第五章点的运动学

1、 建立机械运动的描述方法建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系建立运动量之间的关系运动学研究的内容运动学研究的内容t )(12)(ttt 瞬时、时间间隔瞬时、时间间隔运动学的一些基本概念运动学的一些基本概念运动学学习目的运动学学习目的为后续课打基础及直接运用于工程实际。为后续课打基础及直接运用于工程实际。 参考体参考体( (物物););参考系参考系; ;静系静系; ;动系。动系。 运动分类运动分类1)点的运动点的运动 2)刚体的运动刚体的运动运动学运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ( (包括包括: :轨迹，速度，加速度

2、等轨迹，速度，加速度等) )不考虑运动的原因。不考虑运动的原因。 力学模型力学模型1)点点 2)刚体刚体引言引言5 5 点的运动学描述和刚体点的运动学描述和刚体的简单运动的简单运动5.1 5.1 点的运动学描述点的运动学描述5.2 5.2 刚体的平移刚体的平移5.4 5.4 轮系的转动比轮系的转动比5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度5.5.点的运动学描述点的运动学描述( (矢量法）矢量法）一、点的运动方程一、点的运动方程 在参考系上任取一点在参考系上任取一点O为坐标原点为坐标原点 上式称为以上式称为以矢量表示的点的运

3、动方程矢量表示的点的运动方程。)(trr r: :点点M相对点相对点O的的位置矢量位置矢量, ,简称简称矢径矢径。 动点动点M在运动过程中在运动过程中, ,矢径矢径r的末端描绘出一条连续曲线，的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点的矢端曲线就是动点M的运的运动动轨迹轨迹。当动点当动点M运动时运动时, ,矢径矢径r随时间而变随时间而变, ,即即二、点的速度二、点的速度 点的速度是矢量。点的速度是矢量。在国际单位制中，速度的单位为在国际单位制中，速度的单位为 m/s。rAMBOr(t)r(t+t)Mddtrvr动点的速度矢沿着矢径动点的速度矢

4、沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点轨的矢端曲线的切线，即沿动点轨迹的切线，并与点的运动方向一致。迹的切线，并与点的运动方向一致。vv* 动点的速度矢等于它的矢径动点的速度矢等于它的矢径r对对时间的一阶导数时间的一阶导数，即，即5.5.点的运动学描述点的运动学描述( (矢量法）矢量法）三、点的加速度三、点的加速度 点的加速度也是矢量。点的加速度也是矢量。动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数，动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即或等于矢径对时间的二阶导数，即在国际单位制中，加速度的单位为在国际单位制中，加速度的单位为 m/s2。r v 22ddtr

5、t ddva 5.5.点的运动学描述点的运动学描述( (矢量法）矢量法）加速度的方向确定加速度的方向确定速度矢端曲线速度矢端曲线OM1M2M3vv1v2a 如在空间任意取一点如在空间任意取一点O，把动点，把动点M在连续不同在连续不同瞬时的速度矢瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点等都平行地移到点O，连接各，连接各矢量的端点矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量，就构成了矢量v端点的端点的连续曲线，称为连续曲线，称为速度矢端曲线速度矢端曲线，如图所示。，如图所示。 动点的加速度矢动点的加速度矢a的方向的方向与速度矢端曲线在相应点与速度矢端曲线在相应点M的的切线相平行。切线相平行。 5

6、.5.点的运动学描述点的运动学描述( (矢量法）矢量法）5.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动学描述（直角坐标法）由于矢径的原点与直角坐标系的由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有原点重合，因此有一、点的运动方程一、点的运动方程 其中其中)(1tfx )(2tfy )(3tfz 这些方程称为这些方程称为以直角坐标表示的点的以直角坐标表示的点的运动方程运动方程。 也是点的轨迹的参数方程。也是点的轨迹的参数方程。 如求点的轨迹方程，可将运动方程中如求点的轨迹方程，可将运动方程中的时间的时间t消去。消去。如点在某平面内运动，取该平面为坐标平面如点在某平面内运动，取该平面为坐标平面Oxy，

7、则，则点的运动方程为：点的运动方程为：)()(21tfytfx从上式中消去时间从上式中消去时间t，即得轨迹方程，即得轨迹方程0),(yxfxyzrijk二、点的速度二、点的速度 由于由于得得ddtrvxyzvvvvijk比较上两式，得比较上两式，得txvxdd可见，可见，速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数时间的一阶导数。tyvyddtzvzddddxtiddytjddztkkjirzyx设动点设动点M的速度矢的速度矢v在直角坐标轴上的投影为在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz,即即5.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动

8、学描述（直角坐标法）三、点的加速度三、点的加速度 ddtvaxyzaaaaijk则有则有tvaxxddtvayyddtvazzdd因此，因此，加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数标对时间的二阶导数。ddddddyxzvvvtttijk22ddtx22ddty22ddtz设动点的加速度矢设动点的加速度矢a在直角坐标轴上的投影为在直角坐标轴上的投影为ax、ay、az,即即5.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动学描述（直角坐标法）例：例：椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC可绕轴可绕轴O转动，其端点转动，其端点C与规尺与规尺AB的的

9、中点以铰链相连接，而规尺中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知：滑槽中运动。已知：OC=AC=BC=l，MC= a ，j j =t。求。求规尺上点规尺上点M的运动方程、轨迹方程、速度和加速度。的运动方程、轨迹方程、速度和加速度。解：解：取坐标系取坐标系Oxy,点点M的运动方程为的运动方程为jcos)(CMOCxjsinAMy 消去时间消去时间t，得轨迹方程，得轨迹方程1)()(2222alyalxtalcos)( talsin)( 5.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动学描述（直角坐标法）求点求点M的速度的速度xvx故点故点M的速度大小为的

10、速度大小为22yxvvvtalal2cos222其方向余弦为其方向余弦为cos( , )xvvv icos( , )yvvv jyvytalcos)( talsin)( 222222()sin()coslatlat22()sin2cos2latlaalt22()cos2cos2latlaalt5.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动学描述（直角坐标法）求点求点M的加速度的加速度xxva故点故点M的加速度大小为的加速度大小为22yxaaatalal2cos2222其方向余弦为其方向余弦为cos( , )xaaa icos( , )yaaa jyyvay talsin)(2x talcos)(

11、2taltal242242sin)(cos)(talaltal2cos2cos)(22talaltal2cos2sin)(225.5.点的运动学描述（直角坐标法）点的运动学描述（直角坐标法）一、弧坐标一、弧坐标 已知动点已知动点M的轨迹为图示曲线。的轨迹为图示曲线。在轨迹上任选一点在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向。的某一侧为正向。动点动点M在轨迹上的位置由弧长在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长确定，弧长s 为代数量，为代数量，称为动点称为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标弧坐标。 )(tfs 点沿轨迹的运动方程，点沿轨迹的运动方程，当动点当动点M运动时，运动时，s

12、随时间变化，它是时间的单值连续随时间变化，它是时间的单值连续函数，即函数，即或或以弧坐标表示的点的运动方程。以弧坐标表示的点的运动方程。5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）二、自然轴系二、自然轴系 以点以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标轴称为组成的正交坐标轴称为曲线在点曲线在点M的自然坐标系的自然坐标系，这三，这三个轴称为个轴称为自然轴自然轴。bn5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）Oj01dlimdsSSjj 00d1limlimdsssssj nn两个相关的计算结果两个相关

13、的计算结果MMs2 sin2jj 曲率：曲率： 曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。 曲率半径曲率半径 ：曲率的倒数。曲率的倒数。如曲率半径以如曲率半径以 表示，则有表示，则有MMsjt tt tt ttt tt t5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）三、点的速度三、点的速度 当当t0时，时，MMs r故有故有 0limtt rv可见：可见：速度的大小等于动点的弧坐速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值标对时间的一阶导数的绝对值。弧坐标对时间的导数是一个代数量，以弧坐标对时间的导数是一个代数量，以v表示表示stsv

14、dds 绝对值表示速度的大小绝对值表示速度的大小,正负表示点沿轨迹运动的方向。正负表示点沿轨迹运动的方向。ddsvtvtst0limtsdd由于由于是切线轴的单位矢量，因此点的速度矢可写为是切线轴的单位矢量，因此点的速度矢可写为点沿轨迹由点沿轨迹由M到到M,经过经过t 时间时间,其矢径有增量其矢径有增量r。 5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）四、点的加速度四、点的加速度 ddtvatva0v 0v 如如令令 sva t由此可得结论：由此可得结论：切向加速度反映点的速度值对时间的切向加速度反映点的速度值对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，变化

15、率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。如如ddvtddvtat指向轨迹的正向；指向轨迹的正向；at指向轨迹的负向。指向轨迹的负向。 at是一个代数量，是加速度是一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影。沿轨迹切向的投影。显然显然at是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切向加速度切向加速度。（1）反映速度大小变化的加速度）反映速度大小变化的加速度at 5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）nddvtanddd dsvsta得得2nvan于是可得

16、结论：于是可得结论：法向加速度反映点的速度方向改变的法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。的方向沿着主法线，指向曲率中心。 （2）反映速度方向变化的加速度）反映速度方向变化的加速度an它反映速度方向它反映速度方向的变化。上式可改写为的变化。上式可改写为有此可见有此可见,an的方向与主法线的正向一致的方向与主法线的正向一致,称为称为法向加速度法向加速度。5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法） 当速度当速度v与切向加速度与切向加速度at指向相同时，

17、速度的绝对值不指向相同时，速度的绝对值不断增加，点作加速运动；当速度断增加，点作加速运动；当速度v与切向加速度与切向加速度at指向相指向相反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）tnaaa式中式中tvaddtb0a全加速度的大小可由下式求出全加速度的大小可由下式求出 2n2taaa它与法线间的夹角的正切为它与法线间的夹角的正切为nttanaatnaan2nva 由于由于at，an均在密切面内，因此全加速度均在密切面内，因此全加速度a也必在密切面也必在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量

18、为零，即内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）匀变速曲线运动匀变速曲线运动 几种特殊情况：几种特殊情况：匀速曲线运动匀速曲线运动 直线运动直线运动 曲率半径曲率半径任何瞬时点的法向加速度始终为零。任何瞬时点的法向加速度始终为零。v =常量常量vtss0at=常量常量tavvt02t0021tatvss)(20t202ssavv5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）t4j例：例：曲柄摇杆机构，曲柄长曲柄摇杆机构，曲柄长 OA=10cm，绕，绕O轴转动，角轴转动，角O1O=10cm。求求B点的运动方程、速度

19、及加速度。点的运动方程、速度及加速度。（rad）(时间时间t的单位为的单位为s)，摇杆摇杆O1B=24cm，距离距离5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法）解：解：B点的运动轨迹是以点的运动轨迹是以O1B为半为半径的圆弧径的圆弧,t=0时时,B点在点在B0处。取处。取B0为弧坐标原点。则为弧坐标原点。则B点的弧坐标点的弧坐标BOs1由于由于OAO1是等腰的是等腰的,则则j =2，故，故21jBOs这就是这就是B点的运动方程。点的运动方程。tsvdd22tddtsa naa 其方向如图。其方向如图。t8243cmt3cm/s42. 902v24)3(22cm/s7 . 3

20、可见，可见，B点作匀速圆周运动。点作匀速圆周运动。于是于是B点的速度及加速度为点的速度及加速度为va5.5.点的运动学描述（自然坐标法）点的运动学描述（自然坐标法） 例例 杆杆AB绕绕A点转动时，带动套在半径为点转动时，带动套在半径为R的固定大圆的固定大圆环上的小护环环上的小护环M 运动，已知运动，已知j jt (为常数为常数)。求小环。求小环M 的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。解：解：建立如图所示的直角坐标系。则建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M 的运动方程。的运动方程。tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 ABMOjxyj2故故M点的速度大小为点的速度

21、大小为Rvvvyx222cos2yRjsin2=Rtsin2xRjcos2Rt5.5.点的运动学描述点的运动学描述其方向余弦为其方向余弦为cos( , )cos2xvvjv icos( , )sin2yvvj v jxtRvaxx2242sin4 ytRvayy2242cos4 故故MM点的加速度大小为点的加速度大小为2224Raaayx2222444()4xyxy aijijrABMOjxyj2vxvyva5.5.点的运动学描述点的运动学描述MMjRoj例例 半径为半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地无滑动地滚 动滚 动 ) 。 设 轮 子 保 持 在 同 一 竖

22、 直 平 面 内 运。 设 轮 子 保 持 在 同 一 竖 直 平 面 内 运动，动， ，试分析轮子边缘一点，试分析轮子边缘一点M的运动。的运动。tj5.5.点的运动学描述点的运动学描述 解：解：取坐标系取坐标系Axy如图所示，并设如图所示，并设M 点所在的一个最低点所在的一个最低位置为原点位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为点坐标为)sin(sinjjjROMACx)cos1 (cosjjROMOCy这是旋轮线的参数方程。这是旋轮线的参数方程。joRCAxyM5.5.点的运动学描述点的运动学描述M点的速度为：点的速度为：(1 cos )(sin )vxiy

23、jRiRjjjjj当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于点速度等于零。零。2kjjoRCAxyMj tRi tRj yi xa cossin225.5.点的运动学描述点的运动学描述31指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动? , , , 0na常数ta0ta常数0a0na常数va, 0t常数常数naa, 0t0na0ta常数常数naa,t(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)5.5.点的运动学描述点的运动学描述32判断下列运动是否可能出现判

24、断下列运动是否可能出现, ,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动? ?不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动加速运动加速运动不可能不可能匀速曲线运动匀速曲线运动不可能或改作不可能或改作直线加速运动直线加速运动不可能不可能减速曲线运动减速曲线运动5.5.点的运动学描述点的运动学描述33 点作直线运动时点作直线运动时, ,若其速度为零若其速度为零, ,其加速度也为零其加速度也为零 点作曲线运动时点作曲线运动时, ,若其速度大小不变若其速度大小不变, ,加速度是否一定为加速度是否一定为零零答答:不一定不一定. . 速度为零时加速度不一定为零速度为零时加速度不一定为零( (自由落体上

25、抛到顶点时自由落体上抛到顶点时) ) 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化答：表示速度大小的变化 表示速度方向的变化表示速度方向的变化dtdva t2van5.5.点的运动学描述点的运动学描述34点点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？还是越跑越慢？

26、 证明证明 是沿着主法线方向，即是沿着主法线方向，即 。tddttttddt t tt t)(dd 0dd2 0dddd 0dd 1 tttttttttttt证明证明: :常数btSvabtSdd t222, 0ddbaa bva tvann 由于点由外向内运动由于点由外向内运动, ,曲率半径曲率半径 越来越小越来越小, ,所以加速所以加速度越来越大。而速度度越来越大。而速度 v = =常数常数, ,故点运动快慢不变。故点运动快慢不变。解：解：5.5.点的运动学描述点的运动学描述5.2 5.2 刚体的平移刚体的平移一、平行移动一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始如果在物

27、体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动平行移动，简称，简称平平移移。例如：例如：二、平移的特点二、平移的特点 设刚体作平移，在刚体内任选设刚体作平移，在刚体内任选两点两点A、B,令点令点A的矢径为的矢径为rA，点点B的矢径为的矢径为rB,则两条矢端曲则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知线就是两点的轨迹。由图可知ABBA rr当刚体平移时，线段当刚体平移时，线段AB的长度的长度和方向都不改变。和方向都不改变。刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线，但是它们的形

28、状是完全相同的。是曲线，但是它们的形状是完全相同的。因此只要把因此只要把点点B的轨迹沿的轨迹沿BA方向平行移动一段距离方向平行移动一段距离BA，就能与点，就能与点A的的轨迹完全重合。轨迹完全重合。 5.2 5.2 刚体的平移刚体的平移ABBA rr上式对时间上式对时间t求导数，得求导数，得ddddddABBAttt rr而而d,dAAtrv因此，得因此，得ABvv将上式再求一次导数，得将上式再求一次导数，得ABaa结论：结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时每一瞬时,各点的速度相同各点的速度相同,加速度也相同加速度也相同。 因此因

29、此,研究刚体研究刚体的平移的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。速度、加速度速度、加速度d,dBBtrv0ddtBA5.2 5.2 刚体的平移刚体的平移例：例：图示曲柄滑道机构，当曲柄图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴在平面上绕定轴O转动时，转动时，通过滑槽连杆中的滑块通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄动。若曲柄OA的半径为的半径为r，曲柄与，曲柄与x轴的夹角为轴的夹角为j j =t，其中，其中是常数，是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。求此连杆在任一瞬

30、时的速度及加速度。解：解：连杆作平移，因此在连杆上连杆作平移，因此在连杆上任取一点任取一点M可代表连杆的运动。可代表连杆的运动。点点M的位置坐标为的位置坐标为trrxMjcoscos这就是点这就是点M的运动方程。因此，的运动方程。因此，点点M的速度及加速度为的速度及加速度为trxvMMsin trvaMMcos2 5.2 5.2 刚体的平移刚体的平移刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为则这种运动称为刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动，简称，简称刚体的转动刚体的转动。通。通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的过这两个固定点

31、的一条不动的直线，称为刚体的转轴转轴或或轴轴线线，简称，简称轴轴。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、转动方程一、转动方程 取转轴为取转轴为z轴。通过轴线作一固轴。通过轴线作一固定平面定平面,此外，通过轴线作一与刚此外，通过轴线作一与刚体固连的动平面体固连的动平面 。这两个平面间。这两个平面间的夹角用的夹角用j j表示表示,称为刚体的称为刚体的转角转角。转角转角j j是一个代数量，它确定了是一个代数量，它确定了刚体的位置刚体的位置,它的符号规定为它的符号规定为:从从z轴正轴正向往下看向往下看,逆时针为正逆时针为正,反之为负。并反之为负。并用弧度用弧度(rad)表示表示,当刚体转动时

32、当刚体转动时,转角转角j是时间是时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即)(tfj这个方程称为刚体绕定轴转动的这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程转动方程。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动二、角速度二、角速度 转角转角j j 对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度瞬时角速度，用用表示，即表示，即t ddj角速度表示刚体转动的快慢和方向。角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位一般用单位一般用rad/s（弧度（弧度/秒）。秒）。角速度是代数量。角速度是代数量。从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反

33、之取负值。正值，反之取负值。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动三、角加速度三、角加速度 角速度角速度对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度瞬时角加速度。用用表示，即表示，即22ddddttj角加速度表示角速度变化的快慢。角加速度表示角速度变化的快慢。 单位一般用单位一般用rad/s2(弧度弧度/秒秒2)。 角加速度也是代数量。角加速度也是代数量。如果如果与与同号，则转动是加速的；如果同号，则转动是加速的；如果与与异号，异号，则转动是减速的。则转动是减速的。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动四、两种特殊情况四、两种特殊情况 1.匀速转动匀速转动刚

34、体角速度不变的转动，称为刚体角速度不变的转动，称为匀速转动匀速转动。 tjj0在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟转数钟转数n来表示，其单位为来表示，其单位为r/min（转（转/分），称为分），称为转速转速。角速度角速度与转速与转速n的关系为的关系为30602nn式中转速式中转速n的单位为的单位为r/min，角速度，角速度的单位为的单位为rad/s。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2.匀变速转动匀变速转动刚体角加速度不变的转动，称为刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动匀变速转动。t020021ttjj)(20202jj其中其中

35、0和和j0分别是分别是t =0时的角速度和转角。时的角速度和转角。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、转动刚体内各点的速度一、转动刚体内各点的速度 以固定点以固定点O 为弧坐标为弧坐标s的原点，按的原点，按j角的正向规角的正向规定弧坐标定弧坐标s的正向，于是的正向，于是jRs 将上式对将上式对t求一阶导数，得求一阶导数，得tRtsddddj上式可写成上式可写成 Rv 即：即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方。指向转动一方

36、。5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动刚体内各点速度分布规律：转动刚体内各点速度分布规律： 5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动atan二、转动刚体内各点的加速度二、转动刚体内各点的加速度 sa t转动刚体内任一点的切向转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线的角加速度与该点到轴线距离的乘积，它的方向由距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。角加速度的符号决定。法向加速度为法向加速度为2nva 2nRa 即：即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线距

37、离的乘积，它的方向与速角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。度垂直并指向轴线。j RRRR2)(5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动如果如果与与同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。2n2taaantaatan222)()(RR42 R2RR2点点M加速度加速度a的大小和方向：的大小和方向：5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动由于在每一瞬时，刚体的由于在每一瞬时，刚体的和和都只有一个确定的数都只有一个确定的数值，所以得知：值，所以得知：1在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速

38、度和加速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。2在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径与半径间的夹角间的夹角都有相同的值。都有相同的值。 5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动例：例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：点：r =0.4m，在某瞬时的全加速度在某瞬时的全加速度a =40m/s2,与转动半径的夹角与转动半径的夹角=30。若若t =0时，位置角时，位置角j0=0，求叶轮的转动方程及，求叶轮的转动方程及t =2s时时M点点速度和法向加速度。速度和法向加速度。5.

39、3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动sintaa rat由于匀加速转动，故由于匀加速转动，故为常量。转动方程为为常量。转动方程为20021ttjj当当t=2s时，叶轮的角速度为时，叶轮的角速度为t因此因此M点的速度及法向加速度为点的速度及法向加速度为rv 2nra 30sinm/s4022m/s20m4 . 0m/s2022rad/s50rad252trad/s)250(rad/s100m/s)1004 . 0(m/s4022m/s)1004 . 0(2m/s4000解：解：将将M点在某瞬时的全加速度点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切沿轨迹的切向及法向分解，则切向加速度及角加速度为向及法向分

40、解，则切向加速度及角加速度为anat5.3 5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1122,RvRvAB5.4 5.4 轮系的转动比轮系的转动比一、齿轮转动一、齿轮转动 外啮合外啮合内啮合内啮合因两轮之间没有相对滑动，故因两轮之间没有相对滑动，故BAvv但但因此因此1122RR或或1221RR处于啮合中的两个定轴齿轮角速度处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比与两齿轮的啮合圆半径成反比。21212121jjnn1212zzRR121221212121zzRRnnjj又又故故设轮设轮是主动轮，轮是主动轮，轮是从动轮。是从动轮。 传动比：传动比：2112i1212212121211

41、2zzRRnnijj不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦传动等。锥齿轮传动、摩擦传动等。有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比也取代数值：动比也取代数值：12122112zzRRi正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。5.4 5.4 轮系的转动比轮系的转动比二、皮带轮转动二、皮带轮转动 如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑

42、动，则如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则2211rr于是皮带轮的传动比为于是皮带轮的传动比为122112rri即：即：两轮的角速度与其半径成反比。两轮的角速度与其半径成反比。轮轮为主动轮：为主动轮：r1、1轮轮为从动轮：为从动轮：r2、25.4 5.4 轮系的转动比轮系的转动比例例2-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比求减速箱的总减速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：解：求传动比：求传动比：11224133231334.8nnnZZinnnZZ则有