材料力学第12章

1、TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 起重机在开始吊起重物的瞬时，重起重机在开始吊起重物的瞬时，重物具有向上的加速度物具有向上的加速度a，重物上便有方向，重物上便有方向向下的惯性力。这时吊起重物的钢丝绳，向下的惯性力。这时吊起重物的钢丝绳，除了承受重物的重量，还承受由此而产生除了承受重物的重量，还承受由此而产生的惯性力，这一惯性力就是钢丝绳所受的的惯性力，这一

2、惯性力就是钢丝绳所受的动载荷动载荷(dynamics load)；而重物的重量则；而重物的重量则是钢丝绳的是钢丝绳的静载荷静载荷(statics load)。作用在。作用在钢丝绳的总载荷是动载荷与静载荷之和：钢丝绳的总载荷是动载荷与静载荷之和：WagWWmaFFFstIT式中，式中，FT为总载荷；为总载荷；FI与与Fst分别为动载荷与静载荷。分别为动载荷与静载荷。 TSINGHUA UNIVERSITY按照单向拉伸时杆件横截面上的总正应按照单向拉伸时杆件横截面上的总正应力力 WagWWmaFFFstITNTTstIFFAA其中 aAgWAWIst,分别称为分别称为静应力静应力(statics

3、stress)和和动应力动应力(dynamics stress)。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密度为度为 ，轮缘平均半径为，轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面，轮缘部分的横截面积为积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简设计轮缘部分的截面尺寸时，为简单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而将飞轮简化为将飞轮简化为平均半径等于平均半径等于R的圆环。的圆环。 由于飞轮作等角速度转动，其上各点均只由于飞轮作

4、等角速度转动，其上各点均只有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布力。向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布力。TSINGHUA UNIVERSITY 为求惯性力，沿圆周方向截取为求惯性力，沿圆周方向截取ds微弧段微弧段， ddRs 微段圆环的质量为微段圆环的质量为 dddARsAm于是，微段圆环上的惯性力大小为于是，微段圆环上的惯性力大小为 22IdddFRmRAR 为计算圆环横截面上的应力，采用截面法，沿直径将圆为计算圆环横截面上的应力，采用截面法，沿直径将圆环截为两个半环。其中环截为两个半环。其中F FT T为

5、环向拉力，其值等于应力与面积为环向拉力，其值等于应力与面积乘积。乘积。 dsTSINGHUA UNIVERSITY 以圆心为原点，建立以圆心为原点，建立Oxy坐标系，由坐标系，由平衡方程，平衡方程， 0yF有有其中为其中为dFIy半圆环质量微元惯性力半圆环质量微元惯性力dFI在在y轴上的投影，其值为轴上的投影，其值为 02dT0IFFydsind22IARFy飞轮轮缘横截面上的轴力为飞轮轮缘横截面上的轴力为 其中，其中，v为飞轮轮缘上任意点的速度。为飞轮轮缘上任意点的速度。 222022Tdsin21AvARARFTSINGHUA UNIVERSITY222022Tdsin21AvARARF

6、当轮缘厚度远小于半径当轮缘厚度远小于半径R R时，圆环横截面上的正应力可时，圆环横截面上的正应力可视为均匀分布，并用表示。于是，飞轮轮缘横截面上的总应视为均匀分布，并用表示。于是，飞轮轮缘横截面上的总应力为力为 2TNIstTvAFAFx可见，由于飞轮以等角速度转动，其轮缘中的正应力与轮缘可见，由于飞轮以等角速度转动，其轮缘中的正应力与轮缘上点的速度平方成正比。上点的速度平方成正比。 设计时必须使总应力满足设计准则设计时必须使总应力满足设计准则 TSINGHUA UNIVERSITY2NTTstIFFvAA设计时必须使总应力满足设计准则设计时必须使总应力满足设计准则 T 这一结果表明，为保证飞

7、轮强度，对飞轮轮缘点的速度这一结果表明，为保证飞轮强度，对飞轮轮缘点的速度必须加以限制，使之满足必须加以限制，使之满足设计准则设计准则 。工程上将这一速度称为。工程上将这一速度称为极限速度极限速度(limited velocity)；对应的转动速度称为；对应的转动速度称为极限转速极限转速（limited rotational velocity）。）。 vTSINGHUA UNIVERSITY v 上述结果还表明：飞轮中的总应力与轮缘上述结果还表明：飞轮中的总应力与轮缘的横截面积无关。的横截面积无关。因此，增加轮缘部分的横因此，增加轮缘部分的横截截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力，面积，

8、无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力，对于提高飞轮的强度没有任何意义。对于提高飞轮的强度没有任何意义。 TSINGHUA UNIVERSITY 图示结构中，钢制图示结构中，钢制AB轴的中点处固结轴的中点处固结一与之垂直的均质杆一与之垂直的均质杆CD，二者的直径均为，二者的直径均为d。长度。长度ACCBCDl。轴。轴AB以等角速以等角速度度绕自身轴旋转。已知：绕自身轴旋转。已知：l=0.6 m ，d80 mm，40 rads；材料重度；材料重度7.8 N/m3，许用应力，许用应力=70 MPa。轴轴AB和杆和杆CD的强度是否安全。的强度是否安全。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGH

9、UA UNIVERSITYqI(x)TSINGHUA UNIVERSITYxFNIFNI(x)FNImaxMxxFNITSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 现以简支梁为例，说明应用机械能守恒原理计算冲击载荷现以简支梁为例，说明应用机械能守恒原理计算冲击载荷的简化方法。的简化方法。 图示之简支梁，在其上方高度图示之简支梁，在其上方高度h处，有一重量为处，有一重量

10、为W的物的物体，自由下落后，冲击在梁的中点。体，自由下落后，冲击在梁的中点。 TSINGHUA UNIVERSITY 冲击终了时，冲击载荷及冲击终了时，冲击载荷及梁中点的位移都达到最大值，梁中点的位移都达到最大值，二者分别用二者分别用Fd和和d表示，其中表示，其中的的下标下标d表示冲击力引起的动载表示冲击力引起的动载荷荷，以区别惯性力引起的动载，以区别惯性力引起的动载荷。荷。这梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为这梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为k。 假设重物下落之前的位置以及梁没有发生变形时的位置为假设重物下落之前的位置以及梁没有发生变形时的位置为位置位置1；冲击终了的瞬时，即梁和重

11、物运动到梁的最大变形；冲击终了的瞬时，即梁和重物运动到梁的最大变形时的位置为时的位置为位置位置2。考察这两个位置时系统的动能和势能。考察这两个位置时系统的动能和势能。 FdTSINGHUA UNIVERSITY 重物下落前和冲击终了时，重物下落前和冲击终了时，其速度均为零，因而在其速度均为零，因而在位置位置1和和2，系统的动能均为零，即，系统的动能均为零，即 021TTTSINGHUA UNIVERSITY 以以位置位置1为势能零点，即系为势能零点，即系统在统在位置位置1的势能为零，即的势能为零，即 01V 重物和梁重物和梁(弹簧弹簧)在在位置位置2时的时的势能分别记为势能分别记为V2(W)和

12、和V2(k)： d2hWWV d2221kkVTSINGHUA UNIVERSITY021TT01V d2hWWV d2221kkV 上述二式中，上述二式中，V2(W)为重物的重力为重物的重力从从位置位置2到到位置位置1(势能零点势能零点)所作的功，所作的功，因为力与位移方向相反，故为负值；因为力与位移方向相反，故为负值；梁的势能梁的势能V2(k) 等于冲击力从变形后等于冲击力从变形后的位置的位置2 2到变形前的位置到变形前的位置1时所作的功，时所作的功，故为负值，数值上等于储存在梁内的故为负值，数值上等于储存在梁内的应变能。应变能。 TSINGHUA UNIVERSITYddkF 因为假设在

13、冲击过程中，被因为假设在冲击过程中，被冲击构件仍在弹性范围内，故冲冲击构件仍在弹性范围内，故冲击力击力Fd和冲击位移和冲击位移d之间存在线之间存在线性关系，即性关系，即 这一表达式与静载荷作用下力与这一表达式与静载荷作用下力与位移的关系相似：位移的关系相似： sskF TSINGHUA UNIVERSITY 上述二式中上述二式中k为类似线性弹簧为类似线性弹簧刚度系数，动载与静载时弹簧的刚刚度系数，动载与静载时弹簧的刚度系数相同。式中的度系数相同。式中的s为为W作为静作为静载施加在冲击处时，梁在该处的位载施加在冲击处时，梁在该处的位移。移。 因为系统上只作用有惯性力和因为系统上只作用有惯性力和重

14、力，二者均为保守力。故重物下重力，二者均为保守力。故重物下落前到冲击终了后，系落前到冲击终了后，系统的机械能统的机械能守恒，即守恒，即 1122TVTVddkF sskF TSINGHUA UNIVERSITY1122TVTV从从Fsks中解出常数中解出常数k，并且考虑到静载荷时，并且考虑到静载荷时Fs=W，一并代入上式，一并代入上式，即可消去常数即可消去常数k，从而得到关于，从而得到关于d的二次方程：的二次方程： 021TT01V d2hWWV d2221kkVddkF sskF 021d2dhWk022sds2dhTSINGHUA UNIVERSITY由此解出由此解出 022sds2dhs

15、sd211h 这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：梁的刚度愈小。静位移愈大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击梁的刚度愈小。静位移愈大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小构件载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小构件所承受的冲击力。所承受的冲击力。 ddkF ssFkWdddss211WhFkWsWk TSINGHUA UNIVERSITYssdsd211hWFF 若令上式中若令上式中h0，得到，得到 WF2d这等于将重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷是重物重量的两这等于将

16、重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷是重物重量的两倍。这时的载荷称为倍。这时的载荷称为突加载荷突加载荷。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYssdsd211hWFFTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY图示之悬臂梁，图示之悬臂梁，A端固定，自由端端固定，自由端B的上方有一重物自由的上方有一重物自由落下，撞击到梁上。已知：梁材料为木材，弹性模量落下，撞击到梁上。已知：梁材料为木材，弹性模量E10GPa；梁长；梁长l=2m；截面为；截面为120200mm的矩形，重物高度为的矩形，重物高度为40 mm重量重量W1 kN

17、1. 梁所受的冲击载荷；梁所受的冲击载荷； 2. 梁横截面上的最大冲击正应力与最大冲击挠度。梁横截面上的最大冲击正应力与最大冲击挠度。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 因此，使用动荷因数计算动载荷与动应力时一定要选因此，使用动荷因数计算动载荷与动应力时一定要选择与动载荷情形相一致的动荷因数表达式，切勿张冠李戴。择与动载荷情形相一致的动荷因数表达式，切勿张冠李戴。 有兴趣的同学，不妨应用机械能守恒定律导出水平冲有兴趣的同学，不妨应用机械能守恒定律导出水平冲击时的动荷因数。击时的动荷因数。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 运动物体或运动构件突然制动或突然运动物体或运动构件突然制动或突然刹车时也会在构件中产生冲击载荷与冲击刹车时也会在构件中产生冲击载荷与冲击应力。应力。 这种情形下，如果能够正确选择势能这种情形下，如果能够正确选择势能零点，分析重物在不同位置时的动能和势零点，分析重物在不同位置时的动能和势能，应用机械能守