专题13等差与等比数列-三年高考2012018数学理试题分项版解析解析版

1、专题13等差与等比数列考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.等差数列及其性质理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题;了解等差数列与一次函数的关系理解2017课标全国I,4；2016浙江,6;2016天津,18;2015北京,6选择题填空题2.等差数列前n项和公式掌握2017课标全国m,9；2016课标全国I,3；2015浙江,3选择题填空题分析解读1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求an,Sn

2、为主，考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质，分值约为5分，属中低档题.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度2017课标全国理解等比数列的概念；n,3；选择题1.等比数列及其性掌握等比数列的通项公式与前n项理解2016课标全国填空题质和公式；I,15；解答题能在具体的问题情境中识别数列的2015课标n,4寺叱天余，开口匕用侣人却以用牛灰不日丹选择题2.等比数列前的问题；掌握2017江苏,9；填空题n项和公式了解等比数列与指数函数的关系2014课标n,17解答题分析解读1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比

3、数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点2018年高考全景展示1 .【2018年理新课标I卷】设部为等差数列的前门项和，若：埼=5?+$4,%=，则%=A.二B.-l:"C.|:，D.1-【答案】B【解析】分析：首先设出等差数列的公差为应利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足的等量关系式,从而求得结果d=3,之后应用等差数列的通项公式求得的=%+4d=212=10,从而求得正确结果.3x24x33（3X2+=2X2+d+4X2+d详解：设该等差数列的公差为*根据题中的条件可得22,整理解得d=Q所以的=口1十4d=2_12=_Q,故选b.点

4、睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差日的值，之后利用等差数列的通项公式得到的与的和"的关系，从而求得结果.2 .【2018年理北京卷】设"J是等差数列，且81=3,82+85=36,则加的通项公式为.【答案】一'''':【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可详解：一''|一：.，点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的

5、运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用3 .【2018年理新课标I卷】记与为数列®的前门项和，若$一：%+1,则.【答案】':【解析】分析：首先根据题中所给的工=2/+1,类比着写出国+1=+i+1,两式相减，整理得到询+1=2%,从而确定出数列为等比数列，再令"=1,结合鸟的关系，求得的=T,之后应用等比数列的求和公式求得”的值.详解：根据=,可得L+1=2册+1+1,两式相减得=2%+1一2%,即+1=2%,当"=1时,51=%=2/+1,

6、解得%=-1,所以数列也是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以3r=-631-2,故答案是-63.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令"=1,求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.4 .【2018年浙江卷】已知等比数列an的公比q>1,且a3+a4+as=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足bi=1,数列(bn+i-bn)an的前n项和为2n2+n.(I)求q的值；

7、(n)求数列bn的通项公式.为=15-(你+3)(1广一【答案】(I)q=N(n)2【解析】分析二(I)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，(H)先根据班列(以打一匕)直打项和求通项,解得九再通过会加法以及错位相减法求占”详解：CI)由+2是的的等差中项得的+电=2%+4,所以的+A+%=3%+4=28,解得=B由的+a5=20得8(q十露=20,因为q>1?所以耳=2.%盘=1,(II)设=(%+1一数列匕J前n项和为兀.由“卜-羽-1产岩乙解得=4n-1.11a-2n1说十i一%二(4日1)(-1b=6i=(4"5)由(I)可知/一上，所以2,故2%一

8、比二d-Z一J+41_1-口_/十+-石)十血-比)=(4依-S)+(4rt9)(-)"-'+-7-+3-.设5)(|)7,心2几=3+7；+11，(|)2+(4”一丁”=丸-+7-(一)2+(4曾r刃O吁2+(4办-5)(一)”111111zrn=3+41+41()2+-T+4(-)"-2-(4n-5)(-)n'1Tn=14-(4n+3)(-)n-2tn>2所以222上2,因此21hT3=154自+3)，&广2又比一I,所以"'2.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

9、(2)在写出品”与婚一的表达式时应特别注意将两式错项对齐”以便下一步准确写出其转屋，的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.5.【2018年理数全国卷II记与为等差数列陶的前门项和，已知%=-L5.(1)求%的通项公式；(2)求,也，并求羯的最小值.【答案】(1)an=2n-9,(2)Sn=n2-8n,最小值为T6.【解析】分析：(1)根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，(2)根据等差数列前n项和公式得工的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：(1)设an的公差为d,由题

10、意得3a1+3d=T5.由a1=3得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(nY)2-16,所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为-16.点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.2017年高考全景展示1 .【2017课标1,理4】记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,&=48,则an的公差为A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】65试题分析：设公差为d,a4+a5=a1+3d+a1+4d=2&+7d=24,S6=6a1+d=6a1+15d=48,212al7d=

11、24,联立a1，解得d=4,故选C.6a115d=48秒杀解析：因为S6=6(a1+a6)=3(a3+a4)=48,即%十a4=16,则(a4十%)_(a3+a4)=2416=8,2即a5-a3=2d=8,解得d=4,故选c.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如an为等差数列，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.2.12017课标3,理9等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,as,a6成等比数列，则Qn1前6项的和为A.-24B.-3C.3D.8【答案】A【解析】试题分析；设等差班列的公差为"，由化，6,小成等比

12、数列可得：,即:(1+2(0°=(l+d)(l+5d)，整理可得:d2+2d=0，公差不为0,则"二一2,数列的前6项和为/=6q+-=6x1x(-2)=-24.故选【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法3.12017课标II,理3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

13、灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A,1盏B,3盏C,5盏D.9盏【答案】B【解析】试题分析：设塔白顶层共有灯X盏，则各层的灯数卞成一个首项为X,公比为2的等比数列，结合等比数x1-27列的求和公式有：=381,解得x=3,即塔的顶层共有灯3盏，故选Bo1-2【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型一一数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是

14、解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。4.12017课标3,理14】设等比数列an满足ai+a2=1,ai-as=3贝Ua4=【答案】-8【解析】试题分析：设等比数列的公比为q，很明显q0_1，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组:aia2=ai1q=一1,2a1-a3=&1-'q=-3,由等比数列的通项公式可得：a43o=a1q=-8.由峦可得：q=2,代入可得a=1,【考点】等比数列的通项公式【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公

15、式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程n15.12017课标II,理15等差数列Qn的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则工一=Sk【答案】2nn1【解析】试题分析：设等差数列的首项为a1,公差为d,a12d=3-1由题思有：4M3，解得44al+d=101d=1nn-1nnTnn1数歹用刖n项和&=口+二7d=nx1+1=-222,_1211,裂项有：-L=一±一=2,-,据此：Skkk1kk11一1ST-k一力123/1_，l211-，LInn+1)In+1jn+1【考点】等差数列前n

16、项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，%,d,n,&,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。6.12017北京，理10】若等差数列g和等比数列也满足ai=bi=T,a4=b4=8,则;=.b2【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为

17、d和q,_1+3d=q3=8，求得q=2,d=3,ja2-13.那么=1b22-【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法2016年高考全景展示1.12016高考新课标1卷】已知等差数列an前9项的和为27，a0=8,则&00=()(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】C【解析】9a136d=27试题分析：由已知J,所以a1=1,d

18、=1,a100=a1+99d=1+99=98,故选C.q9d=8考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法2.12016局考浙江理数】设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nCN,则a=,Ss=【答案】11211解析】试题分析：为一4=4吗=泡-In珥=12=3,再由&T,说+14=2flm22)=>=24=4T=345*3又如=3马，所以=3/保之，S产二=121.13考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n项和.【易错点睛】由an+=2Sn+1