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文档简介
1、专题05函数实际问题之销售中的利润问题(解析版)一、利润中的几个等量关系:售价=进价+利润;售价=标价X折扣;总利润=单件(单个商品)利润X总销量;二、需要注意的是,在利用函数解答实际问题的过程中,一定要注意自变量的取值范围,以及在这个取值范围内的函数值的最大值及最小值;切不可直接用原函数的最值当作实际问题的最值;避免出现错误的方法是:作出示意图,由图象分析函数值的最值题型一、利润问题应用题1. (2019江苏连云港中考)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总
2、利润为y(万元).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.【答案】见解析.【解析】解:(1) y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1000,(2)由题意得:0.25x+0.5(2500-x)<1000,解得:x<2500,即1000Wx<2500,由(1)知,y=0.1x+1000,0.1<0,,y随x的增大而减小,当x=1000时,y取最大值,此时甲产品1000吨
3、,乙产品1500吨时能获得最大利润.2. (2019江苏宿迁中考)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现.销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式;(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?【答案】见解析.1【解析】解:(1)y=-x+50.2(2)由题意得:y(x+40)=2250,1即(x+50)(x+40)=2250,2解得:x=50(舍
4、)或x=10,即当x=10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.(3)由题意知,w=y(x+40),1=(-x+50)(x+40)2=1(x30)2+2450,21一<0,对称轴为x=30,2当0wxw20时,w随x的增大而增大,即当x=20时,w取最大值,最大值为:2400.3. (2019湖北鄂州中考)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1
5、)直接写出y与x的函数关系式;(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?【答案】见解析.【解析】解:(1)y=100+5(80x)或y=5x+500(2)由题意,得:W=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500,a=-5<0,w有最大值即当x=70时,w最大值=4500.应降价80-70=10(元)(3)由题意,得:-5
6、(x-70)2+4500=4220+200解得:xi=66,X2=74抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,当66<x<74时,符合该网店要求,而为了让顾客得到最大实惠,故x=66.当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠题型二、图表类利润最值问题4. (2019青岛中考)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w
7、(兀)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?嘉元【答案】见解析【解析】解:(1)设商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意知,30kb10045kb70解得,k2b160即y关于x的函数解析式是:y=-2x+160;30WxW50,w=(x30)y=(x30)(-2x+160)=-2(x55)2+1250,-30<x<50,当x=50时,w取最大值为1200元;2(3)W800,w=-2(x55)+1250的图象如下所本,w1250800O30x1x280从图中可知,当xWxWx2时,
8、w不低于800元,2(x55)2+1250=800,解得:x1=40,x2=70,,40WxW70时,每天的利润不低于800元,故每天的销售量最少应为-2X70+160=20件.某公司计划某地区设产品在第x(x为正5. (2019成都中考)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系(1)求y与x之间的关系式;(2)设产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x之间的关系为:px1,根据以上22信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?
9、此时该产品的销售价格是多少元?【答案】见解析.【解析】解:(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意知,kb7000k500.,解得:,5kb5000b7500即y与x之间的关系式为:y=500x+7500;(2)设第x个销售周期的销售收入为w元,一11则w=yp=(500x+7500)(-x-)22=-250(x7)2+16000,在第7个销售周期的销售收入最大,销售价格为:4000元.6.(2019浙江嘉兴中考)某农作物的生长率p与温度t(oC)有如下关系:如图1,当10<tW25时1112可近似用函数pt刻回;当25<t<37时可近似用函数p(th)20.4刻回.
10、505160(1)求h的值.(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;请用含t的代数式表示m(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20c时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(°C)之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用
11、)【答案】见解析.图21.、2【解析】解:(1)将(25,0.3)代入p(th)0.4得,h=29或h=21,160h>25,h=29,(2)由题意知m是p的一次函数,设nrkp+b,-0.2kb0.可得:,解得:k=100,b=-20,0.3kb10n=100p-20,11当10wtw25时,pt,505m=2t-40,12当25<tW37时,p(t29)20.4,16052m=-(t29)220,当20WtW25时,由(20,200),(25,300)可得:w=20t-200,,增力口禾1J润为:600n+200x30-w(30-n)=40t2-600t-4000=40(t7.
12、5)2-6250当t=25时,利润最高为:6000元;当25<t<37时,w=300,11252增加利润为:600n+200x30-w(30n)=5(t29)215000,当t=29时,增加利润取最大值为:15000元,综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加利润最大,为15000元.7.(2019湖北咸宁中考)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=2X+120.(1)第40天
13、,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大.最大利润是多少?在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天?【答案】见解析.【解析】解:(1)由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z=-2X40+120=40则第40天的利润为:(80-40)X40=1600元故答案为:1600.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(kw0),把(0,70)(30,40)代入得:30kbb70b70 直线AB的解析式为y=-x+70.(I)当0vxW30时w=80-(-x+70)(-2x+120)=-2x2+1
14、00x+1200=-2(x-25)2+2450 当x=25时,w最大值=2450.(n)当30<x<50时,w=(80-40)X(-2x+120)=-80x+4800;w随x的增大而减小 当x=31时,w最大值=2320.2450,0x302x2580x4800,30x50第25天的禾1J润最大,最大利润为2450元.(i)当0vxW30时,令2(x25)2+2450=2400,解得:xi=20,x2=30抛物线w=-2(x-25)2+2450开口向下,由其图象可知,当20WxW30时,w>2400,此时,当天利润不低于2400元的天数为:30-20+1=11天,(ii)当3
15、0vxW50时,由可知这些天中的日利润均低于2400元,综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天.8. (2019湖北黄冈中考)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红。经市场调研发现,草莓销售单价(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0WxW100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0
16、.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户,为确保合作社所获利润W(万元)不低于55万元,产量至少要达到多少吨?【答案】见解析.【解析】解:解:(1)当0WxW30时,y=2.4;当30<x<70时,设y=kx+b,把(30,2.4),(70,2)代入得:30kb2.4k0.01,解得,70kb2b2.7.y=-0.01x+2.7;当70WXW100时,y=2;(2)当0WxW30时,w=2.4x-(x+1)=1.4x-1;当30WXW70时,w=(-0.01x+2.7)x-(x+1)=-0.01x2+1.7x-1;当70WxW100时,w=2x-(x+1)=x-1;(3)当0Wx<
17、;30时,w'=1.4x-1-0.3x=1.1x-1,当x=30时,w'的最大值为32,不合题意;当30WxW70时,w'=-0.01x2+1.7x-1-0.3x=-0.01(x-70)2+48,当x=70时,w'的最大值为48,不合题意;当70WxW100时,w'=x-1-0.3x=0.7x-1,当x=100时,w'的最大值为69,此时0.7x-1R55,解得x>80,所以产量至少要达到80吨.9. (2019湖北荆门中考)为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查,在草莓上市销售的30天中,其销
18、售价格m(元/公斤)与第x天之间满足3x15(1x15).m()'(x为正整数),销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示:x75(15x30).如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式;(2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式;(日销售禾1J润=日销售额一日维护费)(3)求日销售利润y的最大值及相应的x.011030t【答案】见解析.【解析】解:当1wxwi0时,设n=kx+b,由图可知:12kb,解得:k=2,b=10,3010kbn=2x+10,同理当10<xw30时,n=-1.4x+44,2x10(1x10)n;1.4x44(10x30)(2)-.y=mn-80,(2x10)(3x15)80(1x10)y(1.4x44)(3x15)80(10x15)(1.4x44)(x75
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