高等数学chap1.5函数的连续性

1、 注: 增量符号 是一个整体符号 , 不能看成 与 的乘积 .xx 5.1. 连续函数的概念: 0处的性态来考察该函数在xx 动态的观点. 0 xxx是改变量增量)( 第5节 连续函数现在用内有定义在设函数 . ) ,( )( 0 xNxf . , )( 00开始变动即从初值的起点视为动点将xxx , )( ) ,( 0时终值内某一点变动到邻域当xNx )()(00 xfxxfy0 xxx0 xy)(0 xf)(0 xxfyxo)(xfy相应的变到从函数值时变到从当自变量 , )( )( , 0000 xxfxfxxxx是改变量增量)( 等价的形式1 定义若内有定义的某邻域在点设函数,),(

2、)( 00 xNxxfy , 0 lim0yx连续点的连续处在点则称函数fxxxf- - , )( 00 )()(lim 00 xfxfxx1. 注: )( 0连续处在点xxf用“”语言来表达 | )()(| , | ,0 , 0 00 xfxfxx有时当对2.00lim( ) (),xxf xf x是否存在或值为多少与无关首先必须连续处在点 0 x. )(0有定义在点xxf )( xf而. )()(lim (3); )(lim (2); )( (1)0000 xfxfxfxxxfxxxx存在有定义在列三点：连续，必须同时满足下处在点 )( 0 xxf3.间断点000 如果 函数 在点 的某邻

3、域或某去心邻域内有定义,而不是 的连续点，则称为 的 fxxfxf4.: )(0处右连续在xxf )()(lim 00 xfxfxxxyo0 x)(0 xf: )(0处左连续在xxf )()(lim 00 xfxfxxc处左连续在 )(0 xxf且右连续处连续在0)(xxfxyo0 x)(0 xf，的每一点连续在区间若 )( Ixf2. 定义.)(, I )( ICxfxf记为连续在区间则称每一点连续 , 且在左端点右连续 , 在右端点左连续 . . 可以是有限的区间 , 也可以是无限的区间I注 :当区间 为闭区间时 , 在区间 连续指在区间 内部III0( ) ( ) , ( ) ()0 ,

4、nmmP xf xQxQx对于有理分式函数只要就有 例 )()(lim 00 xfxfxx. )()(在其定义域内是连续的有理分式函数xQxPmn ( )sin ( )cos ( , ) .f xxf xx 例1. 函数和都在区间内连续.0,0cos)() 1 (处不连续故在处无定义在xxxxxf . 2 例.)(lim(0不存在）xfx处不连续在0sgn)()2(xxxf001sin10)1 ()()3(2xxxxxxfx不存在xxfxx1sinlim)(lim00处不连续在0)(xxf20)(limexfx0lim)(lim00 xxfxx0)(lim0 xfx处不连续在0)(xxf1)0

5、( f001011)()4(xxxxxxxfxxxfxx11lim)(lim000) 11(lim0 xxx5.2.初等函数的连续性.)0)( )()(),()(),()(,)( ),( IICxgxgxfxgxfxgxfCxgxf则如果 . 1 定理极限的四则运算1 定理 ) , ( cos sin内连续在和xx,1(2) 知由例; 2k sec , tan时连续在xxx. k c , cot时连续在xscxx. 连续三角函数在其定义域内yxyfxxfyxIII在对应区间则它的反函数或单减上单增且在如果 )( , )( ,C )( 1 .2定理. )( ),(|且连续或单减上单增xxxfyy

6、I. 1 , 1 arcsin , 2 ,2 sin (1) 上单增且连续在区间故上单增且连续在xyxy. 1 , 1 arccos , , 0 cos (2) 上单减且连续在区间故上单减且连续在xyxy. , cotarc 内单减且连续在xy；内单增且连续在同理 , arctan , xy. 内连续反三角函数在其定义域 . 3 定理00 lim ( ) , ( ) , lim( ( )( ) . xxxxg xayf uuaf g xf a设而函数在点处连续 则0 lim ( ) xxg xa :证 )()(lim afufau0, 0, 对 , | | 时当au. | )()(| afuf

7、有 )(处连续在点auufy |( ( )( )| |( )( )| f g xf af uf a , | 0时当xxo0, | ( )| .g xa有0 lim( ( )( ) .xxf gxf a所以, )( , )( 000uxgxxxgu且连续处在点设函数. 4 定理00 lim( ( )(lim( )xxxxf g xfg x，则有连续知，若由定理 )(3ufy 1. 注2. 3续性定理易得下列复合函数的连由定理0 ( ) , yf uuu而函数在点处连续 则复合函数. ) )(g( 0处也连续在点xxxfy)1sin1 (lim1sin1lim . 7 00 xxxxxx例11si

8、nlim-10 xxx（1）三角函数在其定义域内连续. , ) 1 , 0( (3)内单调且连续在指数函数aaayx基本初等函数的连续性（2）反三角函数在其定义域内连续. , 0 ) 1 , 0( log (4) 内单调且连续在对数函数aaxya . , (5)域内连续在其定义幂函数为何值无论xy 综上得到：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。3:例求下列极限xxax)1(loglim)1(0 xaxx1lim)2(0 xxax1)1(lim)3(00ln(1),1 , (11上述结果可推得下列三对等价无穷小：当时， ）xxxxexxx:)()(的几个

9、结果关于幂指函数xgxf,)(lim , 0)(lim)1 (00BxgAxfxxxx设设则.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx)(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexf证)(ln)(lim0 xfxgxxe)(limln)(lim)(lnlim)(lim0000 xfxgxfxgxxxxxxxxeelnln.BAA BBeeA,)(),()2(0处处连连续续均均在在若若xxgxf.)(0)(处连续处连续在在则则xxfxg0)(xf且且4.:例求下列极限21(1) lim(1)xxx2cot0(2) lim(1 3tan)xxx123(

10、3) lim()21xxxx21sin0(4) lim(cos )xxx5.3 间断点分类:的一个间断点为设 )( 0 xfx：第一类间断点 0)( 0)(00都存在和xfxf,)(lim0存在xfxx，使此时可补充或修改定义)(lim)(00 xfxfxx: )0()0()0()0(0000 xfxfxfxf 可去间断点的连续点成为从而 0fx: 第二类间断点. 0)( 0)(00有一不存在至少和xfxf 5. 例. 第一类间断点 6. 例 1) 1(lim)(lim 1) 1(lim)(lim000 xxfxxfxoxxx，且为的一个间断点是 )( 0 xfx 0,10,00,1)( xx

11、xxxxf函数 0 2)( 1处无定义在函数xxfx )(lim, 0)(lim00 xfxfxx又. 第二类间断点的是)(0 xfx 2211( )111211( )1则在 处连续 . 因此 为函数 的xxf xxxxxxf xx.可去间断点 7. 例21( )11 函数 在 处无定义 , 故为间断点xf xxx2111limlim(1)2(1)1 . 如果补充定义:2, xxxx fx,011sin000sin)( xxxxxxxxf函数001lim( )lim( sin1)1 , xxf xxx1sinlim)(lim 00 xxxfxx0lim( )1 xf x0( ) 是 的一个间断

12、点 ，且为xf x0:(0)lim( )1( )0（重新定义 , 则在处连续）xff xf xx可去间断点 8. 例(0)0而 f:,9并指出间断点的类型讨论下列函数的连续性例3| |(1)( )(1)xxf xxx11(1( )1)222xxfx11()1( 3 )xxfxe( )(4)tanxf xx11112)(102xeexxxfaxax设例,),(内连续在.的值求a:,9并指出间断点的类型讨论下列函数的连续性例3| |(1)( )(1)xxf xxx0,1,1.()xxx 解解 间间断断点点为为无无定定义义300(1)1( )11xxxxxf xxxx0由于 limlimlim111

13、1lim( )lim12xxfxx111lim( )lim1xxfxx 0,1,1( ),( )(,1)( 1, 0)(1,).xxxf xf x 故故是是第第一一类类( (跳跳跃跃) )间间断断点点是是第第一一类类( (可可去去) )间间断断点点为为的的第第二二类类( (无无穷穷) )间间断断点点在在上上为为初初等等函函数数, ,故故连连续续300(1)1( )11xxxxxf xxxx 0limlimlim.0)(处连续在xxf.0为第一类间断点x11212lim)(lim1100 xxxxxf12121lim1212lim)(lim1101100 xxxxxxxxf11(1( )1)22

14、2xxfx.0 x间断点为解11()1( 3 )xxfxe.1,0 xx间断点为解)(lim0 xfx, 1)(lim1xfx.0)(lim1xfx.)(0的第二类间断点为xfx .)(1的第一类间断点为xfx .1, 0)(时连续在xxxfsin0( )(104)xxxf xx.)(为分段函数解xf.)(,sin,0连续故连续时当xfxxx , 1sinlim)(lim00 xxxfxx, 1sinlim)(lim00 xxxfxx.)(0的第一类间断点为xfx 1( )arcta(5)n1fxxx.)(,1连续时解xfx ,211arctanlim)(lim11xxxfxx.211arct

15、anlim)(lim11xxxfxx.)(1的第一类间断点为xfx ( )(6)tanxf xx(0,1,2)2解 间断点为 和xkxkk ;)()2, 1(2, 0去间断点的可为xfkkxx.)()2, 1(的第二类间断点为xfkkx11112)(102xeexxxfaxax设例,),(内连续在.的值求aCfaxx取何值，不论时或当这是分段函数解,11.) 1 ()01 ()01 (1)(fffxxf 处连续在分段点3) 12(lim)01 (1xfx1) 1(lim)01 (221aaaxaxxeeeef由此得即令, 0)2)(1(, 312aaaaeeee.2ln,2aea解得5.4.闭

16、区间上连续函数的性质 4()定理最大值和最小值定理则设,)(,baCxf上一定有在, )( baxf. 最大值和最小值, , ,即 存在 对任意a bxa b ( )( )( ).总有 ff xf1x2xoyxab)(max)(2xfxfbxa)(min)(1xfxfbxa注：. ) 1 (有最大值或最小值不一定非闭区间上的连续函数. , )2(值不一定有最大值或最小上的非连续函数闭区间ba. )(1, )( , C )( (ii) )(1,没有最大值在但xfxxf. ) 1 , 0( )( C )( (i) (0,1)也没有最小值没有最大值在但xfxxf : 例如. 2 , 0 )( , 最

17、小值上没有最大值也没有在显然xf21,31,110,1)( (iii)xxxxxxf函数oxy21 . )( 1 2 , 0 如图所示点上有间断在x()推论 有界性定理0, ,( ).即存在使当时 总有Mxa bf xM则设,)(,baCxf )(xf. ,上一定有界在ba)(xfy aboyx. 0)( ),( fba使至少至少一个定理 5 (零点定理 根的或存在性定理),)() 1 (,baCxf设则 (2)( )( ( )( )( )0 ,)f af bf af b异号 即与( )注：若单调，则零点 是唯一的 .f x:证. )(, ,fba使存在 6()定理介值定理,)(,baCxf设

18、),(maxxfMbxa),(minxfmbxa, Mm任意对于则.,)(,上为常数，结论成立在则若baxfmM mM 若 4定理,21baxx存在使),(2xfM ),(1xfm ，不妨设21xx 即可；或，则取或若2121)()(xxxfxf. )( f即 , C )( , bax 则, )()( xfx令, 0)( )()()( 2121xfxfxx且，若)()(12xfxf 5定理, 0)( ),(使至少ba 6 定理的示意图1x2xoyxab Mxf)(2mxf)(132 12. (1) 410 (0 , 1) .xx 例证明方程在区间内至少有一个根(2) ( )0,1(0)1,(1)0( )(0,1) .f xfff x设在区间上连续，且. 证明函数在内至少有一个不动点. 1) , 0