函数的基本性质-沪教版必修1教案

1、1. 单调性定义：设函数f(x)的定义域为 A,区间M?A若对于任意的X1, X2 M当X1<X2 时，都有f(x 1)_ f(x 2),贝y f(x)为区间M上的增函数.对于任意的 Xi, X2 M当X1<X2时， 都有f(x 1)_ f(x 2),则f(x)为区间M上的减函数.2. 证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明.二、单调性的有关结论1. 若f(x) , g(x)均为增(减)函数，则f(x) + g(x)仍为增(减)函数.12. 若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0 ,则f?Xy为减(增) 函数，f?x?为增(减)函

2、数.3. 互为反函数的两个函数有相同的单调性.4. y= fg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x) 为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数 fg(x)为减函数.5奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个 区间上的单调性相反.三、函数单调性的应用有：(1) 比较函数值或自变量值的大小.(2) 求某些函数的值域或最值.(3) 解证不等式.作函数图象.四、函数的最大(小)值：定义：一般地，设函数y= f(x)定义域为I,如果存在实数M满足：(1) 对任意 xI,都有 f(x) M(或 f(x) M);(2

3、) 存在 Xo I,使得 f(x o) = M.称M是函数y = f(x)的最大(或最小)值.五、复合函数的单调性对于复合函数y= fg(x),若t = g(x)在区间(a , b)上是单调增(减)函数，且y= f(t) 在区间(g(a) , g(b)或者(g(b) , g(a)上是单调函数，那么函数 y = fg(x)在区间(a , b) 上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域t = g(x)y= f(t)y = fg(x)增增增增减减减增减减减增六、解题技巧1. 函数单调性的证明方法(1) 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取 XI、X2 D,且 X1<X

4、2； 作差f(x 1) - f(x 2),并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； 依据差式的符号确定其增减性.(2) 设函数y = f(x)在某区间D内可导.如果f ' (x)>0 ,则f(x)在区间D内为增函数； 如果f ' (X )<0 ,贝y f(x)在区间D内为减函数.2函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性 法，导数法.21. (2010 天津模拟)函数y = log 1 ( X - 2x + 3)的单调递增区间为 .22. (文)函数y = ax在0,1上的最大值与最小值的和

5、为3,则a的值为()B. 2C 41 1 13343.(文)(2010 济南市模拟)设 y1=, y2=, y3=,则()A. y3<y2<y1B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1 <y3<y24. (2012 保定1中质检)已知f (X)为R上的减函数，则满足 f<f(1)的实数X的取值X范围是().A. ( - 1,1)B. (0,1)C. ( - 1,0) U (0,1)D. ( -,- 1) U (1 , +)5. (文)(2011 大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是()A. y = (1 - x)B.

6、y=-X 1 2C. y = D y =尹-X )一 一 1 16. (2011 江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a= Iog 1 2 , b= log 1 3，C = 2 ,32 3A. a v bv CC. bv CV aB. av C V bD. bv a v C7.(文)(2011 北京模拟)设函数f(x)=2X1 x031x<0 X,若f(a)>a,则实数a的取值范围是()A. ( , 3)B. ( , 1)C. (1 , +)D. (0,1)& (20 11 青岛模拟)已知函数f (x) = ax+ loga(a>0且a 1)在1,2上的最大值与最

7、小值之和为log a2+ 6,则a的值为()C . 2D. 429. (文)如果函数f (x) = ax + 2x 3在区间(一, 4)上单调递增，则实数 a的取值范围是10. (文)(2011 平顶山一模)定义在 R上的偶函数f(x)满足：对任意 X1, X2 0 ,+f?X2? f?X1?)( X1 X2),有XX<0,则()X2 X1A. f (3)< f ( 2)<f (1)B. f (1)< f ( 2)<f (3)C. f ( 2)<f (1)< f (3)D. f(3)<f(1)<f( 2)X11. (文)已知 f(x)=xa

8、(xa).(1)若a= 2 ,试证f(x)在(一, 2)内单调递增； 若a>0且f(x)在(1 , +)内单调递减，求a的取值范围.一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义设函数y= f (X)的定义域为D,若对D内的任意一个X,都有一X D,且f( x) =(或f( X) =)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数).2. 关于奇偶性的结论与注意事项(1) 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的.显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.(2) 函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数 也是偶

9、函数、既不是奇函数又不是偶函数.(3) 如果一个奇函数f(x)在X= 0处有定义，那么f(0) = 0;如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为0,但逆命题不成立.若f(x)为偶函数，则恒有f(x) = f(| x|). 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个 奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为O的函数).二、函数的周期性(1) 对于函数f (X),如果存在一个非零常数 T,使得对定义域内的每一个 X值，都满足f(x + T) =,那么函数f(x)叫做周期函数.T叫做这

10、个函数的一个周期如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期.(2) 一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k N)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期.1. (2011北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A.|X|y=22B . y= X XC.y = 2xD3.y = X2.(2010北京西城区抽检)下列各函数中，()是R上的偶函数()A.2 y = X 2xXB. y = 2C.y = cos2 XD.1 y=I Xl 1X3. (文)(2011 辽宁文，6)若函数f

11、(x) = ?2X+ 1?X a?为奇函数，贝U a=()4.(文)(2011 湖南文,12)已知 f (x)为奇函数，g(x) = f(x) + 9, g( 2) = 3,则 f (2)=5. (文)设f (X)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) = 2x 3,则f ( 2)的值等于()11A. 1C . 1 D .416. 已知f (x) , g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，且f(x) g(x) = qx,则f (1),g(0) , g( 1)之间的大小关系是 .x+ 17. (文)(2011 合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f

12、(2x) = f(=)+ 4C7 - 2-B9 - 2-A8D.88. (文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线X = 2对称，且当x ( 2,2)时,2f(x) = X + 1.贝U f( 5) =.9. (文)(2010 安徽卷)若f (x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1) = 1,f(2) = 2,则f (3)f(4)=()A. 1 B . 1 C2 D . 210. (文)(2011 济南模拟)函数f(x)(x R)是周期为3的奇函数，且f ( 1) = a,则f(2011) 的值为()A. a B. a C . 0D. 2a11. (2011 青岛模拟)已知定义在 R上的函数f(x)满足f(3) =