电路第十章含有耦合电感的电路

1、第十章第十章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l重点重点 1.互感和互感电压互感和互感电压 2.含有互感电路的计算含有互感电路的计算 3. 变压器原理和理想变压器变压器原理和理想变压器10.1 互感互感1. 互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握其分等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握其分析方法是非常必要的。析方法是非常必要的。线圈线圈1 1中通入电流中通入

2、电流i1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为，这部分磁通称为互感磁通。互感磁通。+u11+u21 11 21N2i1N1下 页上 页 若线圈周围无铁磁物质若线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时， 与与i 成正比成正比,当只当只有一个线圈通有电流时：有一个线圈通有电流时： 。为自感系数，单位亨为自感系数，单位亨称称H)( 111111LiL 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：磁链的代数和： 212

3、1112111 iMiL 1212221222 iMiL 。为互感系数，单位亨为互感系数，单位亨、称称H)( 2112MM注注（1）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足线圈中的电流无关，满足 M12=M21（2）L总为正值，总为正值，M 值有正有负。值有正有负。为为穿穿过过线线圈圈的的磁磁通通。为为线线圈圈匝匝数数，：磁磁链链定定义义NN , 下 页上 页2. 耦合系数耦合系数 (Coupling Coefficient) 工程上用耦合系数工程上用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。当

4、当 k =1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即 11= 21 ， 22 = 1212122112112def LLMk 耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关下 页上 页当当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。两端产生感应电压。 111111dtdiLdtdu 当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律： 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个线

5、圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：均包含自感电压和互感电压：dtdiM dtd u12121 自感电压自感电压互感电压互感电压3. 耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系下 页上 页在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：22122111ILjIMjUIMjILjU dtdiLdtdiMuuu dtdiM dtdiLuuu2212221221112111 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。

6、互感电压的正、负：负。互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈绕向有关。）与线圈绕向有关。注注下 页上 页4. 互感线圈的同名端互感线圈的同名端 对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i 与与 符合符合右螺旋定则，其表达式为：右螺旋定则，其表达式为：dtdiLdtdN dtdu111111111 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。可不用考

7、虑线圈绕向。对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。念。i111 u下 页上 页当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端注意：线圈的同

8、名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。 11N2N1N3i2i3i1确定同名端的方法确定同名端的方法(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。下 页上 页i* 例例(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。引起另一线圈相应同名端的电位升高。1 1 2 2 11 22 3 3*i1 1 2 2 RV电压表正偏。电压表正偏。0 dtdi当闭合开关当闭合开关S时，时，i 增加增加0 2

9、2 dtdiMu 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。下 页上 页 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+M下 页上 页dtdiMdtdiLu2111 dtdiLdtdiMu2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111

10、dtdiLdtdiMu2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写出图示电路电压、电流关系式写出图示电路电压、电流关系式下 页上 页例例21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,10 2211tutuMLLR和和求求已知已知 tstVstVdtdiMtu2 021 1010 10)(12解解 tstVtstVtdtdiLiRtu2 021 150 10010 50 100)(111 tsttstti2 021 102010 101i1*L1L2+_u2MR1R2+_u下 页上 页10.2 含有耦合电感电路

11、的计算含有耦合电感电路的计算1. 耦合电感的串联耦合电感的串联（1）顺接串联）顺接串联iRdtdiMdtdiLdtdiMdtdiLiRu2211 MLLLRRR2 2121 iRLu+去耦等效电路去耦等效电路iM*u2+R1R2L1L2u1+u+*dtdiLRi dtdiMLLiRR)2()(2121 下 页上 页（2） 反接串联反接串联MLLLRRR2 2121 iRdtdiMdtdiLdtdiMdtdiLiRu2211 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLLiRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+*dtdiLRidt

12、diMLLiRR )2()(2121下 页上 页 顺接一次，反接一次，就可以测出互感。顺接一次，反接一次，就可以测出互感。4反反顺顺LLM 互感的测量方法互感的测量方法MLLL221 顺顺MLLL221 反反在正弦激励下：在正弦激励下：* +R1R2+2UI1Lj 2Lj Mj 1UUIMLLjIRRU)2()(2121 IMLLjIRRU)2()(2121 下 页上 页相量图相量图(a) 顺接时顺接时(b) 反接时反接时* +R1R2+2UI1Lj 2Lj Mj 1UUIMLLjIRRU)2()(2121 IILj1 IMj 1UIR2IR1IMj ILj2 2UUIMLLjIRRU)2()

13、(2121 IIR1ILj1 IMj 1UIR2ILj2 IMj 2UU下 页上 页（1） 同侧并联同侧并联dtdiMdtdiLu211 dtdiMLLMLLu221221 解得解得u, i 的关系：的关系：2. 耦合电感的并联耦合电感的并联dtdiMdtdiLu122 21iii *Mi2i1L1L2ui+等效电感：等效电感：0 221221 MLLMLLLeqLequi+去耦等效电路去耦等效电路下 页上 页（2） 异侧并联异侧并联dtdiMdtdiLu211 dtdiMdtdiLu122 dtdiMLLMLLu221221 解得解得u, i 的关系：的关系：等效电感：等效电感：0 2212

14、21 MLLMLLLeq*Mi2i1L1L2ui+21iii 下 页上 页3. 耦合电感的耦合电感的T型等效电路型等效电路（1） 同名端为公共端的同名端为公共端的T型去耦等效型去耦等效21113IMjILjU 21III *1231I2II1Lj 2Lj Mj 1231I2II)(1MLj Mj )(2MLj 12223IMjILjU IMjIMLj 11)(IMjIMLj 22)(下 页上 页（2）异名端为公共端的）异名端为公共端的T型去耦等效型去耦等效*1231I2II1Lj 2Lj Mj 1231I2II)(1MLj Mj )(2MLj 21113IMjILjU 21III 12223I

15、MjILjU IMjIMLj 11)(IMjIMLj 22)(下 页上 页*Mi2i1L1L2ui+Mj 1I2IIU)(1MLj )(2MLj *Mi2i1L1L2+1u2u1I2IMj )(1MLj )(2MLj +1U+2U下 页上 页4. 受控源等效电路受控源等效电路2111IMjILjU *Mi2i1L1L2+1u2u1222IMjILjU +2U+1IMj 1U2IMj 1Lj 2Lj 1I2I下 页上 页5. 有互感电路的计算有互感电路的计算 (1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法。介绍的相量分析方法

16、。 (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。电压。 (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。下 页上 页SUIIMjILjILjR )()(3231111 113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例132下 页上 页例例2求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1ISUIMjILjIMjILjIR 131

17、131311111MjILjIMjIMjUOC 解解1M12+_+_SUOCU* M23M31L1L2L3R1)2()(313113123123MLLjRUMMMLjS 下 页上 页作出去耦等效电路作出去耦等效电路 (一对一对消一对一对消)M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12 L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 解解2 L1M12 +M23L2M12 M23 L3+M12 M23 M13下 页上 页)2(313111MLLjRUIS )2()(313113123123MLL

18、jRUMMMLjUSOC L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUOCU1I下 页上 页例例3要使要使i=0，问电源的角频率为多少？问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+解解CM 1 当当MC1 0 IL1 L2C R + SUIMZ*L1M L2MC R + SUIZM下 页上 页10.4 变压器原理变压器原理 变压器由两个具有耦合的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有耦合的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量

19、或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1. 变压器电路变压器电路下 页上 页*2I+R1R2jXRZ Mj 1Lj 2Lj 1ISU原边回路原边回路副边回路副边回路2. 分析方法分析方法（1） 方程法分析方程法分析回路方程：回路方程：下 页上 页*2I+R1R2jXRZ Mj 1Lj 2Lj 1ISU0122222 IMjILjIZIR SUIMjILjIR 21111 jXRLjRZLjRZ 22221111, 令令SUIMjIZ 2111 02221 IZIMj )(22211

20、1ZMZUIS 2212ZIMjI 下 页上 页*2I+R1R2jXRZ Mj 1Lj 2Lj 1ISUSUIMjIZ 2111 02221 IZIMj 222111in)( ZMZIUZS （2） 等效电路法分析等效电路法分析原边等效电路原边等效电路1I+SUZ11222)(ZM副边对原边的引入阻抗副边对原边的引入阻抗222)( ZM 。即即副副边边开开路路当当11in2 , ,0ZZI 下 页上 页 引入阻抗反映了副边回路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的系，但由于互感作用

21、使闭合的副边产生电流，反过来这个电副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。流又影响原边电流电压。*2I+R1R2jXRZ Mj 1Lj 2Lj 1ISU1I+SUZ11222)(ZM下 页上 页副边等效电路分析副边等效电路分析利用戴维宁定理利用戴维宁定理*2I+R1R2jXRZ Mj 1Lj 2Lj 1ISU111ZUMjIMjUSOC 副边等效电路副边等效电路2I+OCUZ22112)(ZM112)(ZM原边对副边的引入阻抗原边对副边的引入阻抗已知已知 US=20 V , 副边对原边引入阻抗副边对原边引入阻抗 Zl =(10 j10) .求求: ZX 及负载获得的有功功率。及负载获得

22、的有功功率。10101042222jjZZMZXl .jjjjjZX892 . 010200)1010(41010104 此时负载获得的功率：此时负载获得的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：例例1解解下 页上 页* *j10 2Ij10 j2+SU10 ZX+SU10+j10 Zl=10j10 V 0115o SU。求求21 , :II应用原边等效电路应用原边等效电路 )4113020(1111.jLjRZ )85180842(2222.j.LjRRZL 85.1808.42146)(2222jZMZl 例例

23、2解解1下 页上 页,/314,42sradRL ,08. 0,20,465. 0,06. 0,6 . 32121 RRHMHLHL* *j L11I2Ij L2j M+SUR1R2RL1I+SUZ11222)(ZM )8188422()1 .24(3 .462o.jA)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o111 jjZZUIlS应用副边等效电路应用副边等效电路11LjRUMjUSOC 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZM AjjZIMjI1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429

24、 .64111. 01462212 解解285.1808.425 .182jjUIOC 下 页上 页2 I+OCUZ22112)(ZM Vjj085.144 .1130200115146 A0353. 008.42085.14 例例3互感电路如图，求电路初级端互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。解解1111LjZ 22222)(LMjZMZl )1()1(212121kLjLLMLj 解解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab )/()(21MLMMLLab 下 页上 页* *L1aM+SUbL2222LjZ 22111LMjLjZZZlab 22

25、1)(LMLMML )1(21212221LLMLLMLL 例例4L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 问问：R2=？能吸收最大功能吸收最大功率率, , 求最大功率。求最大功率。V 010o SU解解1 10)1(11111CLjRZ 222222)1(RCLjRZ 2222400)(RZMZl 10 106 6rad/s, 10021LL 1001121CC 20 M 应用原边等效电路应用原边等效电路时时当当21140010RZZl R2=40 , 吸收最大功率吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 下 页上 页* *L1L

26、2M+SUR1C2R2C1+SU10 2400R解解2应用副边等效电路应用副边等效电路4010400)(112 ZMZl VjjZUMjUSOC2010102011 当当 402lZR时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 下 页上 页R240)(112 ZM +OCU* *L1L2M+SUR1C2R2C1解解副边开路，对原副边开路，对原边回路无影响，边回路无影响，先应用三要素法先应用三要素法求电流求电流i(t)。i)0()0( ii0 ts01. 0202 . 0 t0)( iAeeiiititt100)()0()()( VeedtddtdiMtutt1001002

27、10)(1 . 0)( 下 页上 页例例5图示互感电路已处于稳态，图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，求时开关打开，求t 0时开时开路电压路电压 u2(t)。* *0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 A1211510/1040 10 10.5 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合）全耦合（1）无损耗）无损耗线圈导线无

28、电阻，做芯子的铁线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁材料的磁导率无限大。（3）参数无限大）参数无限大 MLL,21 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。下 页上 页nNNLL 2121 但但 i1122N1N2 2211212. 理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu111 dtdNdtdu222 nNNuu 212

29、1*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNNuu 2121下 页上 页（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件： 121LLMk nNNLLL 21211 ,0nLLLM1121 )(1)(21tinti 若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：)(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型下 页上 页（3 3）变阻抗关系）变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。不改变阻抗的性质。注注下 页上 页*1I+1Un : 1Z2U2I+n2Z1U1I（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此）理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini 0)(111112211 niuniuiuiup（a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能