中南大学版固体物理学习题及答案详解

1、第一章晶体结构1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。 当晶格点阵中

2、的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。 晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵+基元=实际晶体结构3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪

3、类？（a）“面心+体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心+体心”立方；（d）面心四方解：（a）“面心+体心”立方不是布喇菲格子。从“面心+体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（b）“边心”立方不是布喇菲格子。从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。

4、虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（c）边心+体心”立方不是布喇菲格子。从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（d）“面心四方”从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点

5、子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：（a）（b）从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组

6、成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为a ai、a a2、a a3,根据倒格子基矢的定义:6个；从边心任一点来看,12个。显然这三种点所处由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示:4&S2a a3a ai*& &z z2ai-a22ai-a2上&*式中&是晶格原胞的体积，即&=&=a ai aa2.a.a3 , ,由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的

7、倒格矢有一一对应的关系。7.为什么说晶面指数（hih2h3）和Miller指数（hkl）都能反映一个平行晶面族的方向？解：晶面指数（hih2h3）是以固体物理学原胞的基矢a ai、a a2、a a3为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（hkl）是以结晶学原胞的基矢a a、b b、c c为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。8.试画出体心立方、面心立方的（100）,（110）和（111）面上的格点分布。解：体心立方（100）,（110）和（111）面上的

8、格点分布为：体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面面心立方（100）,（110）和（111）面上的格点分布为：面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面9.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。b1:b b2=b b3=2,a a

9、2a a3-而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。则简立方的致密度(即球可能占据的最大体积与总体积之比)为:4一1三R3_3一3a(2)在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a=4R庶,则体心立方的致密度为:a3(4R/3)38则面心立方的致密度为:晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化葩型结构8简立方6金刚石型结构41.1所示:11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与

10、总体积之比为10.各类晶体的配位数(最近邻原子数)是多少?解：7种典型的晶体结构的配位数如下表(1)简单立方3-；(3)面心立方0L(4)六角密积(5)金刚石,316解：(1)在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a=2R,3j(2R)36(3)在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a=24R,c=(26r3)a=(46侬R,则六角密积的致密度为:46-R33、.3a则金刚石的致密度为:4R3.S-(8/-3)R31612.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：a a2:gjkjk)*a*a3=.(ijkijk)

11、根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为:由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。13.对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为a.a ai=(4)在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a=2R,(5)在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a、3(2R)a=2(ijij),3Tajv3一aj j2&2一aa2=oi_+2a a3=ck=ck试求倒格子基矢。解：根据倒格子基矢的定义可知:2i iac.22j j222=a(%+

12、3j j)，10&m,c=810加m,基矢间夹角=90。，=90-=120L试求:(1)倒格子基矢的大小；(2)正、倒格子原胞的体积；(3)正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：a a2=b(；La a1=aia a3=ck kb b1=2a a2-a-a3a a1 1a a2a a3(i iaj j)(ck k)如丁TT(Bajaj)二(i iajaj)(ck k)jacj jac.212j於2ac22-a2(i+用用j j)b b2=2a a3-a-aia aia a2.a.a3X.7X.7+ +a72a72.(.(X.7X.7可-3-2-3-2

13、可. .13321332勘3333ckcka ai-a-a2二a2a二2a3232； 32(i-aj)(4a飞3.2aj j)二(i ia322a32aj j)aj j)(ck k)14.一晶体原胞基矢大小(2)正格子原胞的体积为:& &=a=a1 aa2a a3=(ai i)出338 8i i2jj j),(ck k)=abc=1.6628,10&m3倒格子原胞的体积为:(k k)1=1.49181030m3c入3abc由此可知:b bi=2a a2,a,a3_2a a1a a2-a-a34abc2所以b b3=2a a3a a1_2a)a)a a2a a3a a-

14、-a a2_2a)a)a a2a a3b bib b2b b3acj j23.abc2.3ab2,3habc243a=1.81381Oiomi4.3).3)=1.20921Oiom1二0.78541Oiomi1632&8=&8=b b1份b b2b b3=(i i+ +22=1.4412101om15.如图1.36所示，试求：(1)晶列ED,FD和晶面AGK,FGIH根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为:K KI12blbl1b b2-0b b3OF的晶列指数；和MNLK的密勒指数;). .4,i i(Q(3)画出晶面(120),(T31)解

15、：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列为E0,晶列OF的晶列指数为011。（2）根据晶面密勒指数的定义图 1.36ED的晶列指数为111,晶列FD的晶歹指数晶面AGK在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1,-1和1,则其倒数之比为111-、口-:：=1:1:1,故该晶面的密勒指数为（111111)晶面FGIH在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,8 和1,则其倒数之比为111:：-2：0：1,故该晶面的密勒指数为（201）。1/2%晶面MNLK在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,-1和则其倒数之比为111八：八一一,:=2:1:0,故该晶面的密勒指数为（1/21210)（3）晶面（

16、.20）,（131）分别如下图中晶面AMLk和晶面ABCW：A16.矢量a a, ,b b, ,c c构成简单正交系。证明晶面族(hkl)的面间距为dhkl=解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为:4a4a3=ck k由此可求得其倒格子基矢为：(bci i)=)=i iabcb号2a ai-a-a222123根据倒格子矢量的性质有：22dhkl=K Khklhb bikb b2lb b3二2二122一hkhi+k+i+k+lk khkabclabc(1)此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？(2)该晶体的倒格子基矢；(3)密勒指数为(121)晶面族的面间距；(4)原子最密集的晶

17、面族的密勒指数是多少？(5)111与111晶列之间的夹角余弦为多少？解：(1)由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子(2)由倒格子基矢的定义可知：17.设有一简单格子，它的基矢分别为a a3=1.5(i+ji+j+ +k k)o试求:213.52saaaa力皈(ikik)(jkjk)(3)根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为(121)晶面族的面间距为-.()2()2()2a a2= =bjbj22快a a322小b b1=a/a/2a aabca2a a3.a.ai2,.、2+b+b2=(acj)=a aa ai aa2.a.a3b b3=a=a二a-aa-a=abc(abk k

18、)=ck k2(.()吊2aa血aa a帝a a13.52&a a3，a ai型人4.5(j8kj8k)*b*bi*b*b24b4b3=a=a二a-aa-a=13.5=1.5k k22。21=j；-K K121-陇b bi+2b b2叫3_2_3_拱2(i i+2j jd d5k k回103(4)由于面密度=：d,其中d是面间距，是体密度。对布喇菲格子，等于常(hlh2h3),则该晶面族的面间距dhih2h3应为最大值，所以有22hih2h3hib bi-h2b b2,h3b b3|数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为dInh2h3二2h1i ih2j j-(2h3-H作)

19、k k3max|hih2j(2h3hi-h2)k|由此可知，对面指数为(i00)、(0i0)(i0i)、(0ii)和(iii)有最大面间距73/2,因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。(5)iii与iii晶列之间的夹角余弦为=arccosR Riii R RiiiR Riii电R Riii-|(a ai-a-a2-a-a3)二(a a1aa21a a3)a aia a2-a-a3二a aia a2a a3=arccos(4.5+4.+1.5k k)(1.5+1.5N.水)4.5+4勺+i.5k k申1.5+i.gdi.水|=48.5318.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的

20、最近距离d=2.45xio-iom。试求:(1)晶格常数;(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢;(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距;(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：3d=a10 Ga 原子口一 As 原子故a=土d=2.4510部m=5.59，10和m,3,3由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：.f10(jkjk)*a

21、*ai=2(jkjk)=2.79510(j j): :a a2=k ki i)=2.79510付(kiki)a a3=a(ijij)=2.795101。(ijij)。2其倒格子基矢为：“2104b b=0(-ijk-ijk)=1.12410(-ijkijk): :b b2=一(ijkijk)=1.1241010(ijkijk)*a2北=(ijij- -kk)=1.1241010(ijijk k)合*3a(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：22八八一di10=：=2.79510加mK K1101 1 b+b+1b+b+0b b3根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111晶面法

22、同方向间的夹角即为倒格子矢K K110和K K111之间的夹角，设为，则有:(1二b b11二b b2_0二b b3),(1二b b1,1zb b21二b b3)1 b b1+1 b b2+0Rb b31 b b18 81 1 b b卜+1 b b3=arccos(0.3015)=107.5519.如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a,试求：(1)正格子基矢和倒格子基矢；(2)画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使a a1的方向和i i的方向相同，于是有:3a那么有:11K K110 K K111=arcco

23、s根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示:2Tt/a上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为:b b221r=23a20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条件。由此可知，其几何结构因子为13j j)解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为000,0,221A22SR:i2；n(hUj.kVjIwj)=fe=f1.en(h.k).e-n(hi.).&-n(ki.)2号号b bi=2二a a二(a.ka.k)，a(i?=i?=k ka ai42:二2二=j jkaka2.*J由于h、k、l和n都为

24、整数，所以上式中的正弦项为0。于是有Fhki=.fje22Fhkl二fFhk2一1211cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl)1Sinni(hk)sinn(hl)sinn(kl)1=f21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl).i2,-n(huj-kvjlwj)=-fje丫,iin(h-k_:l-)=f1e2;1efcosn(hl)-cosn(kl)ISinn(hk)sinn(hl)sinn(k2l)1由于h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl)1由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同

25、为奇数或偶数时或者当Ji=f1e2-eih(h-k)-ei-h(hl)-ein(k卜)in(3h3kl)e2in(3h-k3l)e2d/i刊h:3k-3l)e2二|Fhkl|二f1.cos2n(hkl)二sinn(h.k：l)二？1cosn(hk)Fhkl由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数或偶数时，此时2=0,即出现衍射相消。(2)在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为111由此可知，其几何结构因子为Fhkl=-fjei|SR-i2,n(huj-kvjlwj)=-fjeFhkl由于h、k、Fhkl=f=f1Ien(h-kl-)2111cosn(hkl)

26、I2sinn(h-kl)12和n都为整数，所以上式中的正弦项为=f21cosn(hkl)1由此可知，当n(h+k+l)为奇数时，此时有(3)在金刚石结构的原胞中含有8个原子,Fhkl其坐标为0。于是有即出现衍射相消。000,由此可知,44422其几何结构因子为0,Fhkl二fjein(hk)-ei-n(h卜)ein(kl-)Fhkl-f2%-cos2n(hkl13nh、nk和nl全为偶数，且n(h+k+l)=4(2m+1)(其中m为整数)时，有有Fhki即出现衍射相消。21.用铝靶K KX射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9。，已知NaCl晶胞+一中Na与Cl的距离为2.8

27、2X10-10m,晶体密度为2.16g/cm3。求：(1)X射线的波长；(2)阿伏加德罗常数。解：(1)由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数a=2.2.82.10抑=5.64.10加m,又应为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为(111),而又易求得此晶面族的面间距为adm二,1115.64-1010=3.261010m/3又根据布拉格定律可知:_=2dmsin=23.261010sin5.9。=6.702109m(2)由题意有以下式子成立S3N.二-=MNaCl44MNaCl-0(5.64104。)58；16106=6.038102314

28、第二章晶体的结合1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O,F,N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/molo2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合

29、能”，对吗？解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N个原子在自由时的总能量之差，即Eb=EN8E。（其中Eb为结合能，EN为组成这晶体的N个原子在自由时的总能量，E0为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f（r）0,而相互作用势能u（r）也开始急剧增大。4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进

30、行机械加工并且导电、导热性良好？解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。V0,原子之间总的相互作用能为U0,如果原子间相互作用能由下式给出:试证明弹性卞K量可由U01mM90）2合出。解：根据弹性模量的定义可知:dPdd2JV，一dU,一上式中利用了P=3的关系式5.有一晶体，在平衡时的体积为1)dV设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成U=Nu(r);N2rr又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即2)V=Nv=Nr33)上式中

31、为与晶体结构有关的因子(如面心立方结构,又因为(dU)=3N；dU2(dr)R02rr3Nr4)(皿2)Vo=dVdr*3N-r考虑平衡条件严2)Vo9V2n2ron3m3ncOrom5)dU(dVr0r0n2%n二N7m2X/2148011.若NaCl晶体的马德隆常数M=1.75,晶格常数a=5.64A,募指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：(1)离子间距增加多少？(2)负压强的理论值是多大？解：(1)设该NaCl晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为N二-丽nBU(r)=,(1)2初”。r上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。设X为2个原子间的最短距离，则有xii=ajX,那

32、么(2)式可化为其中(3)式中U(X)=Nu01126AX)酗XG3)A-1:2.(1!12(1/+”)H2.00048,B=2111y=2.2.(1T63-)H4.07809aj那么每个原子的平均晶格能为U：i121602200048(F)-4.07809().31u。(3)根据压缩系数的定义可知1dVVdP111(4)70u01又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为r0,则有0=a。2由平衡条件可知N_Mq?nB,2ijn：1-r：=0,24八0rrr40由（2）式可得：8=8二008。4%n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有d2U(r)NT2M

33、q2n(n+1)B/-77;-3:3毛=0dr2心22卜 aJX2n-2x2n+1在最近邻近似和简谐近似下，第2nX2n图和第x2n+1x2n+2x2n+33.3(2n+1)个原子的运动方程为dd2X2n号mdt22:珍2(x2n1x2n)：一21(乂2n:寿n-1)1)令=02,从A,B有非零解的系数行列式等于零的条件可得m(11I02dI2)25104(10eiqa/2+e赍/2)(e3/2+10e勘/2)=0,(5)由(5)式可解出=0(21二,18=W0为求格波解，令dd2x2n*mdt2*2=10-1(x2n1:,X2n):匚1(Rn:,Rn-1)轨岫汽冷2编）。印X）*dt2之i(

34、2n*x2n=Ae*i（2n1）j2xn1-Be将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为第112iqa/2*(m8)A8m(10e6iqa/2)B=0号一一(eiqa/210e晶/2)AY-2)B=0,mm2)3)12.如有一维布喇菲格子，第2n个原子与第2n+1个原子之间的力常数为；而第2n个原子与第2n81个原子的力常数为o（1）写出这个格子振动的动力学方程；（2）说明这种情况也有声学波和光学波；（3）求q=0时，声学波和光学波的频率；d（4）求q=（a为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第2n和第2n.1个原子

35、的动力学方程为二(.n1:Xn)二，(.n”n-1)（2）为求出方程组（1）的格波解，可令手X2n=Ae(2n)qa：t于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为X2n1i(2n1)qa=Be-_iqa2)A：(e；(mee)A(mmY)B=0mm)B=0mR,由（4）式可解出=122从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可(|1424-21222cos2qa)-02=02二14、24-21222cos2qa由此可知，的取值也有1十和18之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当q=0时，cos2qa=1,有02J(12-|22),光学波频率=02,(12,22)（4）同样由（5）

36、式可知-d-当q二二2a时,cos2qa=a，有声学波频率光学波频率1+=122213.在一维双原子链中，如M/m11）求证：1,1qa)2o（2）画出与q的关系图（设=10)。dd2X2n*mdt22、L,._c)2-4二sin2qa=0可解出得（5）式中有那么（5）式可简化为当（4）式中取“+”号时，有解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n十1个原子的运动方程为号M42XL=YX-Xn222Xn1)*dt2（1）为解方程组（1）可令由X2n=Aei(2n)qa.ti(2n1)X2n1=Beqa.t2)将(2)式代入(1)式可得出22)A(22f*(2cosqa)B=0(m-m2

37、|2)B=0cosqaA(M从A、B有非零解，方程组（M3）的系数行列式等于零的条件出发，可得当（4）式中取“一”2=(号时,)(Vqa(Mm)1mM(I/-sinqa)2114Mm2(Mm)2.(Mm)HMHMmMm4Mm)sin2qaH(Mm24Mmsin2qa=4nt一一”sin2qa：1M4mM/sinqa)21一t3(11zmM2sjn2qa)AMsinqam三-sinqaM(Mm)Mm14MmMmE0,有f(E)=0,而当0E6EF,有f(E)=1,故(6)式可简化为:N(E)dE0由此可得：EF0=N小2，（7）8mL2（3）在T=0K时，晶体电子的平均能量为:_dE0=N-0Ef(E)(E)dEEF0-12LImdEN0E二J