应的对应的 下的状态下的状态观测器增益矩阵为观测器增益矩阵为 _o)(C,B,Ax61006191100)(aaaaGo按式（按式（4-36）将）将 化为能观标准型化为能观标准型 的变的变换矩阵为换矩阵为 )(oCB,A,_o)(C,B,A11211121112110011011111CCAaTo则根据式（则根据式（4-35），重构系统），重构系统 状态状态x所需的观测器所需的观测器偏差反馈增益矩阵偏差反馈增益

26、矩阵G为为 )(oCB,A,426101121110010aaaaTGTggGooo解联立方程解联立方程方法方法 与状态反馈闭环系统极点配置的情况类似与状态反馈闭环系统极点配置的情况类似, ,若系统是低若系统是低阶的阶的, ,将观测器偏差反馈增益矩阵将观测器偏差反馈增益矩阵G直接代入所期望的特征多直接代入所期望的特征多项式往往较为简便。观测器系统矩阵项式往往较为简便。观测器系统矩阵 的特征多项式的特征多项式为为 GCA 121311031000110211001100ggsggsgsgggs ggggssGCAI sspo)(det)(det)(令令 ，即，即 比较等式两边同次幂项系数比较等式

27、两边同次幂项系数,得如下联立方程得如下联立方程 )()(spspo9612201102ssggsggs)(91261010gggg解得解得 ， 20g41g(4) 由式由式(4-28),观测器的状态方程为观测器的状态方程为 )(42101031)(yyuxyyGuBxAx图图4-5 例例4-2图图 或 uyxuByGxGCAx10425411)( 被控系统及全维状态观测器的状态变量图如图被控系统及全维状态观测器的状态变量图如图4-5(a)或或图图4-5 (b)所示。所示。 4.5 4.5 采用状态观测器的状态反馈系统采用状态观测器的状态反馈系统 带有全维状态观测器的状态反馈系统如图带有全维状态

28、观测器的状态反馈系统如图4-64-6所示。所示。 图图4-6 4-6 带有渐近状态观测器的状态反馈系统带有渐近状态观测器的状态反馈系统 设能控且能观的被控系统设能控且能观的被控系统 的状态空间的状态空间表达式为表达式为 )(oCB,A,CxBuAxxy(4-66) 渐近状态观测器的状态方程为渐近状态观测器的状态方程为 BuGyxGCAx)(4-67) 利用观测器的状态估值利用观测器的状态估值 所实现的状态反馈控制所实现的状态反馈控制律为律为 x (4-68) xFvu 将式（将式（4-684-68）代入式（）代入式（4-664-66）、式（）、式（4-674-67）得整）得整个闭环系统的状态空

29、间表达式为个闭环系统的状态空间表达式为 CxBvGCxxBFGCAxBvxBFAxxy)(（4-69） 式（式（4-694-69）写成矩阵形式，即）写成矩阵形式，即 xx0CyvBBxxBFGCAGCBFAxx(4-70) 这是一个这是一个2 2n n维的复合系统。为便于研究复合系统的基维的复合系统。为便于研究复合系统的基本特性，对式本特性，对式(4-70)(4-70)进行线性非奇异变换进行线性非奇异变换 xxxII0Ixxnnn (4-71) 则则xx0Cyv0BxxGCA0BFBFAxx （4-72） 根据式（根据式（4-724-72）可得）可得2 2n n维复合系统的特征多项维复合系统的

30、特征多项式为式为 )()()()(GCAIBFAIGCAI0BFBFAInnnnssss (4-73) 式（式（4-734-73）表明）表明, , 由观测器构成状态反馈的由观测器构成状态反馈的2 2n n维维复合系统，其特征多项式等于矩阵复合系统，其特征多项式等于矩阵A-BFA-BF的特征多项式的特征多项式 与矩阵与矩阵A-GCA-GC的特征多项式的特征多项式 的乘积。即的乘积。即2 2n n维复合系统的维复合系统的2 2n n个特征值由相互独立的个特征值由相互独立的两部分组成：一部分为直接状态反馈系统的系统矩阵两部分组成：一部分为直接状态反馈系统的系统矩阵A-BFA-BF的的n n个特征值；

31、另一部分为状态观测器的系统矩个特征值；另一部分为状态观测器的系统矩阵阵A-GCA-GC的的n n个特征值。复合系统特征值的这种性质称个特征值。复合系统特征值的这种性质称为分离特性。为分离特性。 )(BFAIns)(GCAIns 只要被控系统只要被控系统 能控能观，则用状态观测能控能观，则用状态观测器估值形成状态反馈时，可对器估值形成状态反馈时，可对 的状态反馈控的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计, ,即即先按闭环控制系统的动态要求确定先按闭环控制系统的动态要求确定A-BFA-BF的特征值，从的特征值，从而设计出状态反馈增益阵而设

32、计出状态反馈增益阵F F；再按状态观测误差趋于零；再按状态观测误差趋于零的收敛速率要求确定的收敛速率要求确定A-GCA-GC的特征值，从而设计出输出的特征值，从而设计出输出偏差反馈增益矩阵偏差反馈增益矩阵G G; ;最后，将两部分独立设计的结果最后，将两部分独立设计的结果联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。)(oCB,A,)(oCB,A,【例【例4-3】被控系统】被控系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 )(oCB,A,xxx11101031yu试设计极点为试设计极点为-3,-3-3,-3的全维状态观测器，构成状态反馈的全维状态观测器，

33、构成状态反馈系统，使闭环极点配置为系统，使闭环极点配置为 和和 。 j1j1解解 显然，被控系统显然，被控系统 能控能观，可分别独能控能观，可分别独立设计状态反馈增益阵立设计状态反馈增益阵F和观测器偏差反馈增益矩阵和观测器偏差反馈增益矩阵G。 )(oCB,A, 例例4-1中已求出此被控系统采用直接状态反馈使中已求出此被控系统采用直接状态反馈使其即为本题所设计的状态反馈增益阵其即为本题所设计的状态反馈增益阵 23521ffF闭环极点配置为闭环极点配置为-1+-1+j和和-1-1-j所需的所需的，。 而在例而在例4-24-2中已求出此被控系统无状态反馈时，中已求出此被控系统无状态反馈时，即为本题所设计的观测器偏差反馈增益矩阵即为本题所设计的观测器偏差反馈增益矩阵G G。 4221ggG使观测器极点配置为使观测器极点配置为-3,-3-3,-3所需所需的的，其，其 故设计好的闭环系统状态变量图如图故设计好的闭环系统状态变量图如图4-84-8所示。所示。 图4-8 例4-3图