中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

1、专题17一线三等角模型破解策略在直线AB上有一点P,以AB,P为顶点的/1,/2,/3相等，Z1,Z2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，Z3两边所在的直线分别交/1,/2非公共边所在的直线于点C,D.1.当点P在线段AB上，且/3两边在AB同侧时.(1)如图，若/1为直角，则有ACPoBPD.(2)如图，若/1为锐角，则有ACHBPD.证明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB/1=/2,.AC团BPD(3)如图，若/1为钝角，则有ACmBPD.2.当点P在AB或BA的延长线上，且/3两边在AB同侧时.如图，

2、则有ACPABPD.证明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB./1=/2=/PBDACHBPD3.当点P在AB或BA的延长线上，且/3两边在AB异侧时.如图，则有ACPABPD.C证明：/c=Z1-ZCPB/BPD=Z3-ZCPB而/1=Z3.ZC=/BPD./1=Z2,PAC=/DBPACPBP3.例题讲解例1:已知：/EDF勺顶点D在ABC勺边AB所在直线上(不与点A,B重合).DE交AC所在直线于点MDF交BC所在直线于点N.记ADM勺面积为S,BND勺面积为(1)如图1,当ABB等边三角形，/EDF=/A时

3、，若AB=6,AD-4,求SG的值；(2)当ABC是等腰三角形时，设/B=/A=/EDF=a.如图2,当点D在线段AB上运动时，设AD-a,BD-b,求SS2的表达式(结果用a,b和a的三角函数表不).如图3,当点D在BA的延长线,上运动时，设AD-a,BD-b,直接写出SS的表达式.EACF图1图2图3解：(1)如图4,分别过点MN作AB的垂线，垂足分别为G,H.则S&=1MGAD-NHBD-工ADAMsinABD224BNsinB.由题意可知/A=/B=60o,所以sinA=sinB=由“一线三等角模型”可知AM。BDNAMBDADBN,从而AMBN=ADB48,/.S&=

4、12.(2)如图5,分别过点MN作AB的垂线，垂足分别为GH.CAFB则SS2=-MGAD-NHBD=-ADAMsinABDBNsinB.224由“一线三等角模型”可得AM。BDN所以幽”从而amBN=ADBD=ab,BDBN1所以SS2=-a2b2sin2a；4如图6,分别过点MN作AB的垂线，垂足分别为GH.则S19=-MGAD-NHBD=-ADAMsinABDBNsinB.224由“一线三等角模型”可得AM。BDN所以AMAD从而amBN=ADBD=ab,BDBN1所以S1S2=-a2b2sin2a;4例2：如图，在等腰三角形ABC43,/BAC120,AB=AC=2,点D是BC边上的一

5、个动点(不与BC重合)，在AC上取一点E,使/ADE=30°.(1)设BD=x,AEE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(2)当AD豆等腰三角形时，求AE的长.解（1）ABC1等腰三角形，且/BAC=120°,./ABD=/ACB=30, .ZABD=/ADE=30,./ADC=O/ADEF/EDC=ZABD-/DAB .ZEDG=/DAB .ABDhDCE .AB=AC=2,/BAC=120,过A作AFLBC于F, ./AFB=90°,.AB=2,/ABF=30,1AF=AB=1,2BF=#3,.BC=2BF=23,贝UDC=2事x,EC=2

6、-y.ABDhDCEABDC一,BDCE.223x.-,x2y化简彳导:yx273x20x2曲.2(2)当AD=DE时，如图2,AB四DCE贝UAB=CD即2=2.3x,x=2732,代入y-x2v3x22解得：y=42点,即AE=42J§,当AE=ED时，如图，/EAD=/EDA=30°,/AED=120°,所以/DEC=60,/EDC=90则ED=1EG即y=1(2-y)22-2rr2解得y=-,即AE=-；33当AD=AE时，有/AED-/EDA=30,/EAD=120°此时点D和点B重合，与题目不符，此广情况不存在.2所以当是ADE?腰三角形时，

7、AE=42J3或AE=-3进阶训练1.如图，在ABC,AB=AC点E在BC边上移动（不与点B,C重台）.满足/DE鼻/B,且点DF.分别在边ABAC上.当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分/DF11.略【提示】由题意可得/B=/DEF=ZC.由“一线三等角模型”可得BD摩CEF可得且旦=匹.而BE=CE-CFEF所以CE=匹，从而DEWECF所以/DEF=/EFC即FE平分/DCCFEF2.如图，在等边ABC中，点D,E分别在ABBC边上，AD=2BE=6.将DE绕点E顺时针旋转60。，得到EF.取EF的中点G,连结AG延长CF交AG于点H.若2AH=5HG求BD的长.2.BD=9.【提示】如图，过点F作FI/AC交BC于点I.则/FIE=/ACB=/ABD.易证DB2AEIF,则IF=BE,IE=BD所以BOBE=AD即IC=BE=IF,则/ACH=ZBCH=30,延长CH变AB于点J