万有引力与航天教案

1、第3讲万有引力与航天一、万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量mi和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.2.表达式：FGmim2=2r2G为引力常量,G=6.67X1011Nm2/kg23.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于血体本身的大小时，物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.二、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度.推导过程为：由mg=mv2/R=GMm/R2得:v=GM=的R=7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造地球

2、卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,也是人造地球卫星的最小发射速度.2 .第二宇宙速度(脱离速度):球引力束缚的最小发射速度.3 .第三宇宙速度(逃逸速度):V2=11.2km/s,使物体挣脱地v3=167km/s,使物体挣脱由2.相对论时空观(1)在狭义相对论中,而增大的,用公式表示为(2)在狭义相对论中,阻引力束缚的最小发射速度.三、经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态也改变的.(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的.物体的质量是随物体运动

3、速度的增大m0一.同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的.1 .关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（）A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C.它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D.它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度解析：根据v=yGM,在所有绕地球做匀速圆周运动的卫星中，靠近地面运行的卫星，轨道半径最小，所以环绕速度最大，即第一宇宙速度是最大环绕速度，同时也是把一个物体发射成为卫星所必须具有的最小发射速度，所以选项A错误，选项B、C正确；当卫星在椭圆轨道上运动时，在近地点时，它的速度最大但与第一宇宙速度无直

4、接关系，选项D错误.答案：BC2 .关于同步卫星（它相对于地面静止不动），下列说法中正确的是（）A.它一定在赤道上空8 .同步卫星的高度、周期是一个确定的值C.所有的同步卫星具有相同的速度和加速度D.它运行的线速度一定介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间解析：同步卫星相对地面静止，因此它一定在赤道上空，它的周期是一定的，因此其高度也确定，选项A、B正确；速度和加速度是矢量，所有的同步卫星运行的速率相等，但速度的方向不相同，加速度的方向各不相同，因此选项C、D错误.答案：AB3. （2012山东理综卷）2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”成后“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会

5、对接.任务完经变轨升到更高的轨道,交会对接.变轨前和变轨完成后“天宫为圆轨道，对应的轨道半径分别为等待与“神舟九号”的运行轨道均可视Ri、R2,线速度大小分别为V1、V2.则£等于（A.RiR3R1R2B.C.解析：“天宫cR2d.R；号”运行时所需的向心力由万有引力提供,根据GMRr甯，所以仅2=曾得线速度V=R2,故选项BR1正确，选项A、C、D错误.答案：B4. 2012年6月24日，天宫神九组合体在轨飞行六天后短暂分离，弁于12时成功实施首次手控对接，意味着中国完整掌握空间交会技术，具备了建设空间站的基本能力.号”与“天宫一号”对接前所处的轨道如图甲所示，图乙是它们在轨道上即

6、将对接时的模拟图.当它们处于图甲所示的轨道运行时，下列假如“神舟九说法正确的是（号”号”A.的大B.的小C.D.“神舟九号“神舟九号”“神舟九号“神舟九号的加速度比“天宫一的运行速度比“天宫一的运行周期比“天宫一号”适度加速后有可能与“天宫的长,口»万实现对乙解析：由万有引力提供向心力可知加速度a=GT,对比轨道半径关系可知“神舟九号”的加速度比“天宫一号”的大，选项A正确；由运行速度v=岸M可知，“神舟九号”的运行速423度比“天宫一号”的大，选项B错误；由运行周期”、号可vGMI知，“神舟九号”的运行周期比“天宫一号”的小，选项C错误；“神舟九号”适度加速后做离心运动有可能追上“

7、天宫一号”实现对接，选项D正确.答案：AD5. 地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,万有引力常量为G,则由此估算地球的平均密度为（）a3a-4tRGB-4ttR2GC-RG解析：在地球表面有：GMgumg,所以地球白质量为“言,又因地球的体积：v=3#3,所以地球的密度P=V=4l鼠答案：A万有引力定律的理解及应用（2012课标全国卷）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质()B-1+RD.己2量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A/dA.1RC2C.R解析：设地球的密度为p,地球的质量为M,根据万有引力定律可知，地球表面的

8、重力加速度9=翟.地球质量可表示为M=4求3a因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以340,一矿井下以(Rd)为半径的地球的质量为M'=鼻兀Rd)3p,解得3GM皿2,则Rd2g'=gR-dc.、M'=d3M,则矿井底部处的重力加速度g'=R矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为11,选项A正确；选项B、D、D错误.R答案：A星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法(1)设天体表面的重力加速度为g,天体半径为R,则mg=Mm口口GM2G铲，即g="RT(或GM=gR2)(2)若物体距星体表面高度为h,Mm则重力mg=GR+h2即9

9、一=R+h2R+h211:近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为Ti和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为91、§2,则()At噫=解析:T14/3bm=T24/3T2g2T112Dg1,2T2DT1上GMm4艰左r3T2工一口由T=m7r知：n=T,又卫星所在处重力提供向心力mg=m22r,可得：金=齐/3,故B正确.答案：B天体质量、密度的估算（2012福建卷）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物)mv4B-GNNv4'GmN=mg由得g=N，代入得

10、:4代入得M=G|,故A、答案：BC、2mv2ND三项均错误，B项正确.体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的质量为mv2A-GNC.Gm解析：设卫星的质量为m'由万有引力提供向心力,Mmr2=mrv2m，R=m，g由已知条件：m的重力为天体质量和密度的估算g和天体的半径R(1)利用天体表面的重力加速度由GMmmg,得M=RGg,M_M3g产V=4T3=4RG-3卡（2）利用天体的卫星，已知卫星的周期T（或线速度v）和卫星的轨道半径r珏一Mmv2强建工G产=mr=mr12,4Er3GT7则M=2v2rG测天体的密度：将天体的质量M代入p=兴得:433夜3r3GR

11、3T2表面卫生3兀P=gt23v2r21:一行星绕恒星做圆T,速度为v.引力常量4GtR3周运动.由天文观测可得，其运行周期为为G,则（）A.恒星的质量为B.行星的质量为v3T2Gd42v3GT2C.行星运动的轨道半径为D.行星运动的加速度为vT2t2v解析：由GMmmvr2计算行星的质量,B错；r=T42-v2rv3TmrrilMMe=2"jJG，a对；无法v_v_vT22%=o=o,C对；a=3r=3v=t32jr2兀，'Tv,D对.答案：ACD卫星的轨道参量随轨道半径变化分析及计算1.卫星的轨道参量随轨道半径变化的规律动力学特征Gr2man=m一mo?r=m（T）2r向

12、心加速度3n-M1an=G即anOC线速度vv=用即喝角速度33=Y零，即38#周期TT=7事,即tM由上表分析可知：随卫星轨道半径的增加，卫星的向心加速度、线速度、角速度都减小，其运行周期将增加.2.几种常见卫星(1)近地卫星近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度丫=*，=，血，约为7.9km/s,其运行周期丁二2,约为84min.(2)同步卫星同步卫星与地球自转同步，相对地球静止，可用作为通讯卫星，其特点如下：轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.周期一定：与地球自转周期相同，即t=24h=86400s.角速度一定：与地

13、球自转的角速度相同.高度一定：据GMjmL=m412r得r=?/GM=4.24X104r2T24%km,卫星离地面高度h=rR=6R（为恒量）.速率一定：运动速度v=2兀r/T=3.08km/s（为恒量）.绕行方向一定：与地球自转的方向一致.（2012安徽卷）我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km,“神舟八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则（）A. “天宫一号”比“神舟八号”速度大B. “天宫一号”比“神舟八号”周期长C. “天宫一号”比“神舟八号”角速度大D. “天宫一号”比“神舟八号”加速度大解析：由题知“天宫一号”运

14、行的轨道半径r1大于“神舟八号”运行的轨道半径2,天体运行时万有引力提供向心力.根据6臂=m：,得v=y1GM,因为ri>r2,故“天宫一号”的运行速度较小，选项A错误；根据GMFrm干2r得T=2六段,故“天宫一号”的运行周期较长，选项B正确；根YJIVI据Gm"=ma2r,得3=序，故“天宫一号”的角速度较小，选项C错误；根据Gy=ma,得a=p,故“天宫一号”的加速度较小，选项D错误.答案：B利用万有引力定律解决卫星运动的方法是：一个模型两条思路模型：人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动，它受到的万有引力提供向心力.Mmv2Gf=m=-MmGR2=mg.思路：(1)

15、当天体运动时，由万有引力提供向心力c2ma2r=mry2.这是万有引力定律这一章的王线索.(2)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，这是万有引力定律这一章的副线索.31:如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）.下列说法中正确的是（）A. a、b的线速度大小之比是亚：1B. a、b的周期之比是1：2亚C. a、b的角速度大小之比是3加：4D. a、b的向心加速度大小之比是9：4解析：两卫星均做匀速圆周运动，尸万=尸向，向心力选不同GMmy_/nvi的表达形式分别分析，由2=mr得V2=mr2fs2得?=g=2TT2r23r33/6八

16、十遇,GMm百二一丁，C正确；由r2r2ri=3R2R=3,GMmA错误；由2=mrw2得"二32D正确.2GMm3,B错误；由产L=ma得生居二子,a2r14'答案：CD卫星变轨的实质卫星变轨问题2h2若郃兽=叱供求平衡卫星做匀速圆周运动，稳定运rr若0器乎，供不应求一一卫星做离心运动；2若GMmAmL供过于求一一卫星做近心运动；在同一椭圆轨道上,不管在哪一个轨道上，由r2r近地点速度大于远地点速度；2=知，同一点加速度相同.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道I绕月飞行，如图所示.之后，卫星在P

17、点又经过两次变轨，最后在距月球表面200km的圆形轨道加上绕月球做匀速圆周运动.对此，下列说法正确的是（）A.卫星在轨道加上运动的速度小于月球的第一宇宙速度B.卫星在轨道加上运动周期比在轨道I上短C.卫星在轨道加上运动的加速度大于沿轨道I运动到P点时的加速度D.I、n、出三种轨道运行相比较，卫星在轨道加上运行的机械能最小解析：卫星在轨道加上的轨道半径大于近月卫星的轨道半径，故其运行的速度小于月球的第一宇宙速度，A正确.根据开普勒第三定律知B正确.卫星在轨道田与轨道I上的P点时，根据牛顿第二定律有GM；=ma,故加速度a相等，C错误.卫星在P点变轨时，卫星的重力势能不变，动能减小,卫星在轨道m上

18、的机械能最小，D对.答案：ABD双星问题双星问题的处理方法所以星zL在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星.体在万有引力提供向心力的情况下做匀速圆周运动，具有以下三个特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故Fi=F2,且方向相反，分别作用在mi、m2两颗行星上.(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期就必须相等，即Tl=T2.(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以ri+r2=L.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起.设二者的质量分别为mi和m2,二者

19、相距为L.求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比；(3)双星的角速度.解析：这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度3必须相同.如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O.圆半径分别为Ri和R2.由万有引力提供向心力有：_mim2Gl2.mim2Gl2=mioj2Ri=m23限2(1)两式相除，得Rim2=一R2mi一,一viRim2(2)因为v=3R,所以丁=瓦=益V2R2mi(3)由几何关系知：R1+R2=L联立式解得：个/gmi+m23=:|_3.答案：(1)m2:mi(2)m2:miGmi+m2(

20、3)L3i.由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的（A.质量可以不同B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同D.速率可以不同解析：同步卫星运行时,v!GMr=m，故有T2=4",v=万有引力提供向心力，GMm=m4JGM，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度V也是确定的，同步卫星的质量可以不同.要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面.故只有选项A正确.答案：A2.（2012重庆卷）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动.由此可知，冥王星绕O点

21、运动的（）1a.轨道半径约为卡戎的7一1B.角速度大小约为卡戎的7C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍解析：本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、/1、V1,卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、2、V2,由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、Dm1m211均错；由Gmm2=m132r1=m232r2（L为两星间的距离），因此否=m21ml7'V1V2m2=7故A对,C错.答案：A3.（2012汪苏卷）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图所示，该拉格朗日点位于太阳.；：格朗和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎1、'