六年级奥数题解高难度

1、1. 图形：高等难度如图,长方形 ABCg, E为的AD中点,AF与BE BD分别交于 G H, OE垂直AD于E, 交 AF于 Q AH=5cm HF=3cm 求 AG.答案：由于A3 " DF ,利用相似三亩形性质可以得到AB=HF = 5 *又由于E为Q中点,那么有0E:FD = l：2f所以X5: 0E-5; ： = M : 3 ,利用相彳胞角形性质可以得到AG.G0AB：0£=W：3J而 AO =：i-4F+ 3 = 4| an i j 所以 jg = 4 x = i an i .22 jH 13,2. 牛吃草：高等难度一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库.5台

2、抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.假设要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机牛吃草答案：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天 20X 5=100台.水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天 6X15=90台.每天流入的水可供多少台抽水机抽1天?100-90 + 20-15 =2 台.原有的水可供多少台抽水机抽 1天?100-20 X 2=60台.假设6天抽完,共需抽水机多少台60+什 2=12 台.答：假设6天抽完,共需12台抽水机.3. 应用题：高等难度我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收 6.9元,用量超过8立方米的除

3、交6.9元外,超过局部每立方米按一定费用交费,某饭店 1月份煤气费是82.26元,8月份煤气费是40.02元,又知道8月份煤气用量相当于 1月份的,那么超过8立方米后,每立方米煤气应收多少元应用题答案：根据题意可知,这两个月份都超出了 8立方米,8月份交了&9元加上40,02-&元, 1月份交了房元加上8顼i-&9 = 75*元,其中33一12元和75 36元是超出的局部.由于8月份煤气用量相当于1月份的匚,可以把S月份煤气用量看作7份,1月份煤气用量 15看作访份.1月份比8月份多用了 8份,多交寻75.3833.12 = 42.24元；所以这4224元就 对应8份,

4、那么33_12元对应33.14224x8=15,所以6一9元局部8立方米对应7普蛇份,1份为8.1 = 11立方米.由于42一24元就对应8份,所以超过泣方米后. 每立方米煤气应收#2 24llxS = 0.48元.4. 乒乓球练习逻辑：高等难度甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球练习,每局 2人进行比赛,另1人当裁判.每 一局的输方去当下一局的裁判, 而由原来的裁判向胜者挑战.半天练习结束时,发现甲共打 了 15局,乙共打了 21局,而丙共当裁判5局.那么整个练习中的第 3局当裁判的是 .乒乓球练习逻辑答案：此题是一道逻辑推理要求较高的试题.首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的.那

5、么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数.丙当了 5局裁判,贝U甲乙进行了 5局；甲一共打了 15局,那么甲丙之间进行了 15-5=10局;乙一共打了 21局,那么乙丙之间进行了 21-5=16局；所以一共打的比赛是 5+10+6=31局.此时根据条件无法求得第三局的裁判.但是,由于每局都有胜负, 所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配,就是说不可能出现上一局是甲乙,接下来的一局还是甲乙的情况,必然被别的对阵隔开.而总共31局比赛中,乙丙就进行了 16局,剩下的甲乙、甲丙共进行了 15局,所以类似于植树问题,一定是开始和结尾的两局都是乙丙,中间被甲乙、甲丙隔开

6、.所以可以知道第奇数局第1、3、5、局的比赛是在乙丙之间进行的.那么,第三局的裁判应该是甲.5. 唐老鸭和米老师赛跑：高等难度唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑,米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原来速度的 nx 10啊退一分钟,然后再按原来的速度继续前进.如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少是 次 唐老鸭和米老师赛跑答案 ：第n次米倒退距离牧1血5 = 12伽设唐需对米发x次指令x次共计12 5 1 + 2 + K= 0 51 +2 M 25忒1 +对唐老鸭时间是

7、10000-100 = 100使唐胜利'米在lOOmin内距离必须小于1000 100-rxi25-6 戚工+1 <10000 尝试得至少13次6. 逻辑推理：高等难度数学竞赛后,小明、小华、小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人 得铜牌.王老师猜测："小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌."结果王老师只猜对了一个.那么小明得牌,小华得牌,小强得牌.逻辑推理答案：逻辑问题通常直接采用正确的推理,逐一分析,讨论所有可能出现的情况,舍弃不合理的情形,最后得到问题的解答 .这里以小明所得奖牌进行分析.解：假设"小明得金牌"时,小华

8、一定"不得金牌",这与"王老师只猜对了一个"相矛盾, 不合题意.假设小明得银牌时,再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌,小强得铜牌,那么王老师没有猜对一个,不合题意；如果小华得铜牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个, 也不合题意.假设小明得铜牌时,仍以小华得奖情况分别讨论 .如果小华得金牌,小强得银牌,那么 王老师只猜对小强得奖牌的名次,符合题意； 如果小华得银牌,小强得金牌,那么王老师猜 对了两个,不合题意.综上所述,小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意.7. 抽屉原理：高等难度一副扑克牌去掉两张王牌,每人随意摸两张牌,至少有多少人才能保

9、证他们当中一 定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的抽屉原理答案：扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4种花色,2张牌的花色可以有：2张方块,2张 梅花,2张红桃,2张黑桃,1张方块1张梅花,1张方块1张黑桃,1张方块1张红桃,1 张梅花1张黑桃,1张梅花1张红桃,1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组 看作10个抽屉,只要苹果的个数比抽屉的个数多 1个就可以有题目所要的结果.所以至少有 11个人.8. 奇偶性应用：高等难度在圆周上有1987个珠子,给每一珠子染两次颜色,或两次全红,或两次全蓝,或一次 红、一次蓝.最后统计有1987次染红,1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝

10、两种 颜色.奇偶性应用答案：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色,即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色,第二次必然还仅染这m个珠子为红色.那么染红色次数为2m次. 2m方987 偶数 福数假设不成立.至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色.9. 整除问题：高等难度一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数整除问题答案：这是一道古算题.它早在孙子算经?中记有："今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何"关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得

11、知 ."意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数 乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105,那么就 减去105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解 .其解法如下：方法 1 : 2X 70+3X 21+2X 15=233233-105 X 2=23符合条件的最小自然数是 23.10. 平均数：高等难度有4个不同的数字共可组成 18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成 一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数.那么这18个数的平均数是：.平均数答案：一般而言,4个不同的数学共可组成=24个不同的4位

12、数如果只能组成18个不同的4位数,说明其中必有0,这样才会组成3x3x2x1 = 15企不同 的4也所在这四个不同的数中,那么设最小的数 戒=冰,倒数第二个那么是抵 F 两数正好是一对反序数.根据完全平方数的特点,八.两数必是1、4、5、之中的两个,且b在如.之间.可以分为以下4类：当g 4时,在1024、1.34中'只有1024为完全平方教,但42DL不是！当.=5时,在1025、1035. 1045中没有完全平方数；当.=6时,在1026. 1036> 10如、1056.如6&中也没有完全平方数！间当c =9时在形为福的数中,只有33； -1089 ,而琳.1符合题意

13、;在形为而面的数中,由于63： =3969, 67J4489,均不符合:在形为观的数中,由于73; = 5329 ,不符合g在形为丽的数中,由于77： =5929 ?不符合所以,符合条件的数只能是由1、.、8, 9四个数组成的四位数.求这18个数的和有两种方法,一种是枚举法,另一种是概率法.概率法的大致思路如下；对于没有.的四位数g b" 团顷城互不相同的四位数时, 共有24个数,每个数字在每个数位上出现的概率是一样的,所以“每个数字在每个数位上都出现24" =6次.那么总和为：豚6x1111.而其中如果有一个数是0,那么在此根底上,考虑.作苜位的局部要排除,即为： x6x

14、lilH£Hi+£j )4- xlilcbhind x6444 所以此题中 18 个数的总和为1-8+9)x6444 ,所以,g 18 个数的平均数为 11 -8- 9E444-18 = 6444 .I12. 追击问题：(高等难度)如以下图,甲从 A出发,不断往返于 AB之间行走.乙从 C出发,沿C E F D C围绕 矩形不断行走.甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,甲从背后第一次追上乙的地点离 D点 米.EFACDB4080米,CD二EF二 120米,CE=DF0米,£)3=100米追击问题答案假设甲要从背后追上乙,只有甲从Df.时才有可能,且当甲到达D时

15、,在DC上乙离D的 距离不能超过120-120-5x4-24米.而甲耳一次以上述行走方向到达D时,要用SQ-12.-100-100)+5 = 80秒,以后每隔 (80120 + 100)x2 + 5=120 秒到达一次.乙走一圈的距离为Q20 30)x 2 = 300米.设当甲第工次以上述行走方向到达D时,乙在DC上离D的距离不超过*米.由于此时甲共走了印-1%1)机所以乙走了 4申0.120(1)米,而淀的路程比300 米的整数倍多出来的局部在30x2120=180米和15024=204米之间,所以有 4 x 80+120(x1)除以双I的余数在18.到204之间,01(480*160)除以

16、300的余数在 180 204 之间.即48CU除以300的余数在40、64之间,也即1$0工除以300的余数在44 64之间显然当工=2时,360700的余数N&0,在40-64之间,这时乙走4x(80+120x(21)-800米,离D点800 -300x2-180 = 20米.那么当甲追 上 N 时离 D 点 20+(5-4)x5-100 米.12.正方形：(高等难度)如以下图,ABC*一边长为4cm的正方形,E是AD的中点,而F是BC的中点.以C 为圆心、半径为 4cm的四分之一圆的圆弧交 EF于G,以F为圆心、半径为 2cm的四分之一 圆的圆弧交EF于H点,假设图中耳和E两块面

17、积之差为Jwsgn')其中叭M为正整数),请问冲-河 之值为何正方形答案C去 1) S&de = 2x4 = Sc 研'j Sjj=x 席 x 4 = 4丁 (cm*),S击 bfh=一 * 翼 x 2=ji( cm今而 S - S： = $玉泓 &矽既j? S氏= 3fi S (cnr I,所以 m =3 f n =S , /w-?7 = 3-!-S=11 .法2 如右上图,S + Sr = 5京w：2乂42x2x71 予4=8it (on ), $1 + $上=SJSCD 一$重号皿= 4x4-4x4x-r4 = 16-4(cm:)所以,S. -S, =(8

18、-Jt)-(16-4;t) = 37t-S (on2),+ rt = 3-8 = 11 .13. 求面积：高等难度以下图中,ABCD是边长为1的正方形,A,E,F,G,H分别是四条边 AB,BC,CD,DA的中点,计算图中红色八边形的面积.求面积答案：如图,易知蓝边正方形面积为7,AABD面积为:,ABCD面积为二, 5820113所以ZUBC面积为-=二,可证AE： EB=1：4, 8 20 40黄色三角形面积为ABC的1,等于,由此可得,所求八边形的面积是:912014xJ- = l5120 6至此,我们对各局部的面积都已计算出来,如以下图所示【又解】设O为正方形中央对角线交点,连接 OE

19、 OF,分别与AF、BG交于M N,111设AF与EC的交点为P,连接OP AMOF的面积为正方形面积的 挽,n为OF中点, OPN_面积等于 FPN面积,又2 OPN面积与AOPM面积相等,所以 OPN面积为 MOF面积的3 ,为正方形面积的48 ,八边形面积等于 opm面积的8倍,为正方形面积的 & .14. 阴影面积：高等难度如右图,在以AB为直径的半圆上取一点 C,分别以AC和BC为直径在AABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时,图中两个弯月型阴影局部AEC和BFC的面积和最大.阴影面积答案两弯月形面积=-"AuLxEL = ix JCxCS S S 22此

20、题即ACX BC何时有最大值因AC2 + BC'=：,当璀时,JC2x5C:=.4C:x5C:W最大值,此时ACXBC有最大值,即M=BC时,阴影面 积最大.15. 巧克力豆：高等难度甲、乙、丙三人各有巧克力豆假设干粒,要求互相赠送.先由甲给乙、丙,甲给乙、丙的豆数依次等于乙、丙原来各人所有豆数.依同方法,再由乙给甲、丙,所给豆数依次等于甲、丙各人现有的豆数.最后由丙给甲、乙,所给的豆数依次等于甲、乙各人现有的豆数.互赠后每人恰好各有豆32粒,问原来三人各有豆多少粒巧克力豆答案甲-乙丙最后:左3232丙未粉甲和乙时:151664乙未娥甲和W：85632甲瓶乙岫:5228ie答：甲、乙、

21、丙原有巧克力豆各为52粒、28粒、16粒16. 分数方程：高等难度假设干只同样的盒子排成一列,小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出,小明从每支盒子里取出一个小球,然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聪回来,仔细查看,没有发现有人动过小球和盒子.问：一共有多少只盒子准确值案：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球,现在增加了 b只,由于小聪没有发现有人动过小球和盒子,这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子,而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样,现在另有一个盒子装有 (a+1)个小球,这只盒子里原来装有(a+2"小球.类推,原来还有一只盒子装有(a+3)个小球,(a+4)个小球