第4章线性方程组习题

1、第 4 章 线性方程组、知识结构分析（ 1） 线性方程组求解和线性相关性，矩阵的秩和矩阵的变换之间的关系。线性方程组一章的内容是线性代数发展的渊源，正是线性方程组的求解研究导致了向量线性相关性的研究，就是确定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的问题。这些问题可通过矩阵的秩和子式的计算来确定。第三章的内容，无论是线性相关性还是矩阵的秩，都是和方程组求解密切相关，要通过知识结构的联系，使学生整体掌握知识体系。矩阵的初等行变换应是初等变换的重点，它对应与方程的恒等变换（保持同解） 。行阶梯型矩阵对应的方程组可通过把自由未知量移到右边，再通过回代求解。而行最简形不用回代可直接写出解的表示式。如

2、果仅求矩阵的秩或确定向量组的最大无关组，把矩阵化简到阶梯型即可。（ 2）方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题。、重点难点分析与教材处理:（ 1） 齐次方程组解的结构部分要结合向量空间，向量空间的基与向量组的最大无关组的回顾，加深上章基本概念的理解。（ 2） 齐次方程组的矩阵表示和向量表示要阐明有非零解与列向量组线性相关性的关系。（ 3） 程求解的变换化简对应的行最简型，结合初等变换的内容使对初等变换的理解更具体。（ 4）

3、 程组通解的两种表示方法，用基础解系表示的间接方法和用自由未知量表示的直接方法。（ 5） 空间用基础解系联系向量空间用基表示的关系，阐明向量空间和向量组的不同。（ 6） 齐次方程组的矩阵和向量表示与向量组线性相关性的关系，增广矩阵和系数矩阵的列向量组之间的关系。（ 7） 有参数的方法的参数识别，即方程组的反问题，了解正问题的和反问题的初步概念。三、常见的问题和易犯的错误（ 1）带参数的矩阵化简忽略带参数的分母为零的讨论。（ 2）不能掌握方程化简分析的一般步骤。四、参考资料与数学实验 五、 学习指导与提示求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：1 1（D解：X1X25X3X40X1X22x3

4、3x403x1X28X3X40X13X29X37x40对系数矩阵做初等行变换（相当于对方程做化简）1131111352891317r2 r13 3r4 .110001224577141448r21000112457/271412482 4 r2 42100001003/27/2001200Xi分别取X31,X4基础解系为,化简后的方程组为X232x372x3X42x4X30,X41代入方程组求解得到3/27/2101201通解为X k1 1k2 23X121X272X3二X4X3201X41或者直接写出通解为03/217/2212基础解系为(2)3x1X22x37x402x13x2X35x40

5、4x1X23x36x40X12x24X37x40解：对系数矩阵做初等变换13121332417567r1 r11243231141327567r 2 2 r1r 3 4 r1r4 3r11000279749191071934142 2( 1) 解：对增广矩阵做初等行变换411310001000272721001)求解下列非齐次线性方程组：491010719151410002127421101072615142r2 07r202100421521577266716842152072667370, 因此，只有零解。4x111x3x1对增广矩阵做初等行变换2810r11113只有零解。2xx22 x

6、33x 32x328102)2x4x2xy2yyz2zr2 11r1 r 3 3r1330103331189634r 3 3r2310031108346R(A) 2， R(B) 3，方程组无解33讨论 , a, b 取什么值时下列方程组有解，并求解：x1x2x31x1x2 x3解：法一、对增广矩阵作行变换，把方程组化简1)x1 x2x3881031030311338349611111r12 1r3r2 r13r1方程组化简为X1X2X3其解为(111,则X1X2X3k2则有R(A)X3(12)r1 r23 21)22, R(B)2,即1)2,X2(2)法二（分析）1,2方程组有唯一解(1)22

7、,X1(2)1)1)2(2)根据Gramer法则，如果系数行列式非零，则有唯一解，对于行列式等于零的情况再分析是无解还是多解系数行列式为|1r3r2 r3(1)2(1)2(2因此1,2方程组有唯一解,其解为X31)2(2),X2(1)常2时方程组无解，1时，方程组有无穷多解，其解为X1111X2k1 1k2 00x3010ax1 x2 x3 4X1 bx2 x33 x1 2bx2 x34解：对增广矩阵作行变换a11411b13ar1 r212b141解。当b 0时1b130 b010 1 ab 1 a 4 ：1 31 b1 4 0 1 ab r2 ar11 4 r3 r1 0 b131 a 4

8、 3a01当b 0时，无1 010 b0r1 r2r3 Lar2 001 a 4b211b若a 1 ,则有唯一解x2xia 1 时 R(A)2,r(b)3,无解(3)x x2 2x3xi (1)x2 X3 2 3(1)xix2 (3)x3 3解：方法一、系数行列式为33(1)1)21)根据Gramer法则可知，当0,1 时,D 0 ,方程组有唯一解。10时其解为Xi3* 2 152(1)9,X23 121)9,X34 3 3 2 129"2rn)当 0时，增广矩阵为1/3112/311R(A) 2,R(B)3,方程组无解。1时,方程组无解4. 4.)X1 (54x22x2)X2 (5

9、2x34X3)X3问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有解时求其通解。分析：求系数行列式D,如果D 0则有唯一解。对于D 0的情况分别讨论,这种方法思路清晰，但计算量大。另一种方法是用初等变换化简方程，但要注意 分母为零的情况。解：法一、系数行列式为2(1)2(r12210),因此当2T(55122 丁 ( 4)2411,10时，方程组有唯一解8221254224511解。125/2 0990 181811/2125/290994500011/2963 方程组无1221通解为x122x2k1 1 k2 0X301100 ,其中K，k2为任意实数5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵

10、的秩为3,已知1，2, 3是它的三个解2 13 214，233向量，且 54求该方程组的通解。解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，对应的齐次方程组的基础解系只含有一个解向量，故只需求出一个特解和对应的齐次方程的一个非零解。1为56非齐次方程组的特解，( 12)/2也是非齐次方程组的解，因此21/23/225/23331243/252因此通解为2334x c45其中c为任意实数6. 设 x1 x2a1,x2 x3a2,x3 x4a3,x4 x5a4 ， x5 x1a5 ,证明这个方程组有解的充分必要条件是aii1解：对方程组的增广矩阵做初等变换110001100011000110000

11、a11100a20110a30011a40001a501000a100a210a311a401a5a1110000110000110a1a2a300011a400101a5a1 a21101000000000a1100a2110a3011a4001 a5 a1 a2 a311010 00000000100110011000a5a1a2a3a4a1a2a3a4非齐次方程组解的判定定理知，方程组有解的充分必要条件是5ai 0R(A) R(B) 4，即 i 1 i7证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。证明：设1，2，s是与基础解系等价的线性无关的向量组，因为 i可用基础解系线性表示，

12、故1，2，s是齐次方程组的解。由条件知，它们是线性无关的,由任一解X可由基础解系线性表示，由等价性可知，x可由1，s线性表示,因此1,，s是基础解系。注：实际上基础解系所含解向量的个数均为n r 。8.设A, B都是n阶方阵，且AB=0证明R(A) R(B) n 0证明：考虑矩阵方程AB 0 与方程组解的关系，将B 按列分块，即考虑B 的列向量B (b1, b2,., bn)AB 0 可表示为AB A(b1 ,b2,.,bn) (Ab1,Ab2,.,Abn) (0,0,.,0)即Abj 0 d1,2,n),也就是说bj(j 1,2, n)是方程Ax 0的解。(1)如果A的秩R(A) n，则知A

13、x 0只有零解，而bj(j 1,2,n)又是Ax 0的解，故知bj 0(j 1,2,n),即B 0, R(A) R(B) n 0 n,结论成立。( 2) 如果R(A) r n ， 则 Ax 0的基 础解系 含有(n r) 个解向 量 ，设为1, 2,，nr,又bj(j 1,2,n)为Ax 0的解，故向量组”,必,bn可由基础解系1, 2,., n r 线性表示，由定理知Rb1,b2,.,bn R 1, 2,., n r n r即 R(B) n r,故 R(A) R(B) n*9.设 是非齐次线性方程组Ax b的一个解，2,.-，n r是对应的齐次方程 组的一个基础解系。证明：* 1) 1),

14、1, 2 ,., n r 线性无关;* 2) ,1 ,.,n r 线性无关。x0x1 1xn r n r证明： ( 1)设用A去左乘方程两端，有* A(x0x1 1. xn r n r )x0Ax0 b0x0 0 ，代入上式得到x1 1 x2 2. xn r n r1) 2,., n r 是线性无关的，因此，*, 1, 2,., n r 线性无关;2) (2)类似的考虑x0x1 1 x2 2. xn r n r(x0x1 A 1 . xn r A n r0x1x2. xn r 0x1(1) .xn r( n r ) 0，即1 .xn r )0用 A 去左乘方程两端得到x0 x1 x2xn r

15、0 ，代入上式，由1,. n r 的线性无关性可知x1x2. xn r 0，因而x00，故，1，nr线性无关。10.设1，s是非齐次线性方程组Axb的s个解，ki，“，,ks为实数，满足k1 k2ks 1,证明：X ki 1 k2 2 . ks s也是它的解。证明：将表示式代入则有Ax(k1A(k1 1k2 2k2 . ks)b bks s) k1 A 1 k2 A 2ksA s故 xk1 1 . ks s(k1 .ks1)是方程组的解。11 设非齐次方程组Axb 的系数矩阵秩为r， 1， 2 ，.， n r 1 是它的 n r 1 个线性无关的解（由题9 知它确有n-r+1 个线性无关的解）。试证它的任一解可表示为k11 . kn r 1n r 1 (其中k1knr11）证明：显然i i nri（i 1，2,，n r）为对应的齐次方程组的解。首先证明1 ，.， n r 是线性无关的。设k1 1 k2 2. kn r n r 0，即k1 ( 1 n r 1 ) k2 ( 2 n r 1 ). kn r ( n r n r 1 )1,., n r 1是线性无关的，因此k1k