理论力学-8-质点动力学

1、Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology理论力学课堂教学软件（8）第三篇第三篇 动力学动力学第三篇第三篇 动力学动力学H 舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞第三篇第三篇 动力学动力学 若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。要多长的跑道。已知推力和跑道可能已知推力和跑道可能长度，则需要多大的长度，则需要多大的初

2、速度和一定的时间初速度和一定的时间间隔后才能达到飞离间隔后才能达到飞离甲板时的速度。甲板时的速度。第三篇第三篇 动力学动力学爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌第三篇第三篇 动力学动力学 棒球棒球在被球棒击打后，其速度的大小在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2第三篇第三篇 动力学动力学载人飞船的载人飞船的交会与对接交会与对接Av1Bv2第三篇第三篇 动力学动力学高速列车的振动问题高速列车的振动问题第三篇第三篇 动力学动力学航空航天器航空航天器的姿态控制的姿态控制第三篇第

3、三篇 动力学动力学动力学动力学研究物体的研究物体的机械运动机械运动与与作用力作用力之间的关系。之间的关系。动力学动力学中所研究的中所研究的研究对象研究对象是是质点质点和和质点系质点系(包括包括刚体刚体)。质点质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。的物体。质点系质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。离保持不变，也称不变的质点系。第三篇第三篇 动

4、力学动力学第第8章章 质点动力学质点动力学第三篇第三篇 动力学动力学质点动力学质点动力学(dynamics of a particle)(dynamics of a particle)：研究作用研究作用在质点上的在质点上的力力和和质点运动质点运动之间的关系。本章主要介之间的关系。本章主要介绍质点在绍质点在惯性系惯性系下的下的运动微分方程运动微分方程。第三篇第三篇 动力学动力学 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 8.3 8.3 结论结论与讨论与讨论 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程第第8章章 质点动力学质点动力学 8.1 8.1 质点运动微分方程质

5、点运动微分方程第第8章章 质点动力学质点动力学第一定律第一定律(惯性定律惯性定律) niitm1d)d(Fv不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性惯性。第二定律第二定律( (力与加速度关系定律力与加速度关系定律) ) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。大小，加速度的方向与力的方向相同。 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程理论基础：牛顿定律与微积分理论基础：牛顿定律与

6、微积分在经典力学中质点的质量是守恒的在经典力学中质点的质量是守恒的niim1Fa质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程动力学基本方程。mPgm Pg国际计量标准国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取一般取g9.8 m/s2在国际单位制在国际单位制(SI)中，中，长度、时间、质量长度、时间、质量为基本量，它们的为基本量，它们的单位以米单位以米(m)、秒、秒(s

7、)和千克和千克(kg)为基本单位。其它量均为导为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力的作用。在重力作用下得到的加速度称为作用下得到的加速度称为重力加速度重力加速度，用，用 g 表示。由第二表示。由第二定律有定律有或或为纬度2sin0000059. 0sin0052884. 0178049. 922g 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小两个物体间相互作用的作

8、用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。个物体上。以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学古典力学。第一、二定律：第一、二定律： 第第 三三 定律：定律：适用条件适用条件？惯性参考系惯性参考系 任意参考系任意参考系 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程 已知：已知：质点质点M（质量（质量m），），作用其上的力有作用其上的力有F1，F2，, Fn。根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律，在不同，在不同坐标系中，质点在惯性系中坐标系中，质点在惯性系中的运动微分方程有

9、以下几种的运动微分方程有以下几种形式：形式： 矢量形式矢量形式iimFr 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程 直角坐标形式直角坐标形式iiziiyiixFzmFymFxm 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程 自然坐标形式自然坐标形式t2nb0iiiiiimsFsmFFt22nsasva 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程1、矢量形式适用于理论分析；、矢量形式适用于理论分析；2、直角坐标形式适于计算；、直角坐标形式适于计算；3、合理选择坐标系，如柱坐标、合理选择坐标系，如柱坐标、球坐标，会使球坐标，会使计算简便。计算简便。

10、 8.1 8.1 质点运动微分方程质点运动微分方程第第8章章 质点动力学质点动力学 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题动力学的基本问题：动力学的基本问题：第一类基本问题第一类基本问题：已知运动求力。：已知运动求力。如：万有引力定律的发现。如：万有引力定律的发现。“我（牛顿）之所以看得远，是因为我站在巨人的肩膀之上。我（牛顿）之所以看得远，是因为我站在巨人的肩膀之上。”牛顿在总结前人的研究成果，包括：牛顿在总结前人的研究成果，包括：1）哥白尼哥白尼（14731543） 日心说日心说2）第谷第谷布拉赫布拉赫（15461601）积累的天文观察资料）积累的天文观察资料3）

11、开普勒开普勒（15711630）行星三定律）行星三定律总结出万有引力定律，写出了总结出万有引力定律，写出了自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理一书一书(1687年年)，对动力学作了系统的描述，提出了牛顿三定律，对动力学作了系统的描述，提出了牛顿三定律，它是整个古典力学的基础。它是整个古典力学的基础。在求解过程中需对运动方程求导即可。在求解过程中需对运动方程求导即可。 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题第二类基本问题第二类基本问题：已知力求运动。：已知力求运动。如：跳楼时救援气垫的摆放位置。如：跳楼时救援气垫的摆放位置。所谓已知力是指：力所谓已知力是指：力F 可以表

12、示成可以表示成 的已知函数的已知函数),(trvFF 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程 。两类问题综合两类问题综合已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动已知：已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。待求：待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题求解质点动力学问题的过程

13、与步骤如下求解质点动力学问题的过程与步骤如下1.对象：对象：确定研究对象，选择适当的坐标系；确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.受力：受力：进行受力分析，画出相应的受力图；进行受力分析，画出相应的受力图； 3.运动：运动：进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量；进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 4.方程：方程：列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解。 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题1. 1. 力是常数或是时间的简单函数

14、力是常数或是时间的简单函数00d( )dvtvm vF tt00ddddd( )dddddvxvxvvxvvmv vF xxtxtx3. 3. 力是速度的简单函数，分离变量积分力是速度的简单函数，分离变量积分00dd( )vtvmvtF v2. 2. 力是位置的简单函数力是位置的简单函数, , 利用循环求导变换利用循环求导变换常见问题的数学处理方法常见问题的数学处理方法 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动，OA=r，AB=l，当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为 lr /ttrlx2cos4c

15、os412 如滑块的质量为m， 忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当 ，连杆AB所受的力。时和20t 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题例例 题题 1解：解：对象：滑块对象：滑块受力：如右图受力：如右图运动：平移运动：平移方程：滑块运动微分方程为：方程：滑块运动微分方程为：cosFmax其中其中ttrxax2coscos2 ttrlx2cos4cos412当当,0,1,02且时rax得得12mrF 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题lrlrax222cos,2且时当有有lrlFmr222得得2222rlmrF这属于动力学第一类问题。这属于

16、动力学第一类问题。ttrxax2coscos2 cosFmax 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题、，。 质量为质量为m的质点带有电的质点带有电荷荷e,以速度以速度v0进入强度按进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场变化的均匀电场中中,初速度方向与电场强度初速度方向与电场强度垂直垂直,如图所示。质点在电如图所示。质点在电场中受力场中受力FeE作用。已作用。已知常数知常数A,k，忽略质点的重忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。力，试求质点的运动轨迹。 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题例例 题题 2kteAtvmtymtvmtxmyx

17、cos, 02222dddddddd由由, 0,00yxvvvt时tvytktmeAvy00cosdd0vtxvxdd得ktmkeAtyvysindd00 xvvxvd积分积分解：解：对象：点电荷；受力：如图所示；运动：平面曲线；对象：点电荷；受力：如图所示；运动：平面曲线；方程：电荷的质点运动微分方程为方程：电荷的质点运动微分方程为 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题积分时由, 00yxt,000tvxxtddtytktmkeAy00sindd得运动方程得运动方程1cos,20ktmkeAytvx消去消去t, 得轨迹方程得轨迹方程1cos02xvkmkeAy这是

18、第二类基本问题。这是第二类基本问题。0vtxvxdd得ktmkeAtyvysindd 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 单摆由一无重量细单摆由一无重量细长杆和固结在细长杆一长杆和固结在细长杆一端的重球组成。杆长为端的重球组成。杆长为l，球质量为，球质量为m。试求：试求： 1. 单摆的运动微分方程；单摆的运动微分方程； 2. 初始时小球的速度为初始时小球的速度为u ， = 0，分析摆的分析摆的运动；运动； 3 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。在运动已知的情形下求杆对球的约束力。 mmmm 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题例例 题

19、题 3解：解：1. 单摆的运动微分方程单摆的运动微分方程对象：小球对象：小球受力：如图受力：如图运动：圆周运动运动：圆周运动方程：采用自然坐标形式的方程：采用自然坐标形式的运动微分方程比较合适。运动微分方程比较合适。 lslsls,niibniinniiFoFsmFsm2 cossin2mgFlsmmgsmN lvmmgFlg2Ncos0sin 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题解：解：1. 1. 单摆的运动微分方程：单摆的运动微分方程：lvmmgFlg2Ncos0sin 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题第一式描述了系统的运动，即单

20、摆运动微分方程；第一式描述了系统的运动，即单摆运动微分方程；第二式给出了杆对球约束力的表达式。第二式给出了杆对球约束力的表达式。分析小球的运动分析小球的运动（1）微幅摆动）微幅摆动0sinlg sin)sin( tA0, luA运动特点：运动特点：等时性等时性（周期与初始条件无关）（周期与初始条件无关）初始条件：初始条件：lu 00, 00 lg 微分方程的通解微分方程的通解确定积分常数确定积分常数02n lgn 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题（2）大幅摆动）大幅摆动0sin2n 大幅摆动不具有等时性大幅摆动不具有等时性rad/ s/ t 8.2 8.2 质点

21、动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 解：解：3. 在运动已知的情形下求在运动已知的情形下求杆对球的约束力杆对球的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属现在是已知运动，要求力，属于第一类动力学问题。于第一类动力学问题。 lvmmgFlg2Ncos0sin 22222vsll22NcoslFmgml根据已经得到的单摆运动微分方根据已经得到的单摆运动微分方程程 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题解：解：4.4. 讨论讨论 ： 本例如果采用直角坐标形式本例如果采用直角坐标形式建立运动微分方程，建立如图建立运动微分方程，建立如图所示的直角坐标系所示的直角坐标系xy

22、cossinNNFmgymFxm 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 一圆锥摆一圆锥摆,如图所示。如图所示。质量质量m=0.1kg的小球系于的小球系于长长l=0.3m 的绳上的绳上,绳的另一绳的另一端系在固定点端系在固定点O,并与铅直并与铅直线成线成60角。如小球在角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，水平面内作匀速圆周运动， 求：求：小球的速度小球的速度v与与绳的张力绳的张力F。 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题例例 题题 4N96. 1cosmgFsm1 . 2sin2mFlv这是混合问题。这是混合问题。sinsin12FFlvm

23、niin解得解得解：解：对象：小球；受力：小球的受重力及绳子的拉力如图所对象：小球；受力：小球的受重力及绳子的拉力如图所示；运动：圆周运动；方程：采用自然法求解，其运动微分示；运动：圆周运动；方程：采用自然法求解，其运动微分方程为方程为0cos1mgFFmanibib-= 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为圆柱半径为 r 为为1m。（1 1）建立质点的运动微分方程；（）建立质点的运动微分方程；（2 2）分）分析其运动。析其运动。rgmo 解：解：对象：质点；受力：如图；对象：质点；受

24、力：如图；运动：圆周运动；方程：质点运运动：圆周运动；方程：质点运动微分方程为动微分方程为FNF n) 2(sin) 1 (cos22NFmgmrrsmFmgmrsm NFfF 由（由（2 2）式解得：）式解得：sin2mgmrFN代入（代入（1）式得：）式得：)sin(cos2mgmrfmgmr 0当：当：同理，当同理，当：0 )sin(cos2mgmrfmgmr 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题例例 题题 5数值方法给出质点位置、数值方法给出质点位置、速度和切向加速度随时间速度和切向加速度随时间的变化规律的变化规律rgmo rad/s,0,rad000 t(

25、s)1 . 0f)()()(ttt 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题yxovmg思考题思考题1 1：给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 （设空气阻力的大小与速度的平方成正比）（设空气阻力的大小与速度的平方成正比）yxovmg2:Aycmgym 2:Bycmgym 2:Cycmgym 2:Dycmgym E: 未给出正确答案未给出正确答案 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题Mmg AB思考题思考题2：质点质点M用两根等长用两根等长的绳索吊起，绳索与铅垂线的的绳索吊起，绳索与铅垂线的夹角为夹角为

26、 。若剪断绳索若剪断绳索BM后的后的瞬时，绳索瞬时，绳索AM的拉力与未剪的拉力与未剪断绳索断绳索BM时相比，是增大了时相比，是增大了还是减小了？还是减小了？ ？时绳索绳索AM的拉力不变。的拉力不变。F na剪断前：剪断前：cos2mgF 剪断瞬时：剪断瞬时：cosmgF 8.2 8.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题0naP167169：81，85Nanjing University of Technology附录：附录： 习题解答习题解答作业中存在的问题作业中存在的问题1、“质点运动微分方程质点运动微分方程”：初等数学知识；高等数学的：初等数学知识；高等数学的方法。方法。

27、2、要画受力图。、要画受力图。 8 81 1附录：附录： 习题解答习题解答8-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。飞离斜面到再落水时的水平长度。 解解：（初等解法）：（初等解法）接触跳台时接触跳台时 smv/17.113600102 .4030设运动员在斜面上无机械能损失设运动员在斜面上无机械能损失smghv

28、v/768. 844. 28 . 9217.1122020smvvx/141. 8cossmvvy/256. 3sinmgvhy541. 0221sgvty332. 01220121)(gthhsghht780. 08 . 9)44. 2541. 0(2)(2012sttt112. 121#05. 9112. 1141. 8mtvxxv0vyO 8 81 1附录：附录： 习题解答习题解答8-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。飞离斜面到再落水时的水平长度。 解解：（高等解法）：（高等解法）在斜面上运动时在斜面上运动时sin1mgxm 对象：运动