2012年高考第一轮总复习精品导学课件：911球

1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲考点考点搜索搜索球面、球体的概念，球的截面性质球面、球体的概念，球的截面性质地球的经纬度，球面距离地球的经纬度，球面距离球的表面积和体积高考球的表面积和体积高考高考高考猜想猜想1. 考查有关球的表面积、体积和球面考查有关球的表面积、体积和球面距离等的计算距离等的计算.2. 考查球的截面问题的分析与计算考查球的截面问题的分析与计算. 1. 与定点的距离与定点的距离_的点的集的点的集合合,叫做球体叫做球体,简称球简称球,定点叫做球心定点叫做球心,定长叫做球的定长叫做球的半径半径,与定点距离与定点距离_的点的集合叫做球面的点的集合叫做球

2、面. 2. 用一个平面截一个球用一个平面截一个球,所得的截面是所得的截面是_,且球心与截面圆心的连线且球心与截面圆心的连线_截面截面. 3. 设球心到截面的距离为设球心到截面的距离为d,球半径为球半径为R,截截面圆半径为面圆半径为r,则三者的关系是则三者的关系是_. 等于或小于定长等于或小于定长等于定长等于定长一个圆一个圆垂直于垂直于R2=r2+d24. 球面被球面被_的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做大圆，被做大圆，被_的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做小圆做小圆.5. 经过球面上两点的大圆在这两点间的经过球面上两点的大圆在这两点间的_的长度的长度,叫做这两个点的球面距离叫做这两个点的球面距

3、离.6. 过球面上一点从北极到南极的半个大过球面上一点从北极到南极的半个大圆圆,与子午面所成的与子午面所成的_的度数就是这个的度数就是这个点的经度点的经度;过球面上一点的球半径与过球面上一点的球半径与_所所成的角的度数就是这个点的纬度成的角的度数就是这个点的纬度. 7. 半径为半径为R的球的体积是的球的体积是V=_，表面，表面积是积是S= _.经过球心经过球心不经过球心不经过球心一段劣弧一段劣弧二面角二面角赤道面赤道面34 3R24R1.长方体的一个顶点上三条棱长为长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是面积

4、是( )A. B. C. D. 解：解：设球的半径为设球的半径为R，则则(2R)2=32+42+52=50，所以，所以R= .所以所以S球球=4R2=50.20 2C25 2502005 222.已知过球面上已知过球面上A、B、C三点的截面和球心三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则，则球面面积是球面面积是( )A. B. C. D. 解：解：因为因为AB=BC=CA=2，所以所以ABC的外接圆半径为的外接圆半径为r= .设球的半设球的半径为径为R，则，则 所以所以 ，所以所以 1694D2 33836492214()23RR2169R 2

5、448SR球球3.球面上有球面上有3个点，其中任意两点的球面距个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的离都等于大圆周长的16，经过这，经过这3个点的小圆的个点的小圆的周长为周长为4，那么这个球的半径为，那么这个球的半径为( )A. B. C. 2 D. 解法解法1：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O.过过O作作OO平面平面ABC，O是垂足，则是垂足，则O是是ABC的中心，则的中心，则OA=r=2.又因为又因为AOC= ，OA=OC知知OA = AC OA,所以所以OAOA2OA. 因为因为OA=R，所以，所以2R4.因此，因此，排除排除A、C、D，故选故选

6、B. 解法解法2：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O. 在正三角形在正三角形ABC中，中，ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2.应用正弦定理，得应用正弦定理，得AB=2rsin60= . 因为因为AOB= ，所以侧面，所以侧面AOB是是正三角形，得球半径正三角形，得球半径R=OA=AB= .2 332 3解法解法3：设球面上的设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O. 因为正三角形因为正三角形ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2，故高，故高AD= r=3，D是是BC的中点的中点.在在OBC中，中，BO=CO=R，BOC= ，所以所以BC=BO

7、=R，BD= BC= R.在在RtABD中，中，AB=BC=R，所以由所以由AB2=BD2+AD2，得得 ，解得，解得R= .332121222194RR2 31. 球面上有三点球面上有三点A、B、C，其中任意两，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的点间的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆经过这三个点的小圆的周长为的周长为4，求这个球的表面积求这个球的表面积.解：解：设设O为球心，球半径为球心，球半径为为R，经过经过A、B、C三点的小圆半径为三点的小圆半径为r.61题型题型1 球的表面积的计算球的表面积的计算由已知，由已知，2r=4，所以，所以r=2.又因为又因为A、B、C中任

8、意两点的球面距中任意两点的球面距离离都是大圆周长的都是大圆周长的 ，即，即 ，所以所以AOB=AOC=BOC= .又又OA=OB=OC=R，所以，所以AB=BC=AC=R.在在ABC中，由正弦定理，中，由正弦定理，得得AB=2rsin60= ，所以所以R= ，所以，所以S球球=4R2=48.3162 33R2 3点评：点评：求球的表面积的关键是求球求球的表面积的关键是求球的半径的半径.求半径时，一般是根据截面圆的求半径时，一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，通过解长、球的半径三者之间的关系，通过解三角形来求得三角形来

9、求得. 如图，如图，A、B、C是表面积为是表面积为48的球面上三点，的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC =60，O为为球心球心.求直线求直线OA与截面与截面ABC所成的角的大小所成的角的大小.解：解：连结连结AC，设，设O在在截面截面ABC上的射影是上的射影是O，则则O为截面三角为截面三角形形ABC外接圆的圆心，外接圆的圆心，连结连结AO，则，则OAO为直线为直线OA与截面与截面ABC所成的角所成的角.设球的半径为设球的半径为R，小圆的半，小圆的半径为径为r.因为球的表面积为因为球的表面积为48，所以，所以R= .在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得AC2 = AB2 + BC

10、2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得由正弦定理，得 ，即即 ，所以，所以r=2.所以所以 .故所求角的大小为故所求角的大小为arccos .2 32sinACrABC02 32sin60r23cos32 3O ArOAOOAR332. 设设A、B、C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC =6，AB=4，球心，球心O到平面到平面ABC的距离等于球半径的的距离等于球半径的一半，求这个球的体积一半，求这个球的体积.解：解：过球心过球心O作作OO1平面平面ABC，则点，则点O1为过为过点点A、B、C的截面圆的圆的截面圆的圆心，即心，即O1是是ABC的外心的外心.连

11、结连结CO1，延长交，延长交AB于于M点点.题型题型2 球的体积的计算球的体积的计算因为因为AC=BC，所以，所以M是是AB的中点，的中点，且且CMAB.设设O1M=x.因为因为O1A=O1C，而而 ，O1C=CM-O1M=所以所以 ，解得，解得x= .所以所以O1A= 设球设球O的半径为的半径为R.由已知由已知OO1=R2，OA=R.在在RtAO1O中，因为中，因为AO2=OO21+AO21，所以所以 解得解得R= .222114O AAMO Mx22221624 2BC - BM-O Mxx244 2x- x7 2429 244x2229 2()()24RR 3 62所以所以 点评：点评：

12、球的体积是关于半径的函球的体积是关于半径的函数，故求体积必须先求半径数，故求体积必须先求半径.涉及到涉及到截面问题时，一般是化球为圆，再截面问题时，一般是化球为圆，再解直角三角形可求得半径解直角三角形可求得半径.3427 63VR球球 球面上有三点球面上有三点A、B、C，A和和B及及A和和C之间的球面距离是大圆周长的之间的球面距离是大圆周长的 ，B和和C之间的球面距离是大圆周长的之间的球面距离是大圆周长的 ，且球心到截，且球心到截面面ABC的距离是的距离是 ，求球的体积，求球的体积.解：解：设球心为设球心为O，由已知，由已知，易得易得AOB = AOC= ，BOC= .过过O作作ODBC于于D

13、，连结，连结AD，再过再过O作作OE AD于于E，则则OE平面平面ABC于于E，所以，所以OE= .141621723217因为因为OAOB，OAOC，所以所以OA平面平面BOC，所以，所以OAOD.设设OA=R,则则AB=AC=2R,BC=R，AD= R, OD= R.在在RtAOD中，由中，由ADOE=OAOD,得得OA=R=1.所以所以 .723234433VR球球3. 在地球北纬在地球北纬30圈上有圈上有A、B两点，两点，点点A在西经在西经10，点，点B在东经在东经110，设地，设地球半径为球半径为R，求，求A、B两点的球面距离两点的球面距离.解：解：如图，设如图，设O为球心，为球心，

14、C为北纬为北纬30圈所在小圆的圆心圈所在小圆的圆心.由已知，由已知，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面平面ABC，所以所以AC=BC=Rsin60= .题型题型3 球面距离的分析与计算球面距离的分析与计算32R在在ACB中，中，所以所以AB= R.在在AOB中，中，所以所以AOB=arccos( ).故故A、B两点的球面距离是两点的球面距离是Rarccos( ).322221cos28AOBO - ABAOBAOBO 222029-2cos1204ABACBCACBCR1818点评：点评：一般地，求球面上两点一般地，求球面上两点A、B间间的球面距离的具体步骤是：的球

15、面距离的具体步骤是：计算线段计算线段AB(公共弦公共弦)的长；的长；计算计算A、B到球心到球心O的张角；的张角；计算球的大圆上计算球的大圆上A、B间的劣弧长间的劣弧长. 正三棱锥正三棱锥P-ABC内接于半径为内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点某质点从点从点P出发沿球面运动，经过出发沿球面运动，经过A、B、C三点后三点后返回返回P点，求所经路程的最小值点，求所经路程的最小值. 解解：设球心为：设球心为O，据题意，据题意，O为正三角形为正三角形ABC的中心，的中心，且且PO平面平面ABC，所以，所以POA=POC= ，AOB=BOC= .因为球面

16、上任意两点的球面距离是经过这两点因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点的最短路程，其中的最短路程，其中P与与A、P与与C的球面距离的球面距离是是 ，A与与B、B与与C的球面距离是的球面距离是 ，所以所求路程的最小值是所以所求路程的最小值是2323R22R2722233RRR. 1. 正三棱锥正三棱锥P-ABC的外接球半径为的外接球半径为R，两侧棱的夹角为两侧棱的夹角为，求这个正三棱锥的侧棱，求这个正三棱锥的侧棱长长. 解：解：如图，过点如图，过点P作作PD平面平面ABC，垂足为，垂足为D，则，则D为为ABC的中心的中心.延长延长PD交球面于交球面于E，则，则PE为球的直为球的直径径.连结连结

17、AD、AE，则，则PAAE，ADPE.设设PAD=，则则AED=.设正三棱锥设正三棱锥P-ABC的侧棱长为的侧棱长为a，由已知，由已知， 从而从而 又又AD=PAcos=acos，所以，所以所以所以在在RtPAE中，中，PA=PEsin= .故这个正三棱锥的侧棱长为故这个正三棱锥的侧棱长为 .2 sin2aABa232 3sin3232aADABa2 3cossin32a 2224sin1 cos1sin32a-2421sin32aR-2421sin32aR-2. 如图，如图，AC是四面体是四面体ABCD的外接的外接球直径，球直径，BC是经过是经过B、C、D三点的截三点的截面圆直径，球心面圆直

18、径，球心O到截面到截面BCD的距离等的距离等于球半径的于球半径的 . (1)若若CBD=60，求异面直线求异面直线AC和和BD的夹角的夹角; (2)若若BD DC= 2，求二面角求二面角B-AC-D的大小的大小.123解：解：(1)过点过点C作作CEDB交球面于交球面于E，连，连结结AE，则，则ACE为所求的角为所求的角.因为因为CBD=60，所以所以BCE=60. 取取BC的中点的中点O，则则O为截面圆圆心为截面圆圆心.设球设球O的半径为的半径为R，由已知，由已知OO= .在在RtCOO中中所以所以BC= R.因为因为BECE，所以所以CE=BCcos60= .2R2232COCO -OOR

19、.332R因为因为AC是球的直径，所以是球的直径，所以AEEC.在在RtAEC中，中， .故异面直线故异面直线AC和和BD的夹角为的夹角为arccos . (2)过点过点D作作DFBC，垂足为，垂足为F. 因为因为OODF，所以所以DF平面平面ABC.过点过点F作作FHAC，垂足为，垂足为H，连结，连结DH. 依据三垂线定理，有依据三垂线定理，有DHAC.所以所以DHF为二面角为二面角B-AC-D的平面角的平面角.3cos4CEACEAC34因为因为BD DC= 2，BC= R，BD2+DC2=BC2，所以，所以则则DC= R，所以，所以BD= DC= R.因为因为DFBC=BDCD,所以所以因为因为ADCD，DHAC，所以所以DHAC=ADCD.332223()( 3 )2DCDCR127323731 267773RRD FRR而而所以所以在在RtDFH中中,sinDHF= ，所以所以DHF=60.故二面角故二面角B-AC-D的大小为的大小为60.2222124477ADAC -CDR -RR412437727RRDHRR32DFDH3. 一个球与底面边长为一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面的正四棱锥的底面和侧面都相切和侧面都相切.若平行于棱锥若平行于棱锥 底面且与球相切的平面截棱锥，底面且与球相切的平面截棱锥，