2020届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1 1 已知集合Ax|y .F,By | y ig(x 1)，则AUB()A A . 1,)B B.(1,)C C.0,)D D.R【答案】D D【解析】分别解得集合Ax|x1,BR，利用并集运算得解 【详解】因为Ax|x-1,BR，所以AU BR,故选：D.D.【点睛】本题主要考查了求对数型函数的值域及并集的运算，属于基础题2 2 .若二1aibi(a,bR)，则a2019.2020b( )A A .1B B. .0 0C C.1 1D D . 2 2【答案】D D【解析】整理2abi可得：

2、1 ia bi,问题得解1i【详解】2因为2abi，所以1 i a bi,所以a1,b1,1 i所以a2019b20202,故选：D.D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题. .v v厂vvr r3 3.若a bV5, a （1,1）,b1，则a与b的夹角为（）A. 6 6B.；C .-3D D .2【答案】 B B【答案】B B第 2 2 页共 2020 页【解析】 对a b亦两边平方可得：v22b b25，再利用平面向量数量积【答案】B B第 2 2 页共 2020 页的定义计算得解【详解】所以4故选：B.B.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义及计算能力

3、，属于基础题3213n的前n项和为Sn，若33 - ,S3，则3.的公比为（）441卡1A A . 一或一32【答案】A A2q21 q q1解得q或q2故选：A.A.【点睛】于基础题. .设v与b的夹角为，由条件vb2x 5， 有a22ab即2 2.2 1 cos 15，所以cos2，又20,4 4.已知等比数列【解析】利用已知可得:aiq-及31421，联立方程组，解方程组即可4得解 【详设等比数列an的公比为q,则a3ag23,S3a114217，所以两式相除,6q2本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了方程思想及计算能力， 属5 5.已知点P在圆0: x2y21上，角的

4、始边为x轴的非负半轴，终边为射线OP,【答案】B B第 2 2 页共 2020 页则当sin2sin取最小值时，点P位于（）A A .x轴上方B B.x轴下方C.y轴左侧D.y轴右侧第5 5页共 2020 页【答案】C C【解析】按流程图逐一执行即可得解【详解】执行程序框图，可得i0,S0,满足i3,执行循环体，i 1,S121;满足i3,执行循环体，i 2,S1 225;满足i3,执行循环体，i 3,S5 3214;不满足i 3，退出循环体，输出S的值为 1414,12【解析】直接利用二次函数的性质即可得到：当sin时，sin2sin2值，结合三角函数值的正负与角的终边的关系得解【详解】取最

5、小因为sin2sin211sin-24所以当sin-时，sin2sin取最小值,2此时点P位于x轴下方,故选：B.B.【点本题主要考查了二次函数的性质及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题6 6 执行如图所示的程序框图，若输入的n 3，则输出的S()B B. 5 5C C. 1414D D. 3030第6 6页共 2020 页故选：C.C.【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题7 7 .在VABC中，角A,B,C的对边分别为a, b,c，已知（2b c）cos A a cosC，则A( )25A .-B B.C C.D.6 6336【答案】 B B【解析】

6、 对2bc cosAa cosC利用正弦定理可得：2sinB sinC cosA sinAcosC，整理可得：2sinBcosA sinB，问题得解【详解】因为在VABC中，角A, B,C的对边分别为a, b,c,2b c cosA a cosC,所以由正弦定理得：2sinB sinC cosA sinAcosC,所以2sin BcosA si nA cosC sinC cosA sin A C si nB,因为OB，所以cosA -，又0 A，所以A -23故选：B.B.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了两角和的正弦公式，属于中档题. .8 8若函数f（x） （sinx）l

7、n.x2a x）是偶函数，则实数a（）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D.2【答案】C C【解析】由已知及y sinx是奇函数可得：y ln . x2a x是奇函数，利用奇函 数定义列方程可得：ln x2a x ln x2a x，整理得解. .【详解】因为f xsinx ln - x2a x是偶函数，y sinx是奇函数，所以y lnx2a x是奇函数，所以ln . x2a x ln - x2a x,所以In JTa x In JXa x 0，所以In x2a x20,第7 7页共 2020 页所以Ina 0，所以 a a 1 1 ,故选：C.【点睛】本题主要考查了奇函数定义及

8、分析能力，还考查了计算能力，属于中档题9 9 由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的国学小名士第三季于20192019 年 1111 月 2424 日晚在山东卫视首播. .本期最精彩的节目是 的飞花令：出题者依次给出所含数字 3.1415926533.141592653答题者则需要说出含有此数字的诗句. .雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK，赛况激烈让人屏住呼吸，最终的飞花令突破 204204 位 某校某班级开元旦联欢会，同学们也举行了一场的飞花令，为了增加趣味性，他们的规则如下：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为x,y，再取出

9、的小数点后第x位和第y位的数字，然后说出含有这两个数字的一个诗句，若能说出则可获得奖品 按照这个规则，取出的两个数字相同的概率为（）1172 2A A B B.C C D D -186369 9【答案】D D【解析】 列出所有的基本事件，再利用古典概型概率计算公式得解【详解】取出 的小数点后第x位和第y位的数字，基本事件共有 3636 个：1 14 41 15 59 92 21 1(1 1 , 1 1)(1 1 , 4 4)(1 1 , 1 1)(1 1 , 5 5)(1 1, 9 9)(1 1, 2 2)4 4(4 4, 1 1)(4 4, 4 4)(4 4, 1 1)(4 4, 5 5)(

10、4 4, 9 9)(4 4, 2 2)1 1(1,11,1)(1 1 , 4 4)(1 1 , 1 1)(1 1 , 5 5)(1 1, 9 9)(1 1, 2 2)5 5(5 5, 1 1)(5 5, 4 4)(5 5, 1 1)(5 5, 5 5)(5 5, 9 9)(5 5, 2 2)9 9(9 9, 1 1)(9 9, 4 4)(9 9, 1 1)(9 9, 5 5)(9 9, 9 9)(9 9, 2 2)2 2(2 2, 1 1)(2 2, 4 4)(2 2, 1 1)(2 2, 5 5)(2 2, 9 9)(2 2, 2 2)取出的两个数字相同的基本事件共有8 8 个:第8 8页共

11、 2020 页1,1 , 2,2 , 3,3 ,4,4 , 5,5 , 6,6 , 1,3 , 3,1,其中括号内的第一个数表示第x位的取值，第二个数表示第y位的取值,8 2所以取出的两个数字相同的概率为P P8 2,369故选：D.D.【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式，属于基础题1010 .已知sin -6COS， 贝Usin2sin2B B.【答【解整理sincos可得: sin2【详解法一:因为sincos所以丄cos2sin2.3cos21 .sin2所以Jsin.3 1cos,2所以sincos，所以tan1,所以k2kZ，所以sin2故选 A.A.解法二：由sin 6co

12、s 6，同上可得：tan所以sin22sin cos2sin cos.2 2sin cos2tantan2故选：A.A.【点本题主要考查了两角和的余弦公式及两角差的正弦公式,还考查了计算能力，属于中档题 2 21111.已知圆M的圆心为双曲线C:卑 若1(a 0,b 0)虚轴的一个端点，半径为a ba b，若圆M截直线l: y kx所得的弦长的最小值为2、3b，则C的离心率为(第9 9页共 2020 页合MA a b可得：a b，问题得解【详解】圆M截直线I : y kx所得的弦AB的长最小，此时OA J3b，OM b，MA J|OM f |0A2b，又圆M的半径MA a b，所以2b a b

13、，即a b，所以c、lFb、2a，所以C的离心率e -勺，a故选：C.C.【点睛】 本题主要考查了双曲线的离心率知识，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题 1212已知f (x)是定义在R上的函数 f(x)f(x)的导函数，且f(l x) f (1 x)e2x，当x 1时，f (x) f (x)恒成立，则下列判断正确的是(A A e5f( 2) f (3)5C C -e f(2) f( 3)【答案】A AB B f( 2) e5f (3)5D D f (2) e f( 3)f xg x，利用导数知识可得:e【解析】整理f 1 x2 x十1 x e可得：f 1 x1 xe，即可构造函数:3【答

14、案】C CB B- IOIO【解析】由弦AB的长最小可得：OAJ3b,OM b，即可求得:MA 2b，结g x在 1,1, 上单调递增，结合g x的图象关由条件知当I y轴时,第1010页共 2020 页于直线x1对称即可解决问题 【详解】构造函数gYf x因为f 1xf1 x2xef所以:1 xf 1 xgAx?D1 y、1 x1 xeee则g 1xg 1 x，所以g x的图象关于直线x 1对称，因为当x1时,f xf x，所以gxfxf xx0,xe所以g X在 1,1,上单调递增,所以有g 3 g 2 ,g 2 g 3，即L_LLL丄LL ,ee ee55即e f 3 f 2,e f 2

15、 f 3, 故选：A.A.【点睛】属于难题. .二、填空题1313 .若Sn是等差数列an的前n项和，且S 18，则 a a5_. .【答案】2 2【解析】由等差数列前n项和公式整理S918可得：9a518，问题得解【详解】9 a1a99 2a5因为S9-518,22所以9a518，解得a2. .故答案为：2【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式及等差数列的下标和性质，属于基础题X 1e ,x, 1,f (x 1),x【答案】3 3本题主还考查了构造能力、计算能力及转化能力,1414 .若函数f (X)，贝 U U f f(ln3)(ln3)1,第1111页共 2020 页f In3 13

16、，问题得解. .【详解】因为In3 1,所以f In3 f In3 1,故答案为：3【点睛】 本题主要考查了分段函数函数值的计算，考查计算能力，属于基础题2 215已知F1，F2是椭圆C:?6 b21(0 b 4)的左、右焦点，点P在C上，线段PF1与y轴交于点M，0为坐标原点，若OMPF|F2的中位线，且|OM I 1，则PF1 _. .【答案】6 6【解析】利用0MPF”的中位线可得：0M 1，即可求得|PF22，结合椭圆定义列方程得解 【详解】如图所示，因为0MPF1F2的中位线,且0M 1，所以PF22，本题主要考查了椭圆定义的应用及转化能力，属于基础题 1616 四面体ABCD中，A

17、BD和VBCD都是边长为2 3的正三角形，二面角【解析】由In3 1及f xx 1e ,x, 1 f x1 , x1可得:f In3f In3 1，即可求得:因为In3 11，所以f In3 1eIn33，所以f In33. .2aPF22 4 2 6. .第1212页共 2020 页A BD C大小为 120120 则四面体ABCD外接球的体积为_第1313页共 2020 页【答案】28.73【解析】 过球心0分别作平面ABD、平面BCD的垂线，垂足分别为01,02，利用已知可证得：O1HO2为二面角A BD C的平面角，解三角形即可求得外接球半径R . 7，问题得解. .【详解】则0Q分别

18、为ABD和VBCD的外心,取H为BD中点，连结OiH、O2H，因为ABD和VBCD都是边长为2 3的正三角形，所以01H BD，02H BD，所以O1HO2为二面角A BD C的平面角，即OiHO2120，在RtVOOiH中，01H1 32 3 1，0H01101H0260，322所以00101H tan OHO13，在Rt001A中，01A 201H 2，所求的外接球半径R 0A 00201A23 4. 7，所以四面体ABCD外接球的体积V4R3 28 7. .33故答案为：旦乙3【点睛】如图，过球心0分别作平面ABD、平面BCD的垂线，垂足分别为01,02，第1414页共 2020 页本题

19、主要考查了几何体外接球半径计算，还考查了二面角证及计算能力、空间思维能力，属于中档题 三、解答题1717 .已知函数f(x) 2 sin x cos x sin x 1. .8 8 8(1(1)求 f f (x)(x)的最小正周期;(2(2)将函数 f f (x)(x)的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列xn，令(2)计算函数f x的所有正的零点为：x 4k 1,k Z，即可求得:&111，问题得证44n 1【详解】2(1 1)因为f x 2sin2x82sin x cos x 1 sinx cosx8844 2si nx 44所以f x的最小正周期T84(2 2) 由 1

20、1f x,2sin 4x 40得sin x 044解得x_k,即x4k 1,k Z,44所以Xn4n 3,n*N,111 1 1所以anA BD C的平面角推理论1,Sn为数列XnXn 1【答案】(1 1)8; (2 2)见解析启“匸x问题得解. .Xn4n 3,n N,即可求得：an14n 3 4n 1，再利用裂项相消法求和可得:xnxn 14n 3 4n 14 4n 3 4n 1an余弦公式及辅助角公式整理sin x 1可得:8第1515页共 2020 页11 1 1L9 134n 3 4n 1知识，考查转化能力及计算能力，属于中档题1818如图，四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD,A

21、B AC,AB/CD,(2 2)若PA AB AC 2，求点B到平面PCF的距离 【答案】(1 1)见解析；(2 2)丄63【解析】(1 1)由已知可得：EF/PA，即可证得：EF/平面PAD，再证明四边形ADCF为平行四边形即可证得CF/AD，即可证得：CF/平面PAD，命题得证 (2(2)利用等体积法得：VBPCFVPBCF, 整理计算得解【详解】(1) 证明：因为E,F分别为PB, AB的中点，所以EF/PA,因为EF平面PAD,PA平面PAD，所以EF/平面PAD因为AB/CD, AB 2CD，所以AF/CD, AF CD,所以四边形ADCF为平行四边形，所以CF/AD因为CF平面PA

22、D,AD平面PAD，所以CF/平面PAD因为EF I CF F,EF,CF平面EFC，所以平面PAD/平面EFC(2)解：因为AB AC,AB AC 2,F为AB中点，11所以SVBCF BF AC 1 21,22所以Sn111451 1 11 -4 4n 14【点本题主三角函数周期公式及裂项相消法求数列的前n项和第1616页共 2020 页因为PA平面ABCD,所以VpBCF1SVBCFPAI1 2 -333因为PFCF5, PC2：2,所以S/PCF1PC PF22PC12 2.6，2V22设点B到平面PCF的距离为h，因为VBPCFVPBCF所以-一6 h ,所以B到平面PCF的距离h3

23、33【点睛】本题主要考查了面面平行的判定定理及转化能力，还考查了利用等体积法求点面距离,考查了空间思维能力及计算能力，属于中档题1919 某工厂加工产品A的工人的年龄构成和相应的平均正品率如下表：年龄(单位：岁)20,30)30,40)30,40)40,50)50,60)人数比例0.30.30.40.40.20.20.10.1平均正品率85%85%95%95%80%80%70%70%I画出该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图；(2)估计该工厂工人加工产品A的平均正品率；(3)该工厂想确定一个转岗年龄x岁，到达这个年龄的工人不再加工产品A，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品A的平均正品率

24、不低于 90%90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计x最高可定为多少第1717页共 2020 页第1818页共 2020 页【答案】(1 1)年龄频率分布直方图见解析;【解析】(1 1)禾U用已知数据绘图即可. .(2)(2) 直接利用均值公式计算得解 . .(3)(3) 利用已知及均值公式列方程可得：(2(2)86.5%； (3 3)最高可定为 42.542.5 岁【详解】(1(1 )该工厂加工产品 A A 的工人的年龄频率分布直方图如下85% 0.3 95% 0.4 80% 0.2 70% 0.125.5% 38% 16% 7% 86.5%85%

25、 0.3 95% 0.4 80% 0.2“ “心(3 3)因为86.5% 90%,88.3%90%,0.3 0.4 0.2x 4085% 0.3 95% 0.4 80% 0.2 -由込x 400.3 0.4 0.2 -10得x 42.5,所以为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于 90%90%，估计x最高可定为 42.542.5 岁. .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的绘制，还考查了均值计算公式，考查作图能力及计算能力，属于中档题. .2020 已知F(1,0)，点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为岁？85% 0.3 95% 0.4 80% 0.2x 40100

26、.3 0.4 0.2x 401090%，解方程即可90%,第1919页共 2020 页曲线C. .(1(1)求曲线 C C 的方程;(2(2)若曲线 C C 在点 P P 处的切线的斜率为 K K，直线PF的斜率为k2，求满足k1k23的点P的个数. .【答案】2(1(1)y 4x( y 0)；( 2 2) 2 2【解析】(1)设P x,y ,x0,y0,利用以PF为直径的圆与y轴相切列方程可得:PF，整理可得:2Y 4x(y 0)，问题得解. .(2(2)设 P P2AYQ，利用导数求得:k1 ，结合k2YQ及k1k23YQ4可得：3y326YQ12YQ0，构造函数:32x 3x 6x12x

27、8并利用导数知识可判断f x在0,内有且只有两个零点，问题得解【详解】(1(1)设 P Px, y ,x 0,y又F 1,0，则PF中点坐标为因为以PF为直径的圆与y轴相切,整理,(2)由kiPF，即得C的方程为y24x( y由y24x( y 0)，得yk20). .YQ0，3x3YQ2沧144YQY04，2即y。4YQ2YQ3，得3y；6y012 y80()，6x212x第2020页共 2020 页0，第2121页共 2020 页22由f x 9x 12x 12 0，得x，或x 2,3因为当x 0,2时，f x 0,当x 2,时，f x 0,所以f x在0,2上递减，在2,上递增，又f 08

28、0, f 216 0, f 4560, f x的图象连续不断所以f x在0,内有且只有两个零点，所以方程（）有且只有两个不同的正根，所以满足k23的点P的个数为 2.2.【点睛】本题主要考查了求曲线方程的方法及利用导数判断函数的单调性、 的个数，考查了转化能力及计算能力，属于难题2121 已知函数f(x) (x 1)ex-x22（i）求g（x）的单调区间，问题得证 【详解】利用导2x，g(x)（2 2）已知 f f （x x）有两个极值点x,x2X2且f X152e10,求证:【答(1)g（x）在（，o）,）上是增函数；（2 2）见解析【解(1)求导可得：g x） exW 0,结合x 0即可求

29、得函数gXx的单调区(2(2)由有两个极值点X1,X2X1X,X2可得：te2(X10），即可求得:f x12X1XX1X10） ， 构造函数:结合fX12e可得:x(x0）， 利用导数知识可得:1，即可求得:1X,0上为减函数,0,即可证得:(1)g x的定义域为,00,0，第2222页共 2020 页因为当x 0时，g x） ex2第 i i2323页共 2020 页所以g x在，0,0,上是增函数所以 X X!,X,X2是g x的两个零点,【点睛】(2)因为f x有两个极值点x1,x2XiX2,x所以 X Xi,X,X2满足f x xe tx 20，即ex-t 0的两个根为 X Xi,X

30、,X2，X由(1 1)可知g x在,0和0,内分别至多有一个零点,又 X XiX X2，所以Xi0，ei2xi，所以fxixii eXi-xi22xi2Xii eXieXi xi22xixi2XiXi所以因为xi52ex 1 exx（x0)，则,0上为减52exi所以xi所以，即丄2 te所以2. .本题主函数极值与导数的关系及利用导数证明不2第 i i2424页共 2020 页等式，还考查了转化能力及计算能力、构造能力，属于难题x2222 .已知曲线C的参数方程为ycos (为参数)，直线I过点P(i,2)且倾斜角tan ,为 6.6.(i)求曲线C的普通方程和直线I的参数方程;(2(2)设I与C的两个交点为2【答案】(i i) y24i，1于t,_2（t为参数）；（2 2）32 4.32t第2525页共 2020 页【解析】(1 1)整理得cos-及sin2y，结合sin2cos21可得曲线C的普通方程为：xx2xy21，再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参