第七章梁的弯曲变形

1、1梁的弯曲变形梁的弯曲变形 第第 七七 章章2第第七七章章 弯曲变形弯曲变形7 7-1 -1 梁的挠度及截面的转角梁的挠度及截面的转角7 7-2 -2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程7 7-3 -3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形7 7- -5 5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形7 7- -8 8 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁7 7- -7 7 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施目录目录37-1 梁的挠度及截面的转角梁的挠度及截面的转角6-14567-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程1.1.基本概

2、念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xww由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：xwddtan挠曲线挠曲线yxxw挠度挠度转角转角挠度挠度w：截面形心：截面形心在在y方向的位移方向的位移w向上为正向上为正逆钟向为正逆钟向为正6-2转角转角 ：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。72.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：1=zMEI忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 8由数学知识可知：由数学知识可知：3222)dd(1 d

3、d1xyxy略去高阶小量，得略去高阶小量，得22dd1xy所以所以zEIxMxy)(dd222M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB153 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(ddxlFbxMxwEI1

4、211112)(ddCxlFbxEIxwEI1113116DxCxlFbEIwAC 段段：10 xa)()(dd2222222axFxlFbxMxwEI2222222)(22)(dd2CaxFxlFbxEIxwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB 段段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB164 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22lwlx0)0(, 011wx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件1212,( )( )xxaaa)()(,2121awawaxxlFbFblCC661321

5、021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB175 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIwAC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIwCB 段：段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB186 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得得0ddxmax,()6BFabxllaEIl令令 得得0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFb

6、wblxmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB19讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？207 7- -5 5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形)(dd22xMEIwxwEI 设梁上有设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w，则有：，则有： )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iw)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：1( )( )nii

7、M xM x所以所以11()( )nniiiiEIwEIwM x6-421故故1()niiww由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiww1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。22例例3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C 截面的挠截面的挠度度wC ；B截面的转角截面的转角 B。1）将梁上的载荷分解）将梁上的载

8、荷分解321CCCCwwww321BBBBwC1wC2wC32）查表得）查表得3种情形下种情形下C截面的截面的挠度和挠度和B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解解用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形23wC1wC2wC33） 应用叠加法，将简单载荷作应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB24例例4 4 已知：悬臂梁受力

9、如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C截面的挠度截面的挠度wC和转角和转角 C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。相反的均布载荷。 Cw25Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC6

10、31EIqlC4832 EIqlwwiCiC384414213）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 26讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？277 7- -7 7 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施1.1.梁的刚度校核梁的刚度校核,maxmax ww建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精

11、密机床的许可转角：500016-628 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。 B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解例例7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承。轴承B处的许可转处的许可转角角 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d。29例例7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=

12、206 GPa。轴承。轴承B处的许可转角处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 3449236418064 20 102 1 18033 206 100.5111 10 m111mmFladE 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644302.2.提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状312 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式322 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形

13、式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww333 3）采用超静定结构）采用超静定结构347 7- -8 8 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法： 解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统 比较变形，列比较变形，列变形协调条件变形协调条件 由物理

14、关系建立补充方程由物理关系建立补充方程 联联立静力平衡方程求解。立静力平衡方程求解。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统6-535 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解: :例例5 求梁的支反力，梁的抗弯刚求梁的支反力，梁的抗弯刚度为度为EI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBBwww3 3）进行变

15、形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件364 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFwFB314)29(6)2()(32EIaFwByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F37例例6

16、梁梁AB 和和BC 在在B 处铰接，处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BBwwBBFFFBwB1 FBwB2物理关系物理关系EIFEIqwBB3484341EIFEIFwBB3424362322解解38FB FBwB1wB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqM39FB F BwB1wB20, 0 FFFFCBy确定确定C 端约束力端约束力 kN75.4875. 840 BCFFF()0,240CCBMFMFF kN.m11540275. 8424 FFMBC40A、B 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力