中学数学圆锥曲线定值定点练习题含答案

1、解析几何之定值、定点问题解析几何中定值定点问题是高考命题中常见的一个考点，也是解析几何中的一个难点，在求解过程中往往会涉及大量的运算，圆锥曲线中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.难度较大.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的包成立、数式变换等寻找不受参数影响的量现就常见的题型做总结如

2、下：一、常考题型及方法总结1、常考题型(1)斜率(倾斜角)为定值(2)角度为定值(3)面积为定值(4)数量积为定值(5)线段长度为定值(6)直线方程定式(7)斜率乘积为定值(8)数量关系为定值(9)定点问题2、处理圆锥曲线中定值问题的方法(1)从特，殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3、处理圆锥曲线中定点问题的方法(1)探索直线过定点时，可设出,直线方程为ykxm,然后利用条件建立k,m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、例题精讲例1、已知椭圆C：2x2a(一)

3、斜率为定值y2.3J1(ab0)的离心率为，且过点A(2,1).若P,Q是椭圆C上的两个动点，且使/PAQb22的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.3解：万法一：因为椭圆C的离心率为,且过点A(2,1),所以ca2a1,32b22ab28匕，x2所以椭圆C的方程为28因为/PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称.设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为k.所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),直线AQ的方程为y-1=-k(x-2).y设点P(x1，yJQ(x2,y?),由x28k(x2上122)得(1

4、4k2)x2(16k28k)x16k216k因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x=2是方程的一个根，则2x1_2_16k16k42,所以14kXi一2一8k8k14k2同理x28k218k24k2所以x1X216k2,X14k2X2_216k414k2k(x1X24)8k214k2所以直线PQ的斜率kPQyy2xx21所以直线PQ的斜率为定值，该值为2方法二设直线PQ的方程为y=kx+b,点P(x1,y1),Q(x2,y2)则y1.,V1kx1b,y2kx2b,所以kPA一x11-,k2QAy21x22因为/PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称,所以kpAk

5、QA,即二y1X22化简得xy2x2y1(x1x2)2(y1y2)40所以2kxix2(b2k)(xx2)4bkx2y2b得(14k2)x28kbx4b2810则x1x28kb2，x1x214k4b214k2代入,得2k(4b28)14k28kb(b12k)小2-4b14k40整理得(2k1)(b2k1)1,或b122k可得方程的一个根为2,不符合题意.所以直线PQ的斜率为定值,、1该值为一2变式题1-1.过抛物线y22px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，BNyz),求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线证明：因为P

6、A与PB的斜率存在且倾斜角互补AB的斜率为非零常数.所以kPAkPB2,yi2y02pxi2PXo相减得，（yiyo）（yiy0)2p(xiX0)故KPAyiyoXiX02Pyiy。(XiXo)同理可得，KPBy2y0X2X02Py2y(X2Xo)yiy。上一所以y2yyiy22yo2,yi由2y22pXi2PX2相减得，（y2yi)(y2yi)2P(X2KABy2yiX2Xi2Pyiy2P2y0py0:直线AB的斜率为非零常数Py0（二）角度为定值例2、在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为（xi）2y24,P为圆C上一点.若存在一个定圆MM的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C

7、上运动时，使得APB恒为60°,求圆M的方程解：设定圆圆心Ma,b,半径为r,动点Px,y,由题意知MP2r,224r,由于点所以有P在圆C:(X-i)2+y2=4±,222ax2byab24r230对任意x,y都成立,所以ai,b0,r2i,所求圆方程为(x-i)2+y2=i.变式题2X2-i.已知双曲线C:a0,b0）的离心率m为v'3，右准线方程为.32.设直线l是圆O:X3y22上动点P(X0y0)(X0y00）处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明:AOB的大小为定值.e证明：由题意：o2aC3a厂解得:33i-2L所以b2.3c2a22所以双曲

8、线方程为：x2点P(x0y0)(x0y00)在圆O:x22上，圆在点P（Xoy。）处的切线l的方程为yy。X0/一(Xy0X0),X0Xy0y222_22,得(3x04)x4x0x82x0化简得x0xy0y2由v2及x02y02x2y-12因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0x022所以3x0240,且16x024(3x024)(82x02)0设A,B两点的坐标分别为x24x0-24山23x0482x。23x。24因为cosAOBOAOB|OA|OB|且OAOBx1x2y1y2x1x2x0x2)1“2x°xi)(2y。x/12x042x0(x1x?)2x0xx2_282x02

9、3x0412x048x0223x042,x0(823x02x02)4_282x023x04_2_2x08Z23x04所以AOB为定值90°.（三）面积为定值例3、设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2x-2a2y_b21(ab0）上的两点，已知向量mmn0且椭圆的离心率e短轴长为2,。为坐标原点.试问:AOB的面积是否为定值？如果是,请给予证明;如果不是，请说明理由.解：AOB的面积为定值，证明如下:证明：由题意知2b2e解得a2222abc1所以椭圆的方程为3.2(1)当直线AB斜率不存在时，即x1x2,y1y2,由mn0得x12-y02又江x1241所以|x1|,y11我2

10、11所以Saob11X111yly2|11x1121yl|1所以三角形AOB的面积为定值22(2)当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxb2kb»泾k4b24k24ykxb由y2得(k24)x22kbxb240所以x1x2x214由m50得x1x2"y10即x1x2出一b(丝一生0代入整理得：2b2k24441 lb|,-12.|b|,4k24b2164b2所以Saobo-|b|-|AB|-|b|.,(x1x2)24x1x22-b-62 1k22k42|b|所以三角形AOB的面积为定值1.变式题3-1.已知椭圆C:3+y2=1的右顶点为A,上顶点为B.设P为第三象限内一

11、点且在椭圆C上，直线PA与y轴交4于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.解：由题意知，A(2,0),B(0,1),设P(r,y0)(x0<0,y0<0),则x2+4y0=4,所以直线FA的方程为y=y0(x2),令x=0,彳导yM=-2y0,从而|BM|=1yM=1+2y0,x02x02x02直线FB的方程为y=y-x+1,令y=0,彳导xn=-x0,从而AN|=2xn=2+&一,x0y01y01所以四边形ABNM的面积112x012y0x2+4y0+4xoy0-4x08y0+42x0y。2x。4yo+4?S21AN|BM|2y01x022x0y

12、0x。一2y0+2x0y0x。一2y0+2，从而四边形ABNM的面积为定值.(四)数量积为定值例4.已知圆C:x2(y3)24,一条动直线l过点A(1,0)与圆C相交于P,Q两点，M是PQ的中点，l与直线m:x3y60相交于N,探索AMAN是否与直线l的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关,请说明理由解：因为cman所以AMAn(ACCM)AnACAn5当直线l与x轴垂直时，易知N(1,5)35、则AN(0,-),AC(13)所以AMANACAN5当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为：yk(x1)则由yk(x°得N(小，上)所以加(3,上)x3y603k13k13k13k153(5

13、k)所以AMANACAN()53k1综上所述：AMAN与直线l的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且AMAN5.变式题(五)线段长度为定值11例5.如图，在平面直角坐标系xoy中，点F(-,0)，直线l:x,点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的22交点，RQPF,PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQPF,，RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上，.-.|PQ|=|QF|,又|PQ|是点Q到直线l的距离，故

14、动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下：取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d|x0|x°,圆的半径r|MA|J(x01)2一不，则|TS|2,r2d22.y。22x°1,2因为点M在曲线C上，所以Xo坐一，所以|TS|2022xo12,是定值.2变式题5-1.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点，若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动。点A,B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。解：设圆心M(a,

15、b)(a0),点A(0,y1),B(0,y2).因为圆M过点P(2,0),可设圆M的方程为：(xa)2(yb)2(a2)2b2令x0,得y22by4a40所以yy2b,yy24a4所以|AB|,(y1y2)2.(Yiy2)24YiY24b216a1622设抛物线万程为：ymx(m0)因为圆心M在抛物线C上，则bma所以|AB|V4ma16a16J4a(m4)16由此可得，当m4时，|AB|4为定值.故存在一条抛物线y24x,使|AB|为定值4.2_5-2.在平面直角坐标系XOY中，已知椭圆y21的左、右焦点分别为F与F,圆F：(x43)2y25.若P4为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的

16、圆P与圆F的公共弦为QT,证明：点F到直线QT的距离FH为定值.解：(1)f'(点,0),F(m3)(m3)n2由，得m枭年.m(333回*-5)设点P(X0,y0),则圆P的方程为(xX0)2(yy0)22X02y0.点,0),设M(m,n),由MFmF1,得1即m2n24.又(m“2n25.即X2y22X0X2y0y0.又圆F的方程为(x用)由，得直线QT的方程为(X0.3)xy0y10.所以2Vo23x03因为P(x0,y。)在椭圆上，所以2V。1,即y。212X0所以FHX02(1X；)273X033X0-273X045-3.(2019沈阳模拟)已知椭圆C:|73x04(23X

17、02)22.=1(a>b>0)的焦点为F1，F2,离心率为。点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为O为坐标原点.求椭圆C的方程;一，_一一，、，-1、一，、，.，、，.(2)若点M,N为C上的两个动点，求常数m,使OMON=m时，点O到直线MN的距离为te值，求这个te值.c2=a2b2,则有bc=收c1a=2解(1)当点P位于短轴的端点时，PF1F2的面积最大，即2><2cxb=V3,a=22v2解得b般所以椭圆C的方程为j+1=1.(2)设M(X1,y1),N(X2,y2),则X1X2+y1y2=m,当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+n,则点O

18、到直线MN的距离d=InL=4k2+13X2+4y2=12,rCCc,cc联立消去y,得(4k2+3)x2+8knX+4n212=0,由A>0得4k2n2+3>0,y=kx+n,则X1+X2=8kn4k2+34n2-12，X1X2=4k2+3'所以X1X2+(kX+n)(kX2+n)=(k2+1)X1X2+kn(X1+X2)+n2=m,整理得7n2k2+1m4k2+3j十TT因为d=/2,彳为常数,则m=0,d=,k2+1军二等1,此时*；=12满足A>0.3x2+4y2=12,12MMN_Lx轴时，由m=0得koM=+联立消去y,得x2=,y=女，7点O到直线MN的

19、距离d=冈=当心亦成立.综上可知，当m=0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是零1（六）直线方程为定式例6、已知椭圆C的离心率e,长轴的左右端点分别为2A(2,0),£(2,0),直线Xmy1与椭圆C交于P,Q两点，直线A1P与A2Q交于点S,试问：当m变化时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解：设椭圆C的方程为:2营1(ab0),P(xi,yi),Q(X2)y2)所以椭圆2X由7X则y1,3,b2,32a2c2C的方程为:myi/日得:i2my2my2,yy23-"27m4直线A1P方程为:yiXi-(x22）,

20、直线A2Q方程为:X2气(x2)yi/;(xx122)y2.;(xx22得A(x2)Xi22)口(x2)2y2(xi2)yi(x22)y2(myi3)yi(my2y2(X12)yi(X22)y2(my13)yi(my21)2myiy23y2yi3y2yic32m2m243(m3(m2m42m；4yi)yi一4yi)yi所以当m变化时，点S恒在定直线x4上（七）斜率乘积为定值2X2例7.在平面直角坐标系XOy中，如图，已知椭圆C:-y1的上、下顶点分别为A,B,点P错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在椭圆C上且异于点A,B错误!未找到引用源。,设直线AP,BP的斜率分别为ki,k2.错误！

21、未找到引用源。求证：kik2错误!未找到引用源。为定值;2证明：由题设y21可知,4点A(0,1),B(0,1).令P（Xo，Yo）,则由题设可知所以，直线AP的斜率k1Xoo.yo1PB的斜率为k2yoXoXo2又点P在椭圆上，所以x-42yo（xowo）,从而有k1k2yo1yo1XoXoyo212-X。变式题7-1.（2。19昆明调研）已知椭圆个x2y2C：1+b2=1（a>b>o）的焦距为4,P2,修是椭圆C上的点.求椭圆C的方程;（2）0为坐标原点，A,B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设的斜率的乘积为定值.0D=OA+OB,证明：直线AB的斜率与ODx2y2解：（1）

22、由题息知2c=4,即c=2,则椭圆C的万程为/+a2yz74=1,因为点P2,早在椭圆C上,所以*5=1,解得a2=5或a2节（舍去），所以椭圆c的方程为9yJ(2)证明：设A(X1,y1)，B(X2,y2),xwx2且x1+o,由OA+OB=OD,得D(X+x2,y1+y2),所以直线AB的斜率kAB=y1Zy2,直线OD的斜率kOD=y1±2,X1X2X1+X2X22g+yj,由v2-+y2=1,5y1+y2y1y21X1+X2)(X1X2)+(y1+y2)(y1y2)=o，即X1+X2X1X25,1.1所以kABk0D=-5.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值5.227-

23、2.已知椭圆C的方程为：高J1（ababo）,过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点，M为椭圆上异于P,Q的任一'点。求证：kMPkMQ为定值。证明：设P(x1,y1),M(x0,y0)则Q(Xi,y1)所以kMPkMQYoYiYoYiXoXiXoXi22YoYi22XoXi2Xi-2由a2Xo-2a2Y12Yo2得gXo2Yi-2Xib22所以kMPkMQab2-2a为定值(八)数量关系为定值例8.已知椭圆22xyC:22ab1(a.3_b0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),2OAB的面积为1.设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点,直线PB与x轴交于点N.求证：

24、|AN|BM|为定值.证明：由已知设椭圆上一点a1-ab22a,32b221椭圆方程为3y21所以A(2,0),B(0,1)P(x0,y0)则2Xo2.Yo1当Xo0时，直线PA的方程为yyoXo2(x2),令x0得yM一Xo也.从而)2|BM|1yM|12yoXo21.直线PB的方程为Yo1xXo令yo得XnXoyo-.所以|AN|1|2xn|2xoyo所以|AN|BM|2xoyo|122Y0|迎xo211,24Yo4xoYo4xoXoYoXo2Yo8yo24|4x°yo4xo8Y0_8|4xoyoxo2yo2当Xo0时，Yo1,|BM|2,|AN|2所以|AN|BM|4综上所述：

25、|AN|BM|4为定值变式题8-1.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点，OAOB与a(3,1)共线。(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(,R),证明:22为定值(1)解：设椭圆方程为22与41(ab0),F(c,0)ab22则直线AB的方程为yxc,代入x241,化简得abz2,2、2222,2-(ab)x2acxacab0.令A(X1,yi)，B(X2,y2)，则XiX22a2c-2,X1X2ab222.2acab2.2ab由OAOB(x1x2,y1y2),a(3,1),OAOB与a共线，得3(y1y2)(

26、%X2)0,又X1c,y2X2c,3(X1X22c)(X1X2)0,X1X2即2a2ca2b222a3b.b23一c.2.6a)3故离心率e(2)证明：(1)知a22yy1可化为X23y2b3b2.设OM(X,y),由已知得(X,y)(X1,y1)(X2,y?),X1X2,X1x2.M(X,y)在椭圆上，(X1X2)23(2_2y1y2)3b.即2(X123y2)22(X23y2)2(x1X23yly2)3b2.由(1)知X1X23c22,a,b2222.2acabX1X22TT-abX1X23yly2X1X23(X1c)(X2c)24X1X23(X1X2)c3c3c29c23c2=0.223

27、b2,代入得221.22222又x13yl3b,x23y2故22为定值，定值为1,118-2.过抛物线m：yax2(a>0)的焦点F作直线l交抛物线于P,Q两点，试探究的值是否为定值?PFQF21解：抛物线m：yax(a>0)的焦点F(0,)4a设直线l的方程为:kx一，P(Xi，Yi),Q(X2，Y2)4akx14a得:2axkx所以X12ax4aX214a*2又由抛物线定义得:PFy14akx11,QFy22a1所以PF1QF1y2akx2112ak(x1x2)2kkXiXz(Xi2ak21所以PF1QFkx24a1ax2)4a2ak24a24aa2a14a24a为定值8-3.

28、设O为坐标原点，动点MM作x轴的垂线，垂足为N,点P满足NP(1)求点P的轨迹E的方程;(2)过F(1,0)的直线11与点P的轨迹交于A,B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C,D两点,求证:京十|CD|为定值y),一、一一，解：(1)设P(x,y),易知N(x,0),NP=(0,又而立=爰市=0,右，.Mx，古，x2v2即x+y，.982-y,|CD|=6,1又点M在椭圆上，x+A=1,941117+=一|AB|CD|48.点P的轨迹E的方程为9+y8=1.16(2)证明：当直线1i与x轴重合时，|AB|=6,|CD|=K，3当直线1i与x轴垂直时，|AB|=1631

29、71RD，A=-18k22-48+9k29k2-72>0,18k2一gX1+X2=-2-2,可得8+9k29k272.=4814k2|AB|=+kX1+X22-4x1X2=/“2,8I9kX1X2=F，同理可得X3+X4=8k2+9，9-72k2X1X2=8k2+9.则1cD|=1+j127X3+X42-4x3X4=4；芸.11_8+9k29+8k217而CDj48k2+148k2+148.综上可得14|AB|CD|为定值.28-4.(2018全国卷I)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与X轴垂直时，求直线AM的方程；(2)

30、设O为坐标原点，证明：/OMA=ZOMB.解(1)由已知得F(1,0),直线l的方程为x=1.则点A的坐标为1,乎或1,乎.又M(2,0),所以直线AM的方程为y=乎x+&或y=2xJ2,即x+伪一2=0或X婿y2=0.(2)证明：当l与X轴重合时，/OMA=/OMB=0°.当l与X轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/OMA=/OMB.当l与X轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x1)(kw0),A(xi,y1)，B(X2,y2),一一V1V2则X1<V2,X2<V2，直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=己+七,2kx1X23kxi+x2+4k田y=

31、kx1k,y2=kx2k,得kMA+kMB=xi2X22将y=k(x-1)代入-2+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k22=0,所以X1+X2=4k22k2+1'2k2-2X1X2=2k277.则2kx1X23k(X1+X2)+4k=4k34k12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.所以/OMA=/OMB.综上，/OMA=/OMB成立.小结:圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.(九

32、)定点问题2X例9.已知椭圆C:x2+a3=1(a>b>0)的右焦点F(5，0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线过定点，并求出该定点的坐标.解(1)由题意得，c=3,；=2，a2=b2+c2,a=2,b=1,椭圆C的标准方程为：+y2=1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m(mw1),M(X1,y1)，N(x2,y2).y=kx+m,由x2消去y可得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=O.4m24x1x2=源可7.了+y2=1,_c8kmA=16(4k2+1m2)>o,x+x2=4k2+1，点B在以线段MN为直径的圆上，BM.BN=O.BMBN