学习压缩包自控二课件

1、上述两式相等，且f ( A ) = 0 ，从而就证明了m-1mSaj= j=0 i= j+1( SI - A )-1f (02023例 2.5 已知 A = 00 ，求预解矩阵( SI - A)-101= ( S - 2 )2解： f ( s ) =SI - A( Sadj( SI - A ) = 所以adj( SI - A ) 的最大公因子d( S ) = ( S - 2 ) 。则 A 的最小多项式f ( s ) =d( s )由最小多项式f ( s )可知：于是得：m = 2, a0 = 1, a1 = -3,。= a( SI - A )-1=S 2 S 式（2.36）也可以写成下面两种形

2、式形式 I：21SI - APm -1 ( S )I + Pm - 2 ( S )A + L + P1 ( S )Am-2 + P0 ( S )Am-1f ( S )-1( SI - A)=m -1 Pm - i -1 ( S ) Aii =0=( 2.37 )f ( S )其中Pm -1 ( s ) = a0 Sm -1 + L + am - 2 S + am -1Pm - 2 ( s ) = a0 Sm - 2 + a1Sm - 3 + L + am - 2LLLLP1 ( s ) = a0S + a1P0( s ) = a0形式如果n n 方阵的特征为两两相异，则（2.36）式也可以写成

3、如下形式m -1m i - j -1jaSAm - i= j =0 i = j +1( SI - A )-1( 2.38 )SI - A（4）利用Sylvester 的插补公式法设n n 矩阵 A 有两两相异的特征值l1 ,l2 ,l3 ,L,ln , 则e At 可表示为:( A - l1I )L( A - lk-1I )( A - lk+1I )LL( A - lnI )nelk te At=( 2.39 )( l - l )L( l - l)( l - l)L L( l - l )kk -1kk =1k1k +1kn这是对于矩阵指数的Sylvester 内插公式。用它可以直接求e At

4、。0010- 110例 2.6 已知 A = 1 ,求e At （用内插公式求）- 6- 6式（2.39）可知, 首先应求出特征值。22f ( l ) = lI - A = lIl06- 1l11=-l所以 l1 = -1,l2 = -2,l3 = -310+ 1 e - 3t 2- 6-6665- 55t=2来计算e At(5)变换 A 为对角a）A 特征值互异或Jordon当 A 有两两相异特征值时，必能找到非奇异矩阵T ，使下式成立，即L = T -1AT由式（2.22）性质七有= f ( t ) = T eLt ,T -1e At例 2.7 已知 A = 01At，求e。- 2- 32

5、3= l- 1 = l2 + 3l + 2解： f ( l ) =lI - A 2l + 3l2 = -1,l2 = -2所以 p11 01p11AP= l P= ( -1 ) p由- 2- 3 p111 21 21 p 1 11=得 p- 121 p12 01p12AP= l P= ( -2 ) p同理- 2- 3 p222 22 22 p 1 12=得 p- 222 T = p11p11 = 2112T -1=, p- 1- 2- 1- 1p 2122 1 e - t 1210- 2tDt-1Ate= TeT= - 1所以- 2 - 1- 1- e - 2t 0e = 2e -te - t

6、 - 2e - 2t- t + 2e - 2t- e - t- 2t- 2e+ 2eb）A 的特征值有重根在 A 的特征值有重根的情况下，根据公式（2.24）性质九可知 T -1e At= T e JtJ = T -1 AT其中- 31- 300例 2.8 已知 A = 01 ，求e At- 4解：先求 A 的特征值l0f (l ) = )2 (l + 4)所以 l1 = l2 = -1l3 = -424- 11- 1000J = 0则- 40章例 1.18 可知11T = 2- 138T41所以3 81 e - tte- t2e - t4te- t- tt= 2e4e1 5e - t- t-

7、 6t- 12- 4e - t - 2三、非齐次方程的解现在来讨论线性定常系统在态方程为一般的非齐次方程作用u(t) 下的强制运动。此时状X&= AX + Bu在初始时刻t0 时，初始状态为 X( t0 )，则其解为：A(tt)-X(t)e =0初始时刻t0 = 0 时，初始状态 X (t0 ) = X (0) ，其解为： X=(t)AXt e( 0很明显，线性系统（2.40）式的两部分组成。（2.41）式和（2.42）式的第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由作用25引起的强制运动。证明：将式（2.40）写成X&两边同- AX = Bu( t )e - At 得e- At ( X&

8、- AX ) = e- At Bu( t )e- At X( t )= e- At Bu( t ) ddt( 2.43 )即对上式在t0 t 之间，有e - At Bu(t )dte - AtX( t ) t = t t0t0e - AtX( t ) = e - At0 X( t0 ) + e - At Bu(t )dtt即t0e - At ，得两边同X( t ) = e A( t-t0 ) X( t0 ) +故（2.41）式得证。若对（2.43）式在0 t 间e A( t-t )Bu(t )dtt t0，即可证明（2.42）式。式（2.41）和（2.42）可分别写成如下形式：X( t ) =

9、 f( t - t0 )X( t0 ) + f( t - t )Bu(t )dttt0及 X( t ) = f ( t )X( 0 ) +t f ( t - t )Bu(t )dt0例 2.9 求状态方程&X1X 0011=+ u, 在u( t ) = 1( t ), 初状态为X ( 0 ), X ( 0 ) X& - 3 X- 2112 2 2 时的解。解：在上面例题中，我们已经求出2e -t- e -2te -t - e -2tAte= f ( t ) =-t + 2e -2t- e -t-2t- 2e+ 2e因此，根据（2.42）式，有26 x1( t ) = 2e - t - e -

10、2te - t - e - 2t x1( 0 ) x( t )x ( 0 )- t + 2e - 2t- e - t- 2t- 2e+ 2e 2 22e - ( t -t ) - e - 2( t -t )e - ( t -t ) - e - 2( t -t ) 0t01(t )dt+ - ( t -t ) + 2e - 2( t -t )- e - ( t -t )- 2( t -t )- 2e+1 2e( 2e - t- e - 2t)x1 ( 0 ) + ( e -t- e - 2t)x2 ( 0 )= - t + 2e - 2t)x ( 0 ) + ( -e - t+ 2e - 2t(

11、 -2e)x2 ( 0 )1e - ( t -t ) - e - 2( t -t )t0t+d- ( t -t )- 2( t -t )- e+ 2e( 2e - t- 2e - 2t)x1 ( 0 ) + ( e - t- e - 2t)x2 0= - t + 2e - 2t)x ( 0 ) + ( -e - t+ 2e - 2t( -2e)x2 ( 0 )1 1 - e - t + 1 e - 2t + 22- t - e - 2te1 + 2 x( 0 ) + x ( 0 ) - 1e -t - x ( 0 ) + x ( 0 ) - 1 e -2t = 2( t 0 )21212- 2

12、 x1 ( 0 ) + x2 ( 0 ) - 1e - t + 2 x1 ( 0 ) + 2 x2 ( 0 ) - 1e -2t在特殊的作用下，例如在脉冲函数，阶跃函数或斜坡函数的作用下，系统解（2.42）可简化为如下公式：（1） u( t ) 为脉冲函数时，即u( t ) = kd ( t ), X( 0- ) = X( 0 )时，X( t ) = e At X( 0 ) + e At Bk式中k 是与u( t ) 同维常数向量。（2） u( t ) 为阶跃函数时，即u( t ) = k 1( t ), X( 0- ) = X( 0 )时，X( t ) = e At X( 0 ) + A-1

13、( e At - I )Bk（3） u( t ) 为斜坡函数时，即u( t ) = k t 1( t ), X( 0- ) = X( 0 ) 时X( t ) = e At X( 0 ) + A-2 ( e At - I ) - A-1tBk非齐次方程也可以用拉氏变换方法求解。对非齐次方程（2.40） 式两边进行拉氏变换：27S X( s ) - X( 0 ) = A 化简为( SI - A )X( s ) = X所以 X( s ) = ( SI - A)1X( 0 ) + Bu(对上式进行反拉氏变换，得X( t ) = L-1 X( s )例 2.10 已知系统的状态方程为 1 - 122X&

14、= X + 3 3为阶跃函数，初始- 36- 11条件 X1( 0 ) = 2,解：X2( 0 ) = 1，求此状态方程的解。= S( SI - A )-1又 X( 0 ) = 21Su( s ) =1 所以1 1 3S1 31 = b) S 1 S从而有X(s)(SI -=A S +(S + 4 )=-(S + 4 )将上式进行部份分式展开：28 )(X - 63685 + 5+ 4SS+ 9并作拉氏变换，得 1- 21 e - x ( t ) = 3620 x( t )635 2- 4t e+22线性时变系统状态方程的解状态变量法的优点之一就是具有广泛的适应性，它可以推广到线性时变系统。设

15、线性时变系统的状态方程为：X&= A( t )X + B时变系统不一定有解，但矩阵 A( t ) ，B( t ) 的元素在定义区间t0 ,ta 上是绝对可积时，对每一初始状态 X( t0 )一、线性时变齐次状态方程的解首先来研究线性时变齐次状态方程的解。状态方程为： X& = A( t )X唯一解。 X( t )= X其解为t = t 0X( t ) = f( t ,t0 ) 式中f( t ,t0 )类似于前述线性时不变系统中的f( t - t0 ) 它也是n n 非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件f&0 (t=,tA()t) f和 f ( t0 ,t0 ) = I证明：将（2.4

16、6）代入原方程（2.45）式，有ddtf ( t , t)X( t) = A( t )f0 0即有f&( t ,t0 ) = A( t )f( t ,t0 )在解（2.46）式中令t = t0 时有29X( t0 ) = f( t0 ,t0 )X( t0 )即 f ( t0 ,t0 ) = I这就证明了由满足式（2.47），（2.48）的f( t , t0 )，按（2.46）式所求得的 X( t )确是原齐次状态方程式（2.45）的解。和前节所述的时不变系统一样，也是初始状态的转移，故f( t , t0 )也称为时变线性系统状态转移矩阵。在一般情况下，只需将f ( t ) 或f( t - t0

17、 )改为f( t , t0 )，上节关于时不变系统所得到的大部分结论，均可推广应用于线时变系统。二、状态转移矩阵f( t , t0 )的基本性质（1）f( t2 ,t1 )f( t1 ,t0 ) = f( t2 ,t0 )证明：由式（2.46）可导出X( t1 ) = f ( t1 , t0 )X( t0 )X( t 2 ) = f ( t 2 , t0 )X( t0 )X( t 2 ) = f ( t 2 , t1 )X( t1 )= f ( t 2 , t1 )f ( t1 , t0 )X( t0 )故 f( t2 ,t1 )f( t1 ,t0 ) = f( t2 ,t0 )（2）f (

18、t ,t ) = I见式（2.48）定义（3）f ( t ,t0 ) = f -1( t0 ,t )根据式（2.48），（2.49）可知f( t ,t0 )f( t0 ,t ) = f( t ,t ) = I又 f ( t0 ,t )f( t ,t0 ) = f( t0 ,t0 ) = I所以f ( t , t0 )与f ( t0 ,t ) 为互逆矩阵。（4）f&( t ,t0 ) = A( t )f( t ,t0 )( 2.49 )( 2.50 )见定义（2.47），在这里， A( t ) 和f( t ,t0 )一般的说是不能交换的。三、状态转移矩阵f ( t ,t0 ) 的计算时变系统的状

19、态转移矩阵f ( t ,t0 ) 和定常系统的f( t - t0 ) 或f( t ) 在形式上和某些性质上有类似之处，但在本质上两者是有区别的。可以看出f( t - t0 ) 或f( t ) 是( t - t0 ) 或t 的函数，而f ( t ,t0 ) 则是t 和t0 的函性定常系统中f( t - t0 ) 或f( t ) 一般可写成指数矩阵形式，即数。写成e A( t -t0 ) 或e At ，但在时变系统中f ( t ,t0 ) 往往不能写成指数矩阵形30式，除非它满足某种条件。设（2.45）式的解可以写成如下形式：tX( t ) = e t0 A( t )dtX( t )（2.51）0

20、根据指数矩阵的展开法则，上式可写成X ( t ) = I + A(t )dt + 1 A(t )dt 2+ 1 A(t )dt +3LX ( t0 )( 2.52 )tt t0t t0t02!3!对（2.52）式两边求导，得：X& ( t ) = A( t ) + 1 A( t )A(t )dt + 1A(t )dtA( t ) + LL X ( t )t tt t( 2.53 )02200将（2.52）和（2.53）式代入（2.45）式，可以看出，等式左右两边只有当 A( t )和A(t )dt 是可交换的，等式才能成立。即若等式tt0A( t )A(t )dt =tt t 0A(t )dt

21、A( t )( 2.54 )t 0成立时，式（2.53）将变为：X& ( t ) = A( t ) + A( t )A(t )dt + LX( t )tt00= A( t )I +A(t )dt + LX( t )t t00= A( t )X( t )所以式（2.51）是原方程（2.45）式的解。A(t )dt 才是可交换的呢？以下对此那么，在什么条件下 A(t) 和问题作简单说明。t t0若（2.成立，显然有A( t )A(t )dt -A(t )dtA( t )ttt0t0= A( t )A(t ) - A(t )A( t )dt = 0tt0若上式对任意t 皆成立，则对于任意t1和t2

22、，等式A( t1 ) A( t2 ) = A( t2 )A( t1 )( 2.55 )t应能成立。反之，若等式（2.55）成立， A( t ) 和A(t )dt 就是可交t0换的。以上便是要求的条件，由此可以得出如下结论：当（2.55）式对任意t1和t2 都成立时，式（2.51）即为式（2.45）的解，这状态转移矩阵可写成：的31 tA( t )dt= I + A(t )dtf ( t ,t0 ) = ett0t0A(t )dt 2 +A(t )dt 3 + L 12! 13!t t 0t t 0+( 2.56 )一般地说，上式不能表达成封闭的形式，或者说，上式一般不能用有限多项式表示，但在特

23、殊情况下也是可能的。例 2.11已知对象的状态方程为0 1( t +1 )2 X( t )X& ( t ) = 00的状态转移矩阵。于01 01A( t1 )A( t2 ) = ( t1 + 1 )2 + 1 )2 = 0 = A( t2 ) A( t1 )( t2 00 00满足（2.55）式所给出的条件，从而 A( t ) 和A(t )dt 是可交换的。tt0而系统的状态转移矩阵可由式（2.56）所给出，即2 tA( t )dt1A(t )dt ttf ( t ,t0 ) = e= I +A(t )dt +t0+ LLt2! 0t02 1 10 12!00t(t + 1 )2 dt t0

24、0t +t t= I + L2(t +1 )0d00t - t0010(t + 1 )2 dt = ( t + 1 )( t+ 1 )上式中t t000000 k- tt 00= 0= 23 L(,k而(t + 1 )(+ 1 )t000将上述结果代入f( t , t0 )表达式后，得t - t0t - t00110 + ( t + 1 )( t0 + 1 ) = + 1 )f ( t ,t0 ) = ( t + 1 )( t0100010一般情况下， A( t ) 不能满足可交换的条件（2.55）式。这时，f( t , t0 )的计算，是用级数近似法，即：32f ( t , t0 ) = I

25、 + t 1+A(t )t t0t01证明：在上述情况下，可有f&( t , t ) = d I0dtt 1t t0+A(t)t01= A( t ) + A( t )= A( t )I +t t0= A( t ) f ( t , t0 )又 f ( t0 ,t0 ) = I + 0可知式（2.57）满足式（2.58）和式（2.59）。例 2.12已知线性时变系统的状态方程为= 01 X ,计算f ( t ,0 )X&0t 解： 因为A( t ).A( t ) = 0012A( t ).A( t ) = 0021所以 A( t ) 和A(t )dt 是不能交换的，f( t ,tt)不能写成矩阵指

26、数0t0形式，只能用级数展开。故按式（2.57）作f( t , t0 )的近似计算。00tt A(t )dt =00ttA(t )1 A(t)1200t1 0t 00 =01 t1233ttA(t)1 A(t120001 01618= t1 0所以0ttf=0+t+28例 2.13 已知时变系统状态方程为= t1 XX&1t 试求其f ( t ,0 )t1tt0 tA(t )dt =解：01由于A( t )t A(t )dt =0 1 t 33 t 2+ t= 2221 t 33 t+22t t0A(t )dt即 A( t ) 和计算。是可交换的，状态转移矩阵可按式（2.56）34t 4821 + t+=t 3t + L2当然也可按（2.57）式计算。tf ( t ,0 ) = I +At0 1 t 2 + 2= 10t1241 + t+t+ L8=13t +t+ L12可知它们的计算结果是一