一元二次不等式及其解法教学讲义

1、一元二次不等式及其解法教学讲义ZHIS.HISMULIS44UANGJVZJCEZHISHISHULI知识梳理)1.一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).(2)计算相应的判别式.(3)当AR0时，求出相应的一元二次方程的根.(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2.三个二次之间的关系判别式A=b24acA>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象bLr<三甲3*,兀一次方程ax2+bx+c=0(a&g

2、t;0)的根有两相异实根有两相等实根没有实数根xi,x2(xi<x2)_bxi=x2=门2aax2+bx+c>0(a>0)的解集x|x>x2或x<xix|xCR且xWxiRax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?ZHONGYAOJIELUN重要结论)1. ax2+bx+c>0(aw0)恒成立的充要条件2. ax2+bx+c<0(aw0)恒成立的充要条件是:是:a>0且b24ac<0(xR).a<0且b24ac<0(xR).注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，

3、应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件.3 .二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根.4 .简单分式不等式的解法身0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；gxfxfxgx>0<0gr接0(<0)?gxw。5 .简单的指数与对数不等式的解法若a>1,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)；若0<a<1,af>ag(x)?f(x)<g(x).(2)若a>1,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0;若0<a<1,logaf(x)>l

4、ogag(x)?0<f(x)<g(x).SHUANGJIZICE双基自测)1.不等式(x-1)(2x)>0的解集为(A)A.x|1<x<2B.x|xW1或x>2C.x|1<x<2D,xx<1或x>2解析由(x1)(2x)>0可知(x2)(x1)W0,所以不等式的解集为x|1wxw2.故选A.1 x2 .不等式>0的解集为(B)2+xA.-2,1B.(-2,1C.(0°,2)U(1,)D.(°0,2U(1,)1-x2+x>0,解析原不等式化为2+xw0,x-1x+2<0即，所以一2<xW

5、1.故选B.x+2w03 .(教材改编)不等式ax2+bx+2>0的解集是(一1,，则a+b的值是(D)23A.10B.-10C.14D.-14解析由题意知一1,1是ax2+bx+2=0的两根，则a=-12,b=-2,所以a+b=-14.234 .(2018山东烟台期中)若集合M=x|x2+x12W0,N=y|y=3x,x<1,则集合x|xCM且x?N等于(D)A.(0,3B,-4,3C.-4,0)D.-4,0解析M=-4,3,N=(0,3,x|xCM且x?N=4,0,故选D.5 .若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-4<0对一切xCR恒成立，则实数a取值的集合为(D)A

6、.(巴3)B.(-1,3)C.-1,3D.(-1,3解析当a=3时，一4<0恒成立；a<3,当aw3时，A=4a32+16a-3<0,解得1<a<3.所以1<aW3.1一6 .(2018山东烟台联考)不等式x>一的解集为(-1,0)U(1,+oo).x"1'解析当x>0时，原不等式等价于x2>1,解得x>1;当x<0时，原不等式等价于x2<1,解1得1<x<0.所以不等式x>7的解集为(1,0)U(1,+8).x互动探究考点1一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参数的不等式*例1解下列

7、不等式(1)-2x2+x+3<0;(2)x22x+2>0;1.2x1>34x分析(1)将二次项系数化为正数，变为2x2x3>0,求方程2x2x3=0的根，若无根,则解集为R,若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集；fx(3)移项通分化为>>0的形式，进而化为f(x)g(x)>0求解.gx解析(1)化2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,rr3 .(x+1)(2x-3)>0,即(x+1)(x-2)>0,3 x>/x<1,.二原不等式的解集为(一°°,1)u(2,+°°)

8、.(2)因为A<0,所以方程x22x+2=0无实数解，而y=x22x+2的图象开口向上，可得原不等式x2-2x+2>0的解集为R.2x-16x-43x-2(3)化>1为>0,即<0,3-4x3-4x4x-3r3幡2313 .(3x2)(4x3)<0,且xw4,即(x§)(x)w0(且xw4)23，原不等式的解集为x|-<x<-.34名师点拨？解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写：利用“大

9、于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.角度2含参数的不等式，例2解下列关于x的不等式：(1)ax2-(a+1)x+1<0(aR)；(2)x2-2ax+2<0(aR)；分析(1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a与0的关系，并注意*1,根的大小关系，即讨论一与1的关系，故需分a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1五种情况求解；a(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系；解析(1)若a=0,原不等式等价于x+1<0,解得x>1.若a<0,则原不等式等价于(x；)(x1)>0,解得

10、xv；或x>1.1若a>0,原不等式等价于(x-；)(x-1)<0.a当a=1时，a=1,(x-；)(x1)v0无解；当a>1时，<1,解(xJ)(x1)v0得=vxvl；aaa当0Va<1时，1,解(x)(x1)v0得1vxv!.aaa综上所述：当a<0时，解集为xx<1x>1；当a=0时，解集为xx>1；当0<a<1a时，解集为x|1vx<1;当a=1时，解集为？；当a>1时，解集为乂£<*<1.(2)对于方程x2-2ax+2=0,因为A=4a2-8,所以当Av0,即一q2vav”时，

11、x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x22ax+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为？；当A=0,即a=地时，x22ax+2=0有两个相等的实根，当a=/时，原不等式的解集为x|x=&,当a=近时,原不等式的解集为x|x=也；当A>0,即a>m或av陋时，x22ax+2=0有两个不相等的实根，分别为x1=a/2_2,x2=a+，a22，且x1vx2,所以原不等式的解集为x|a422<x<a+22.综上，当a>W或a<-啦时，解集为x|a、/a2_2wxWa+/a2-2；当a=<2时，解集为x|x=啊；当a=加时，解集为x|x=也；当一m

12、vav6时，解集为?.名师点拨？含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1=x2确定);若不易分解因式，且判别式符号确定，可考虑求根公式，以便写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由A=0确定).(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式.(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零.(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正.变式训练1(1)(角度1)(

13、2018陕西部分学校摸底检测)已知集合U=Z,集合A=xCZ|3Wx<7,B=xCZ|x2-7x+10>0,则AA(?uB)=(A)A,3,4,5B.2,3,4,5C.4,5D.2,3,4(2)(角度1)不等式2UW1的解集为x|x>1或xw2.(3)(角度2)解不等式x2-(a+1)x+a<0(aR)解析(1)A=3,4,5,6,B=xCZ|x>5或x<2,.-.?uB=2,3,4,5,.An(?uB)=3,4,5,x-1x-1-x-2x+2(2)<1?1W0?<0?>0.2x+12x+12x+12x+11.解得x|x>2或x<

14、;-2.x+2x+22x+1>0,>0?2x+12x+1丰0,(3)由x2-(a+1)x+a=0,得(xa)(x-1)=0,x1=a,x2=1,当a>1时，x2(a+1)x+a<0的解集为x|1<x<a,当a=1时，x2(a+1)x+a<0的解集为？,当a<1时，x2(a+1)x+a<0的解集为x|a<x<1.考点2三个二次间的关系一一师生共研例3(1)(2018重庆*II拟)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x*且x2x=15,则a=(A)5-2A7-2BD.152A.(-,+00)C.(

15、1,+8)23B(一石，12?15CT(2)若不等式x2+ax2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围是(A)a>0,可解方程x2-2ax-8a2分析(1)思路一：利用根与系数的关系求解.思路二：因为=0,得两根x1，x2,代入x2x1=15求解；(2)令f(x)=x2+ax-2,A=a2+8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)>0或f(1)<0且f(5)>0,于是得解；思路二：“正难则反"，求x2+ax-2<0在区间1,5上恒成立的a的取值集合，只需f(5)<0,再求其补集即可；思路三：分离参数.解析(1)解法一：由题意知x

16、i,x2是方程x22ax8a2=0的两根，则xi+x2=2a,xix2=158a2又x2x1=15,.(x2x1)2=(x1+x2)24x1x2=4a2+32a2=36a2=152.a>0,，a=-6=5,2，故选A.解法二：由x22ax8a2=(x+2a)(x4a)<0,a>。，不等式的解集为(2a,4a).5,又不等式的解集为(x，x2),.1=2a,x2=4a.，x2x1=4a(2a)=6a=15,，a=2，故选(2)令f(x)=x2+ax-2,则A=a2+8>0,方程f(x)=0,有两个不等实根，又两根之积为负,二方程有一正根和一负根.解法一：不等式x2+ax-

17、2>0在区间1,5上有解，只要f>0或f1<0,解得a>1或f5>0.23<a<1.5.a的取值范围是23(-T,+°°),故选A.5解法二：不等式x2+ax-2<0在1,5上恒成立，只要f(5)<0,即25+5a-2<0,解得a<-3，不等式x2+ax2>0在区间(1,5上有解的a的取值范围是(23,+°°).55弓I申若不等式x2+ax2<0在区间1,5上有解，则a的取值范围是(一巴1).解析由例3(2)的解析知，不等式x2+ax2<0在区间1,5上有解，a<2

18、x,xC1,5有解,x显然g(x)=1x在1,5上递减，gmax(x)=g(1)=1,，a<1.x名师点拨？已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根,此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例变式训练2(2)中对应的二次函数图象过点(0,-2).1(1)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是一万1-,则不等式x2bxa<0的解集是(A)3A.(2,3)B.(巴2)U(3,i)11C. (3，2)D. (-OO,J+8)(2)(2018九江卞II拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(

19、A)A. (8,2)B. (-2,+8)解析(1)依题意，；与；是方程ax223bx1=0的两根,b11a-23'111-x-a23，ba即1a16'又a<0,不等式x2bxa<0可化为b-ax-1>0,即一$2+5x1>0,即x25x+6<0,解得2<x<3.故选A.(2)解法一：由函数f(x)=x24x2a图象的对称轴为x=2.，不等式x24x2-a>0在区间(1,4)内有解？f(4)>0,即a<-2,故选A.解法二：(分离参数法)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x

20、-2)max,令g(x)=x2-4x-2,xC(1,4),/.g(x)<g(4)=-2,，a<2.故选A.师生共研考点3一元二次不等式恒成立问题例4已知f(x)=mx2mx1.(1)若对于xCR,f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围;(2)若对于xC1,3,f(x)<m+5恒成立,求实数m的取值范围;若对于|m|W1,f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围.分析(1)二次项系数含有字母m,应分m=0和mw0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论;(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解.解析(1)要使mx2mx1<0恒成立,m<0

21、,若mw0,则?-4<m<0.A=m2+4m<0所以m的取值范围为(一4,0.(2)要使f(x)<m+5在1,3上恒成立，只需mx2-mx+m<6恒成立(xC1,3),一,c1C3又因为x2-x+1=(x-2)2+4>0，6人66所以m<x2r；77.令尸x71X-2+4因为t=(x1)2+3在1,3上是增函数，所以丫=丁6在1,3上是减函数.x2-x+1.6因此函数的取小值ymin=7.6所以m的取值氾围是(一00,7).(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2x)m1<0.令g(m)=(x2x)m1,mC1,1.g-1&l

22、t;0x2+x1<0,则即g1<0x2-x-1<0,1,51+5解得2<x<2一,1-.51+5即x的取值范围为(一2一,一).名师点拨？一元二次不等式恒成立问题1 .在R上恒成立一元二次不等式ax2+bx+c>0(或>0)对于一切xR恒成立的条件是a>0,A=b24ac<0或W0.2 2)一元二次不等式ax2+bx+c<0(或w0)对于一切xCR恒成立的条件是a<0,A=b2-4ac<0或w0.2 .在给定某区间上恒成立(1)当xCm,n,f(x)=ax2+bx+c>0恒成立，结合图象，只需f(x)minA0即可；(2)当xCm,n,f(x)=ax2+bx+c<0恒成立，只需f(x)maxW0即可.3 .解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.4 .“不等式f(x)R0有解(或解集不空)的参数m的取值集合"是"f(x)<0恒成立