数字信号处理第一章差分方程、抽样

1、天津科技大学应用文理学院1 1.3 离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述差分方程差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式一、常系数线性差分方程的一般表达式或或其中其中ak，br都是常数。都是常数。 MrNkkrknyarnxbny01)()()(1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk连续时间连续时间系统系统用用微分微分方程描述系统输出输入之方程描述系统输出输入之间的关系。间的关系。离散时间离散时间系统系统用用差分差分方程描述或研究输出输入方程描述或研究输出输入之间的关系。之间的关系。天津科技大学应用文理学院2说明：说明： 1）常系数：）常系数：是指是指ak，br都是常数

2、，不含变数都是常数，不含变数n n。 2）阶数：）阶数： 差分方程的阶数是由方程差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的项中的k取值取值最大与最小之差确定的。最大与最小之差确定的。 3）线性：）线性：y（nk）和）和x(n r)项都只有一次幂且不存在项都只有一次幂且不存在相乘项。相乘项。 1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk天津科技大学应用文理学院3二、差分方程的求解二、差分方程的求解u时域经典法：时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解，类似于解微分方程，即求齐次解和特解，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。u迭代法迭代法(

3、(递推法递推法) )：比较简单，且适合于计算机求解，但比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。式解答）。u卷积法：卷积法：适用于系统起始状态为零时的求解。适用于系统起始状态为零时的求解。u变换域方法：变换域方法：类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用里采用Z变换法变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。简单有效的方法。天津科技大学应用文理学院4例题：例题：解：解：（1）令）令x(n)=(n)， y(n)= h

4、(n)=0， n0 根据初始条件可递推如下根据初始条件可递推如下 y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n)=anu(n)，该系统是因果系统。，该系统是因果系统。若系统用差分方程若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列描述，输入序列x(n)=(n)，求初始条件分别为，求初始条件分别为：（：（1）h(n)=0，n0时的单位脉冲响应时的单位脉冲响应h(n)。(n)作用下，输出作用下，输出y(n)就是就是 h(n)1(1) ( )( )1( 2) (

5、1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，天津科技大学应用文理学院5 已知：已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求，求h(n)=0，n0时的时的h(n)（2）将差分方程改写成将差分方程改写成y(n-1)= a-1y(n)-x(n) 根据初始条件可递推如下根据初始条件可递推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。，是非因果系统。( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)

6、(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，天津科技大学应用文理学院6以上结果说明：以上结果说明：（1 1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。（2 2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。 在以下的讨论中，除非特别声明，我们都假设常系数线性在以下的讨论中

7、，除非特别声明，我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数是指因果系统。是指因果系统。天津科技大学应用文理学院7Z Z-1-1a ax(n)x(n)y(n)y(n)采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构差分方程差分方程 系统结构系统结构( )(1)( )y nay nx n 该式说明，系统在该式说明，系统在某时刻某时刻n的输出值的输出值y(n)不仅与不仅与该该时刻时刻的输入的输入x(n) 有关，还与有关，还与该时刻以前该时刻以前的输出值的输出值y(n-1)，y

8、(n-2)等有关。等有关。 天津科技大学应用文理学院81.4 1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样前置预前置预滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器模拟模拟滤波器滤波器模拟模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟模拟ya(t)采样采样采样恢复采样恢复天津科技大学应用文理学院9一、采样的基本概念一、采样的基本概念 采样的原理框图采样的原理框图采样器采样器连续信号连续信号采样脉冲采样脉冲采样信号采样信号所谓所谓“采样采样”，就是利用采样脉冲序列从，就是利用采样脉冲序列从连续时间连续时间信号信号中中抽取抽取一系列的一系列的离散样值离散样值，由此得

9、到的离散时间信号通，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以常称为采样信号，以 表示。表示。 )(txa天津科技大学应用文理学院10( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt当两种采样方式两种采样方式（a）实际采样）实际采样 （b）理想采样）理想采样 天津科技大学应用文理学院11 采样前后信号频谱的变化？采样前后信号频谱的变化？研究讨论：研究讨论： 什么条件下，可以从采样信号什么条件下，可以从采样信号 不失真地恢不失真地恢复出原信号？复出原信号？)(txa天津科技大学应用文理学院12二、理想采样二、理想采样 1.时域分析时

10、域分析 数学模型数学模型 采样脉冲：采样脉冲： 理想采样输出理想采样输出: : nTnTtttp)()()( naTaanTtnTxttxtx)()()()()()()(21)(aa PXX 天津科技大学应用文理学院132.2.频域分析频域分析 映射 时域相乘时域相乘 频域卷积频域卷积 （模拟系统）（模拟系统） )()j(21)j(aajPXX)()()(aatptxtx()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt 2()( )()TTskjDTFTtkT 1()( )()*()2aaaTXjDTFT x tXjj 天津科技大学应用文理学院142.2.频域分析频域分析（1)1

11、)冲激函数序列冲激函数序列T(t)的频谱的频谱 可求解出可求解出: : 2jT( )ektTkktAs2j021( )edTktktTAttT221( )dTTttTT1sj1( )ektTktT因为因为)(2ss tjeknjkkTeTFjP)(21)(ss天津科技大学应用文理学院15 （2 2）理想采样信号）理想采样信号 的频谱的频谱)(*)(21)(jPjXjXaa )(2*)(21ksakTjX)(txa12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 天津科技大学应用文理学院16 （2 2）理想采样信号）理想采样信号 的频谱的频谱上式表明：上式表明： （1）频谱产生周期延

12、拓频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为期函数，其周期为s。 （2）频谱的幅度是）频谱的幅度是Xa(j)的的1/T倍。倍。)(*)(21)(jPjXjXaaksaXT)jkj(1)(txa天津科技大学应用文理学院17三、时域采样定理三、时域采样定理 如果信号如果信号xa(t)是带是带限信号，且最高频率不超过限信号，且最高频率不超过s/2，即，即 那么采样频谱中，那么采样频谱中，基带频谱基带频谱以及以及各次谐波频谱各次谐波频谱彼此是不彼此是不重叠的。用一个带宽为重叠的。用一个带宽为s/2的理想低通滤波器，可以不的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原

13、来的连续信号。失真的还原出原来的连续信号。 2/|02/|)()(ssaajXjX频谱混叠现象：频谱混叠现象： 如果信号最高频率超过如果信号最高频率超过s/2，那么在采样频谱中，各，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来次调制频谱就会相互交叠起来折叠频率：折叠频率：s/2 或或 fs/2天津科技大学应用文理学院18采样信号的频谱图采样信号的频谱图天津科技大学应用文理学院19奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理： 若原始信号是带限信号，为使采样后能不失真的还原出若原始信号是带限信号，为使采样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于两倍信号最高频率，即原信号，抽样频率必须大于两倍信号最高频率

14、，即 为避免混叠，一般在抽样器前加入一个保护性的前置为避免混叠，一般在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，将高于折叠频率的分量滤除掉。低通滤波器，将高于折叠频率的分量滤除掉。 工程上一般取工程上一般取h）53（sh2s天津科技大学应用文理学院20四、采样的恢复（内插）四、采样的恢复（内插） 1.1.频域分析频域分析2/,02/,)(ssTjH)()()(1)()()(jXjHjXTjHjXjYaaa)()(txtya 天津科技大学应用文理学院212.2.时域分析时域分析 把输出看成是把输出看成是 与理想低通单位冲激响应与理想低通单位冲激响应h(t)的卷积。的卷积。 理想低通理想低通H(j)

15、的冲激响应为：的冲激响应为：)(txa2/2/2)(21)(hssdeTdejHttjtjtTtTttss sin22sin 天津科技大学应用文理学院22 根据卷积公式，低通滤波器的输出为：根据卷积公式，低通滤波器的输出为：dtxtxtyaa)(h )()()(dtnTxna)(h )()( nadnTtx)()(h)(nananTtTnTtTnTxnTtnTx)()(sin)()(h)(天津科技大学应用文理学院23 naanTtTnTtTnTxtx)()(sin)()( 采样内插公式采样内插公式 内插函数内插函数权内插公式内插函数有一个重要特点：在抽样点内插函数有一个重要特点：在抽样点nT上

16、函数值为上函数值为1，在其余抽样点上函数值都为在其余抽样点上函数值都为0 内插内插结果使得被恢复的信号在结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸各采样值内插函数的波形延伸叠加叠加而成的。而成的。 天津科技大学应用文理学院24 采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的

17、意义。奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的意义天津科技大学应用文理学院25五、实际抽样五、实际抽样抽样脉冲抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲( )sjktTkkptC e其中系数其中系数Ck随随k变化变化抽样信号频谱抽样信号频谱()()akaskXjC Xjjk 天津科技大学应用文理学院26 抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为ss 若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真 抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降 幅度变化并不影响信号恢复幅度变化并不影响信号恢复天津科技大学应用文理学院27 例例：模拟信号：模拟信号 ，其中，其中 1）求）求xa(t)的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？多少？ 2）若选采样频率）若选采样频率fs=200Hz，采样间隔为多少？写出采，采样间隔为多少？写出采样信号样信号 的表达式。的表达式。 3）画出对应）画出对应 的时域离散信号的时域离散信号x(n)的波形，并求出的波形，并求出x(n)的周期。的周期。)82sin()(0a tftxHz500 f)(