高等代数与解析几何复习习题

1、高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵与的乘积有意义，则必须满足的条件是 。2.设又，问 。3.设与都是级方阵，计算 , , 。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设,计算 。6.设向量，则 ， 。7.设矩阵，则 。8.设矩阵，则 。9.设准对角矩阵,是多项式，则 。10.设矩阵，则的秩 。11.设 是阶方阵的伴随矩阵, ,则 。12.设是矩阵 的伴随矩阵，则13.矩阵的秩为_， 的伴随矩阵= 。14.设是3阶可逆方阵，是矩阵且，则 。15.设，是矩阵且，则 。16.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件（

2、越多越好） 。17.设矩阵，试写出行列式中-元的代数余子式 ，中第三行元素的代数余子式之和= 。18.设是矩阵且，则的等价标准形为 。19.设，则的等价标准形为 。20.设，则 。21.设，则的等价标准形为 。22.设，则 。23. 。24.已知矩阵满足，则 。25.设阶矩阵可逆，则 。26.试写出矩阵秩的定义 。27.试写出阶行列式按第一列展开的定义 。28.已知四阶行列式中第三列元素依次为 ，它们的代数余子式依次分别为 ，则=_。29.已知为同阶方阵,且可逆,若,则 (是整数)。30.设均为阶方阵，且，则。31.设均为阶方阵，且，则。32.若，都是阶方阵，则。33.设矩阵, 则 _。34.

3、设,则 , , 。35. , 。36.设3阶方阵的第一行和第三行交换后得矩阵,的第一行的2倍加到第二行得矩阵,于是存在矩阵使得,则 。37.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵 。38.已知准对角矩阵可逆，则 。39.已知矩阵的秩分别为2,1，则分块矩阵的秩= 。二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.设矩阵满足，则或。 2. 矩阵乘法适合交换律。3.设是阶方阵，则。4.设是同阶方阵，若，则。(若可逆，该结论如何)5.设是方程组的解，则是的解，是的解。6.设是线性方程组的解，则是的解。7.设是线性方程组的解，则是的解，是任意常数。8.矩阵可逆，且其逆为其本身。类似有

4、，同样问题。9.设是阶矩阵，则。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵可逆，则其伴随矩阵也可逆。 12.阶方阵满足，则可逆。13.若，则必有。 14.设是阶方阵， 且， 则 。15.方阵满足，则或。16.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。18.若阶方阵的秩，则其伴随阵。19.设是阶方阵，则。20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。21. 设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆，且其逆为。22.设,都是阶方阵,则。三、解答题1.求， ，。2.求。3.已知矩阵，计算,。4.设3阶方

5、阵的伴随矩阵为，且，求。5.已知，求逆阵。6.设,试用矩阵初等行变换法求的逆矩阵.7. 设。试用矩阵分块方法求。8.用两种方法求下列矩阵的逆 .9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积 10.写出下列矩阵的等价标准形 ，（对讨论）11.设矩阵的秩为2，求，。12.求解线性方程组（1）；（2）。13.设，求。14.设是阶方阵,且,求,其中 是的伴随矩阵。15.设矩阵.多项式，求及。16.设是矩阵，将按列分块计算。17.设阶方阵满足,证明可逆，并求其逆。18.设4阶矩阵,，且,求行列式。19.求矩阵方程,其中。20.求级行列式的值. 21.设A=，求A的行列式.22.求行列式的值. 23

6、.计算行列式.四、课程讲义习题一中如下题目：2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,6,66,69.第二章 线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。2.设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含 个解向量。3.方程组的基础解系中含 个解向量。4.设是元齐次线性方程组的基础解系，则秩()= 。5.矩阵的秩为，则的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。6.若方程组有非零解，则 。7.设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必

7、有 。8.设是阶方阵,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是 。9., , 线性相关 ,则的值为_。10.若向量 与 线性相关，则的取值为 。11.设向量组，,则向量组的秩是 。12.设向量组I： 的秩为， 向量组II： 秩为， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则与的大小关系是_。13.设向量组 I:线性无关，而 都能由I 线性表出，则秩( )= 。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。 15.一个向量线性相关的充分必要条件为 。16.两个非零向量线性相关的充分必要条件为 。17. 设阶方阵满足,则 。18. 设阶方阵满足,则 。

8、二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.元线性方程组当时有无穷多解。2.设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。3.对于线性方程组 (这里为阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 。4.维向量组必线性相关。进一步，若，则维向量组必线性相关。5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性相关的。8.维向量组与维向量组秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。9.若两个非零向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。10.设向量组,向量组，则这两个向量组等价。11.线性方程组必有基础解系。三

9、、解答题1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。(1) ；(2) ；(3) 2.求齐次线性方程组的基础解系与通解。3.已知线性方程组，求，使得上述方程组有解，并求出所有的解。4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。(1) ；(2) ；(3) 5.判别方程组 是否有非零解,如果存在非零解，请写出方程组的通解. 6.讨论方程组当取何值时: (1)方程组无解(2)方程组有唯一解 (3)方程组有无穷多解并在有解时求出全部解.7.讨论方程组当取何值时: (1)无解(2)有唯一解(3)有无穷多解8.设线性方程组为， （1）为何值时，方程组有解；（2）在有解时求方程组的一个

10、特解及导出组的基础解系； （3）用特解及基础解系表示方程组的一般解.9.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示：(1) ；(2) ；(3) ，。(4) ， ， ， 10.判断下列向量组的等价性：(1) 与。11.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将不属于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示。12.设，求为何值时，（1）线性相关（2）线性无关？四、课程讲义习题二中如下题目：2,3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,25,26,27.第三章 空间、直线与平面一、 填空题1.在轴上与点和等距离的点是 2.在空间直角坐标系中，点（1，-

11、2，3）关于原点对称的点的坐标是为3.平面和的夹角 4.设点A位于第I卦限，向径与x轴，y轴的夹角依次为和，且，则点A的坐标为 5.设，则夹角=_.6.设，则同时垂直于和的单位向量为.7.设向量与平行，则 .8.直线与平面的交点为 .9.设向量与向量 垂直，则=_10.过点且垂直于直线的平面方程为 11.已知线段AB的一个端点A(2,0,2)和中点M(5,-2,0),则另一个端点B的坐标为_；12.已知线段AB被点C(2,0,2)和三等分，则A的坐标为 ，B的坐标为 ；13.通过点且与平面平行的平面的方程为_；14.设点与，则过点A且与AB垂直的平面方程为_；15.通过点与的直线的方程为_；1

12、6.通过点且与平面垂直的直线的方程为_；二、解答题1.求过点且与直线垂直的平面方程2.求过点 且与直线 平行的直线方程3.一平面过点且平行于向量和，试求此平面方程4.求通过点P（1，2，3）且垂直于两平面的平面方程。5.求过点且与直线重合的平面方程6.求过点且与平面平行，又与直线垂直的直线的方程7.求平行于轴，且过点及的平面方程8.求过点且与平面平行，又与直线 垂直的直线方程9.求过点且与平面垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.10.验证两直线与相交，并求出它们所在的平面方程11求过点且与直线垂直相交的直线的方程12.求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点

13、的平面方程13.证明：与垂直14. 已知线段AB被点C(2,0,2), D(4,3,0)三等分, 求端点A，B的坐标.15. 已知，问取何值时与正交.16. 用向量方法证明：(1) 三角形余弦定理: .(2) 平行四边行为菱行的充要条件是对角线垂直.17. 已知平行四边行以a(2,1,0), b(1,1,3)为两边，求它的各边长、各内角，求它的两对角线长与夹角. 18. 已知点A(5,1,1), B(0,2,1), C(1,0,-1)， 求(1)三角形ABC各边长，(2) 各内角，(3) 面积， (4) 各边上高的长，(5) 角平分线的长.19. 求以a(2,3,1), b(5,6,4)为边的

14、平行四边形面积. 20. 判定以下向量是否共面 若不共面，求出以它们为邻边的平行六面体的体积及表面积.(1) a(3,4,5), b(1,2,2), c(0,2,0).(2) a(1,1,3), b(-3,-1, 2), c(-7, -1, 12). 21. 已知A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17), 求四面体ABCD的体积.22. 设下列平面的平面方程、法向量、及与三轴交点坐标.(1) 过点M(2,1,1), N(0,1,2)，F(0,0,3); (2) 过点M(2,1,1), N(0,1,2)，且平行于x-轴;(3) 与平面2x+y+z+1=0

15、垂直，且x-轴在该平面上; (4) 点P(1,1,1)在该平面上的垂足为Q(3,-1,2);(5) 过点M(1,1,0), N(3,0,4)且垂直于平面x-2y+3z=0;(6) 过点M(1,1,0)及直线.23. 求下列直线方程.(1) 过点P(0,2,4)且与两平面x+2z-1=0及y-3z-2=0都平行;(2) 过点P(1,2,1)且与下面两直线都都相交及, ;(3) 过点P(3,-1,2)且与直线平行.(4) 直线在平面2x+2y+z-11=0上的投影直线. 24. 设两直线 ，.(1) 判定的位置关系.(2) 求夹角.(3) 求过点P(1,1,1)且与都有交点的直线方程. (4) 求

16、的距离. (5) 求的公垂线方程 25设三角形顶点为,求平行于所在平面与它相距为2个单位的平面方程.26求过点和且垂直于坐标平面的平面的方程.27与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面的方程.28求通过点且与两直线 与 都相交的直线的方程.29求过点而与平面平行,且与直线相交的直线方程.30给定两异面直线与,求它们的公垂线的方程.第四章 线性空间与线性变换一、 填空题1.阶方阵的特征值为，则_。2.若是可逆方阵的一个特征值，则必有一个特征值为 。3.设是分别属于方阵的不同特征值的特征向量，则必线性 。4.实对称矩阵的两个特征值为_。5.设实数是实矩阵的某个特征值，则可知矩阵 的某个特征值。6

17、.若已知阶方阵的行列式，是矩阵的一个特征值，则其伴随矩阵必有一个特征值为。7.若阶方阵与相似，且，则 。8.设向量 与向量 正交， 则 = 。9.向量与正交，则_。10.已知阶矩阵的特征值为，则矩阵的特征值为_。11.设对称矩阵，则与对应的二次型为。12.设是阶矩阵的个特征值， 则。13.若与相似，则 ， 。14.已知。则内积 。15.与阶单位矩阵相似的矩阵是 。16.设,若与正交,则应满足的关系为 。17.设是幂零矩阵,即存在正整数，使得，则的特征值为 。18.设为阶方阵，且，则的特征值只能是。19.设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且向量，则向量 。20.设为阶正交阵，则必可逆，且。2

18、1.已知是的一个特征值，则。22.已知矩阵为正交矩阵，则矩阵元素分别为 _ 。23.设阶矩阵与相似，则 , 。24.设向量分别为实对称阵的两个不同特征值所对应的特征向量，则=_。25.设是阶正交矩阵，则的实特征值只可能是 。二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.相似矩阵的行列式相等。 2.可逆矩阵的特征值一定不为零。3.若是 阶矩阵的特征值，则是的特征值。4.设为正交阵，则矩阵的实特征值满足等式：。5.设为阶方阵，则与有相同的特征值。 6. 设矩阵相似于矩阵, 则与也必相似。7.设,都是阶方阵,若与相似,则与有相同的特征值。8.设,都是阶方阵,若,有相同的特征值,则与相似。9.若是正交方阵,则也是正交阵，且或。10.设,都是阶正交方阵,则也是阶正交方阵。11.设是矩阵的两个不同的特征值,是对应的特征向量,则也是的特征向量。13.设,都是阶方阵,若与相似, 与相似,则与相似。15.方阵满足，则或。16.设,是阶方阵,若,可逆,则可逆。17.正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。18.设为阶方阵，则与有相同的特征多项式。19.矩阵是正交矩阵。19.设是阶可逆矩阵的一个特征值，则，且是的特征值。三、解答题1.设矩阵，（1）求的特征值和特征向量；（2）试求一可逆矩阵，使得为