压电材料的变分原理与有限元方法ppt课件

1、School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA赵寿根赵寿根航空科学与工程学院固体力学研究所航空科学与工程学院固体力学研究所School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢迎。当将压电材料应用

2、到结构中时，由于结构形迎。当将压电材料应用到结构中时，由于结构形式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难，因而的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难，因而大多数情况需要采用数值的方法来分析结构和解大多数情况需要采用数值的方法来分析结构和解决问题。决问题。Q 变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和方程提供了依据。方程提供了依据。School of Aeronautical Science a

3、nd Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，基本方程及条件如下。基本方程及条件如下。Q (1) 运动方程运动方程iij ,ijuf (2) 电学方程电学方程fi , iD 若不存在自由电荷则等式子于零School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Ae

4、ronautical Science and Engineering, BUAAQ2.1 本构方程本构方程Q(3) 力学耦合方程力学耦合方程kijkklijklijEdsEkijkklijklijEeCEE或(4) 电学耦合方程jEdDijklikli或jEeDijklikliSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 几何方程几何方程Q(5) 变形方程变形方程(6) 电场方程电场方程j ,iji ,ijijuu21 i

5、,igradESchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 边界条件边界条件Q(7) 力学边界条件力学边界条件(8) 电学边界条件电学边界条件ijijTn 在S上iiuu 在Su上qnDii在Sq上V在Sv上School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (1)

6、动能dVuu21dVuu21TiipviievpeQ (2) 应变能应变能dV21dV21UiiviivpeQ (3) 电势能电势能dVDE21UmmvppSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (4) 外力功外力功viiviTdSTufdVuWeQ (5) 外电荷功外电荷功qsqqdSW符合说明：符合说明： Ve、Vp和和V= Ve+ Vp分别为弹性材料体分别为弹性材料体积、压电材料体积和总体积。积、压电材料体积和总体积。

7、School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 由由Hamilton原理，系统广义泛函为：原理，系统广义泛函为：t1t2qTp0dtWWUUT 将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能量泛函为：量泛函为： ssiiVViiijijViiqp0dsqdSuTdvdEDdvdvuu School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAScho

8、ol of Aeronautical Science and Engineering, BUAA能量泛函写成矩阵形式有：能量泛函写成矩阵形式有： qpppssTvvTTVVTTTVTdSdqdsTudVEEdVeEdvEedvCdvuu 上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动微分方程的变分形式方程。微分方程的变分形式方程。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ有限元分

9、析，即有限元方法冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），有限元分析，即有限元方法冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术. 这一解法基于完全这一解法基于完全消除微分方程消除微分方程, 即将微分方程转化为代数方程组即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形稳定情形); 或将偏微分方程或将偏微分方程(组组)改写为常微分方程改写为常微分方程(组组)的逼近的逼近, 这样可以用标准的数值技术这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法例如欧拉法,龙格龙格-库库塔方法等塔方法等)求解求解.Q有限元法最初起源

10、于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究. 它的它的发展可以追溯到发展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和和Richard Courant(1942)的工作的工作. 这这些先驱者使用的方法具有很大的差异些先驱者使用的方法具有很大的差异, 但是他们具有共同的本质特征但是他们具有共同的本质特征: 利用网格利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域, 通常叫做元通常叫做元.Hrennikoff 的工作的工作离散用类似于格子的网格离散区域离散用类似于格子

11、的网格离散区域; Courant 的方法将区域分解为有限个三角形的方法将区域分解为有限个三角形的子区域的子区域, 用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程. Courant 的贡的贡献推动了有限元的发展献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的研究结果绘制了早期偏微分方程的研究结果.Q从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特

12、殊的问题。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 压电材料的线性本构方程为：压电材料的线性本构方程为：) 3 , 2 , 1()6 , 2 , 1(lESeDiEeSCjljklkljEijkEiki用矩阵形式表示为：用矩阵形式表示为： ESeDEeSCSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and E

13、ngineering, BUAAQ 对于每一个单元，机械应变可以表示为：对于每一个单元，机械应变可以表示为：xvyuxwzuywzvzwyvxuSxyxzyzzyxeSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 又，位移又，位移u、v、w可以用单元节点位移和形函数表可以用单元节点位移和形函数表示：示：niiiuNu1niiivNv1niiiwNw1School of Aeronautical Science and Enginee

14、ring, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 从而可得：从而可得： xvNyuNxwNzuNywNzvNzwNyvNxuNSniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiixyxzyzzyxe111111111School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩阵形式表示为：上式用矩阵形式表示为： eueuBSBu为包含形函数微

15、分的矩阵：为包含形函数微分的矩阵：000000000 xyxzyzzyxuNNNNNNNNNBSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对于每个单元的对于每个单元的x、y、z方向的位移向量表示为：方向的位移向量表示为： iiiezvuu 同样对于每个单元，电场向量可以表示为为：同样对于每个单元，电场向量可以表示为为： zyxEEEEzyxeSchool of Aeronautical Science and Engineering

16、, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：niiiN1从而：从而： zNyNxNEEEEniiiniiiniiizyxe111School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩阵形式表示为：上式用矩阵形式表示为： eeBEB为包含形函数微分的矩阵：为包含形函数微分的矩阵：zyxN

17、NNBSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 由压电材料的虚功原理：由压电材料的虚功原理：Q 由前面有：由前面有： eeueeeueBuBeDBeuBC eTeeVTeeTeeVTeQudvDEFudvSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又：又：Q 将上

18、两式代入虚功原理有：将上两式代入虚功原理有： eTeVeTTeuTTeeTeVeTTueuTuTeQdvBBuBeBFudvBeBuBCBuTTeTeTuTeTeBEBuSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对上面的式子进行化简，就可用得到单元的有限元方程：对上面的式子进行化简，就可用得到单元的有限元方程：式中： eeeeeeueueuuFuKKKKQ dvBCBKuTvueuu dvBeBKKTTvuTeueu dvBBK

19、TveSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对单元有限元方程进行组装可得压电材料的整体有限元对单元有限元方程进行组装可得压电材料的整体有限元方程：方程： QFuKKKKuuuuSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 压电分析只能用下列单元类型之一：压电分析只

20、能用下列单元类型之一：Q (1) PLANE13, KEYOPT(1)=7，耦合场四边形板单元，耦合场四边形板单元Q (2) SOLID5, KEYOPT(1)=0或或3，耦合场六面体单元，耦合场六面体单元Q (3) SOLID98, KEYOPT(1)=0或或3，耦合场四面体单元，耦合场四面体单元Q KEYOPT选项激活压电自由度：位移和电压。对于压电分选项激活压电自由度：位移和电压。对于压电分析，必须激活位移和电压自由度，即对于析，必须激活位移和电压自由度，即对于SOLID98要选择要选择Degrees of Freedom选项的值为选项的值为UX, UY, UZ, VOLT。对于。对于P

21、LANE13要选择要选择Degrees of Freedom选项的值为选项的值为UX, UY, VOLT。对于。对于SOLID5和和SOLID98，KEYOPT(1)=3仅激活压电选项。仅激活压电选项。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用来表来表示。不同用途的压电陶瓷元器件对压电陶瓷的介电常数要求不示。不同用途的压电陶瓷元

22、器件对压电陶瓷的介电常数要求不同。例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要同。例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小。大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小。Q 压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介电常方向的介电常 数是相同的，即只有一个介电常数。经过数是相同的，即只有一个介电常数。经过极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异性的多晶体。此时，沿极化方向的介

23、电性质就与其他两个方向性的多晶体。此时，沿极化方向的介电性质就与其他两个方向 的介电性质不同。设陶瓷的极化方向沿的介电性质不同。设陶瓷的极化方向沿3方向则有关系方向则有关系 11=2233 即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数11和和33School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 介电系数矩阵介电系数矩阵(介电常数介电常数)Q 用用MP命令命令(Main MenuPreprocessorM

24、aterial PropsMaterial ModelsElectromagnetics Relative PermittivityOrthotropic)定义定义PERX、PERY和和PERZ。这些常数分别表示的是介电系数矩阵。这些常数分别表示的是介电系数矩阵 s上标上标“s表示常数值是在常应变条件下计表示常数值是在常应变条件下计得到的的对角分量得到的的对角分量11,22,33。Q 压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷。其所产生压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷。其所产生的电荷与施加的应力成比例，对于压力和张力来说，其符号是相反的电荷与施加的应力成比例，对于压力和张

25、力来说，其符号是相反的，用介质电位移的，用介质电位移D单位面积的电荷和应力单位面积的电荷和应力T单位面积所受单位面积所受的力表示如下的力表示如下D=Q/A=dT 式中，式中，d的单位为库仑的单位为库仑/牛顿牛顿C/N），这正是正压电效应。还有一个逆压电效应，既施加电场，这正是正压电效应。还有一个逆压电效应，既施加电场E时成比时成比例地产生应变例地产生应变S，其所产生的应变为膨胀或为收缩取决于样品的极，其所产生的应变为膨胀或为收缩取决于样品的极化方向。化方向。 S=dE 式中，式中，d的单位为米的单位为米/伏伏m/v）。上面两式中的比）。上面两式中的比例常数例常数d称为压电应变常数。对于正和逆压

26、电效应来讲，称为压电应变常数。对于正和逆压电效应来讲，d在数值在数值上是相同的。上是相同的。Q 对于企图用来产生运动或振动对于企图用来产生运动或振动(例如，声纳和超声换能器例如，声纳和超声换能器)的材料来的材料来说，希望具有大的压电应变常数说，希望具有大的压电应变常数d。另一个常用的压电常数是压电。另一个常用的压电常数是压电电压常数电压常数g，它表示内应力所产生的电场，或应变所产生的电位移，它表示内应力所产生的电场，或应变所产生的电位移的关系。常数的关系。常数g与常数与常数d之间的关系如下：之间的关系如下：g=d/e 此外，还有不常用此外，还有不常用的压电应力常数的压电应力常数e和压电劲度常数

27、和压电劲度常数h；e把应力把应力T和电场和电场E联系起来，联系起来，而而h把应变把应变S和电场和电场E联系起来，既联系起来，既T=-eE ; E=-hSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 压电矩阵压电矩阵Q 可以定义可以定义e型压电应力矩阵或型压电应力矩阵或d型压电应变矩阵型压电应变矩阵的压电矩阵。的压电矩阵。e型矩阵典型地与刚度矩阵型矩阵典型地与刚度矩阵c的各向异性弹性的各向异性弹性输入有关，而输入有关，而d矩阵与柔度

28、矩阵矩阵与柔度矩阵s的输入相关。的输入相关。 e矩阵和矩阵和d矩阵使用下列数据表输入：矩阵使用下列数据表输入： 111213212223313233414243515253616263eeexeeeyeeezeeeexyeeeyzeeezx 1112212231324142eexeeyeeezeexy2D情况情况3D情况情况School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 大多数已公布的压电材料的大多数已公布的压电材料的e矩阵数据都是

29、基于矩阵数据都是基于IEEE标准标准按照按照x,y,z,yz,xz,xy的顺序，而的顺序，而ANSYS的输入数据是按照的输入数据是按照x,y,z,xy,yz,xz的顺序。也就是说，输入该参数时必须通过改的顺序。也就是说，输入该参数时必须通过改变剪切项的行数据以转换到变剪切项的行数据以转换到ANSYS数据格式。数据格式。 111213212223313233616263414243515253eeexeeeyeeezANSYSeeeexyeeeyzeeezx中Ansys中中e矩阵的输入矩阵的输入School of Aeronautical Science and Engineering, BUA

30、ASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同。刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ ANSYS 中中 PLANE13 单元为单元为 4节点四边形单元，节点四边形单元，每个节点最多有每个节点最多有 4 个自由度，该单元也可以退化个自由度，该单元也可以退化为为 3 节点三角形单元。在用

31、于纯结构分析时，具节点三角形单元。在用于纯结构分析时，具有大变形和应力刚度能力。当有大变形和应力刚度能力。当 PLANE13 单元用单元用于模拟压电传感器于模拟压电传感器/致动器时，在非退化状态下该致动器时，在非退化状态下该单元为具有单元为具有 12 个自由度的四边形单元，每个节个自由度的四边形单元，每个节点包含两个位移点包含两个位移( x方向和方向和 y 方向方向)自由度和一个自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图压电自由度，单元形状和节点信息如下图 所示所示School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of

32、Aeronautical Science and Engineering, BUAAPLANE13 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 单元节点位移向量为：单元节点位移向量为：Q 将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：表示为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aerona

33、utical Science and Engineering, BUAAQ 其中，其中，u 为沿为沿 x 轴方向位移，轴方向位移，v 为沿为沿 y 轴方向位轴方向位移，移， 为节点电压自由度，单元形状函数为节点电压自由度，单元形状函数 Ni为为 式中，式中，s、 t -1,1，为单元的正则化自然坐标。，为单元的正则化自然坐标。 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变根据线弹性应变位

34、移物理方程可得单元内部应变与单元节点位移的关系式分别为：与单元节点位移的关系式分别为： 其中其中School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 单元应变可简化为单元应变可简化为同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压的关系式为：的关系式为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautica

35、l Science and Engineering, BUAA其中其中对于压电平面问题，通常压电材料的极化方向为沿厚对于压电平面问题，通常压电材料的极化方向为沿厚度度 y 方向极化，假定压电层中电压在厚度方向极化，假定压电层中电压在厚度 y 方向为线方向为线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度为为 tp，则可得电场强度，则可得电场强度 Ee为：为： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineeri

36、ng, BUAAQ SOLID5 单元为单元为 8 节点六面体实体耦合压电场单元，每个节点六面体实体耦合压电场单元，每个节点最多有节点最多有6 个自由度，当将个自由度，当将 SOLID5 单元用于模拟压电单元用于模拟压电传感器传感器/致动器时，该单元为具有致动器时，该单元为具有 32 个自由度的实体单元个自由度的实体单元，每个节点包含三个位移，每个节点包含三个位移( x 方向、方向、 y 方向和方向和 z 方向方向)自由度自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图 所示。所示。 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool