函数的单调性与最值

1、函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基 本初等函数的图象分析函数的性质.【知识通关】1. 函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值X1, X2当 X1V X2 时，都有 f(X1)V f(X2),那 么就说函数f(x)在区间D上是增函 数当 X1 V X2 时，都有 f(X1)> f(X2),那 么就说函数f(X)在区间D上是减函 数图象描述才.对? x1,2 D(X1x2)，2>0? f(X)在 D 上是增函数,fV 0? f(x)在D上是

2、减函数.2. 对勾函数y= x+ X(a>0)的增区间为(一, a和.a, + ),减区间为入 2自左向右看图象是上升的n) MQ自左向右XinS看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y= f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性，区间D叫做y= f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=f(X)的定义域为I ,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的X I ,都有f(X) M ;存在X0 I ,使得f(o) = M对于任意的x I ,都有f(X) M :存在xo I ,使得f(xo) = M结论M为最大值M为最小值常用结论a

3、, O)和(O,a.3. 在区间D 上,两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.4. 函数f(g(x)的单调性与函数 y= f(u)和U = g(x)的单调性的关系是“同增异 减”.5. 函数最值存在的两条结论(1) 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(2) 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.【基础自测】1 判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“X”)(1) 函数y=1的单调递减区间是(一, 0)(0,+ ).()X(2) 若定义在R上的函数f(x)有f( 1)Vf(3), J则函数f(x)在R上为增函数.()函数y= f(x)在1, +)上是增函数，则函数

4、的单调递增区间是1 , +).()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()答案 × (2) ×(3)×2. 下列函数中，在区间(0,+ )上为增函数的是()A. y= ln(x + 2)B. y= X + 1X1 1C. y= 2D. y=X + XA3. 若函数f(x)= ax+ 1在R上单调递减，则函数g(x) = a(x5.已知函数 f(x) = , X 2,6,贝U f(x)的最大值为 ,最小值为X 14x + 3)的单调递增区间是()A.(2,+)B . ( , 2)C.(2,+ )D . ( , 2)B4.若函数f(x)是R上的减函数，

5、且f(a2 a)V f(a),则a的取值范围是()A.(0, 2)B. ( , 0) (2,+)C.(,0)D . (2,+)B【题型突破】确定函数的单调性(区间)IaSIlI【例1】(1)(2019石嘴山模拟)函数y= ln( x当 a>0 时，f' (X) V0,函数 f(x)在( 1,1)上递减；当 aV0 时，f' (X)>0,函数 f(x)在( 1,1)上递增.方法总结1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图象法；G利用已知函数的单调 性；d.导数法.函数y= f gx的单调性应根据外层函数 y=

6、 f t和内层函数t = gx的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则.)虫炭体刃(1)(2019北京模拟)下列函数中，在区间(0 , + )上为增函数的是()A. y= X + 1B. y= Sin X一 1C. y= 2 XD. y= Ioggx + 1)+ 2x + 3)的单调减区间是()A. (1,1B . 1,3)C. ( , 1D. 1 , + )a(2)试讨论函数f(x)=(a0)在(一1,1)上的单调性.X 1(1)B(2)解 法一：设1vX1V X2V 1,x 1+ 11f(X)= aT =a1+ x1，a 2 1X1 1 X2 1，由于一1V X1V X2V 1,1 1f(X

7、I)f(X2)=a1+ x11 一 a 1+R所以 X2 X1>0, X1 1 V 0, X2 1V 0,故当 a>0 时,f(x1) f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数 f(x)在(1, 1)上递减; 当 aV0 时，f(x1) f(x2) V0,即 f(X1)V f (X2),函数 f()在(1, 1)上 递增.法二：f' (X)=axx 1 ax X 1x 1ax 1 ax3(2)y=- x2+ 2x+ 3的单调递增区间为 .(1)A(2)(-,- 1, 0,1l2IX a2 x 0【例2】(1)若函数f(x)=I的最小值为f(0),则实数a

8、的取值X + X + a x>0范围是()A. 1,2B . 1,0C. 1,2XD. 0,21函数f(x)= 3 lg2(x + 2)在区间1,1上的最大值为函数y=G-x(x 0)的最大值为.(1)D (2)3 (3)1方法总结求函数最值值域的常用方法及适用类型1单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值值域.2图象法：能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出 最值值域3基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两 个变量 如x，y的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件， 用基本不等式法求最值值域.4导数法：若fx

9、是三次、分式以及含ex, In x, Sin X ,cos X结构的函数且f' X 可求，可用导数法求函数的最值值域X2+ 8IRBE壕习函数f() = (X> 1)的最小值为.X 1a，a b，对于任意实数a，b，定义mina, b=设函数f(x)= x+ 3，g(x)b， a>b.=log2x ,则函数 h(x) = minf(x)，g(x)的最大值是.(1)8 (2)1函数单调性的应用屢型3I?考法1比较大小【例3】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x> 11时，f(X2) f(x1)(x2 x)V0恒成立，设 a= f 2 ,

10、 b = f(2), C= f(3),则 a, b,C的大小关系为()A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>CD?考法2解抽象不等式【例4】f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数，满足f(xy) = f(x) + f(y), f(3)=1,则不等式f(x)+ f(x 8) 2的解集为.(8, 9?考法3求参数的取值范围满足对任意x1 x2,都有rx：22 a X + 1, XV 1,【例5】已知f(x)= Xax, x 1>0成立，那么a的取值范围是()A. (1,2)B. 1,33C. 2， 2D. 2， 2C方

11、法总结函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利 用函数的单调性解决.2解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.3利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函 数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.矗岳圾刃已知函数f(x) = log(x2 ax + 3a)在1, +)内单调递减，则实数 a的取值范围是()B . 2, + )D. 2, 2A. ( , 2C. -2， 2D【真题链接】1. (2017全国卷U)函数f(x)= ln(x2 2x 8)的