高数下册公式总结

1、公司内部档案编码：OPPTROPPT28OPPTL98OPPNN08第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的儿何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作“或a = axi + avj + azk = (ax ,av,az)5 = 1心*你=二=prjza模向量“的模记作岡和差、bc =a+bc -abC =a+b = ax 土优,Gy2单位向量“ H 0,贝J efl =-r H(ax.aaz)0屁+宀町方向余弦设a与轴的夹角分别为 a、卩，丫，则方向余弦分别为 COS0 COS0, cos/cos a =ea =(cocos2 a+(%C a、G亠 COS0 = F，COS/ =

2、 aaaSOS COS0, cos/):os2/7 + cos2/ = 1点乘（数量 积）ab = p/|Z|cos , &为向量 8 与方 的夹角ab = axbx+ayby+azbz义乘（向量 积）c =axb|c| = 问 sin。0为向量a与的夹角 向量c与“，方都垂直a xb =(i J klx5爼 b、b-定理与公式垂直a kb o“ = 0丄 b xZx +a、b、+azbz =0平行a lib x = 0Z/Iuxgb b bXyz交角余弦两向量夹角余弦COS& =兽HHa A +a.by +(ib.COS0- j二_? J, +叮 +a.2 .y +可 +鸟2投影向量“在非零

3、向量“上的投影 prjba = |“|cosM）=晋厶+9久+“山Prha = rir yjbx +by +bz平面直线法向量/= A.B.C点 A/0(x0y0,z0)方向向量 T = m.n.p 点 M0(x0,y0,z0)方程名方程形式及特征方程名称方程形式及特征称一般式Ax+ By+Cz. + ) = 0一般式Ax+ Bxy + Cz + Dx = 0A2x+ B2y + C2z + D2 = 0点法式A(x-o) + B(y-yo) + C(z-zo) = O点向式_ y-y0 _ z_Zo mnp三点式xx J-J1 ZZ|*2K儿一必6-尙兀3一卩儿一X Z3-Z|=0参数式x

4、= x0 + mt y = jo + m Z = Z()+ /M截距式X y Z=1两点式_ J-Jo _ Z-Zu y一儿 Z|zn1a b c“一心面面垂 直Ax A2 + BlB1 +CG = 0线线垂直inm2 + px p2 = 0面面平 行A1 _ clA.B=C7z厶线线平行“ _ 9 _ Pi m2 n2 p2线面垂 直ABC m n p线面平行Am+ Bn + Cp = 0点面距离Ax+By + Cz + D = O面面距离Ax + By + Cz + D =0Ax + By + Cz. + D2=0t_ Axo+Byo+C5+D|d =yA2+B2+C2Ja2 + b2+c

5、2面面夹角线线夹角线面夹角H,= ap,c,h2= a2,b2,cjSS2 =/n272,p2s =mji.p n=A.B.C1 A A, + BB、+CC 1cosG = ；QAj + BJ + C； 忙 + 呼 + C?，cos 9?：siny = -Am + Bn + Q;|J加;+ p： yjm； + n； + p；J A2 + B2 +C2 J, +/r + p空 间 曲 线 r(X =(ptz =atp)切向量亍=（0（/（J，肖（心），少（/（）切“线”方程：蔦*-0仇）0仇）”（厶）法平“面”方程：0(心)(x - 心)+ 肖U) (y - 儿)+ 0(心)(z - z) =

6、0y = p(x)0 _Z-ZoZv(xoOo)几(So)j第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分心JP （儿加D平面薄片的 质量质量二面密 度X 面积（1）利用直角坐标系1 型Jj* /（X，y）dxdy = dxj； ： /（%，刃心p型jj /（X, ydxdy =：f （兀,y）dx（2）利用极坐葆系使用原则（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆 弧,直线段）；（2）被积函数用极坐标变量表示较简单（含（x2 + /） a为实数）&r-0兀 0 Xjj/（/?cos,psin 0）pdpdOi）=1 d0 /（pcospsinO）pdpVk “.C ：7 -v-

7、” 弋空/一x092/r00tt7t017t:高等数学(一)教案 期末总复习(3)利 当D 结论)!=*)对于x是奇函数，BP/(-x,y) = -/Uy) 2j7(x, y)dxdy f(x. y)对于 x 是偶函数，即/(x, y) = /(x, y) D是zXl勺右半部分计算步骤及注意事项1. 画出积分区域2. 选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3. 确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙1.确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5.计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性(1)利用直角坐标截面法投影 口“(禺 % z)d V =z)dzn

8、(2)利用柱面坐标相当于在投影法的基础上居适用范围： 积分区域表面用柱面坐 体 被积函数用柱面坐丿 f(x2 + y2)f(x2+z2) 肛心*凶=仏了呵:x = r cos 0y = rsin 0(角坐标转换成极坐标标表示时方程简单；如旋转际表示时变量易分离.如f(pcos psin 0、Z)Qd/?F)(3)利用球面坐标x = pcosO = rsin 9 cos y = psin = rsin sin Z = rcQS(p三重积分空间立体物 的质量质量二密度 X面积dv = r2 sin （pdrdcpdO适用范围：积分域表面用球面坐标表示时方程简单；如，球体， 锥体.被积函数用球面坐标

9、表示时变量易分离.如， f（x2 + y2 + z2）/ = d d&/（psin （pcos0. psin?sin 0, pcos（p）p sin gxp（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线 积分曲形构件的 质量质量二线密度參数法(转化为定积分)(1) L :y =(p(x)/ = 7(0(/),卩)J + b (/)/厶:一炉(at/3)i = fyM) + y2y =如)Ja/ c、jx = /(&)cos&(3) r = r(0) (a 3 p Ly =,(0)sin&X弧长I =/(“)cos61

10、“)sin &)&) +严(O)d0Jet平面第二类 曲线积分/ = j P（lx+ Qdy变力沿曲线 所做的功（1）參数法（转化为定积分）Ldx=/w/zEDyS : z = z(x,y), y为工的法向量与兀轴的夹角 前侧取 “ + , cos/0 ；后侧取，cos/0；左侧取一”，cos0vO |*|* Qdxdy = Jj g(x, y, z(x, y)lxdyEDy.S : A =x(y,z), a为工的法向量与x轴的夹角 上侧取+ ,cos a 0 ；下侧取-”，cosavO高斯公式右手法则取定X的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域。的外 侧P, Q, R具有一阶连续偏导数结

11、论：g Pdydz + Qdzjclz. + Rdxdy = JJJ（ + 警 + 姜） 应用满足条件直接应用 皿用：不是封闭曲面，添加帝動面(3)門类曲面积分之间的联系| Pdydz +Qdzdx + Rdxil y = jj (P cos a + 0 cos /?+/? cos /5 zz转换投影法：dydz. = (-)dxdy dz.dx = (一)dxdy dxdy所有类型的积分： 定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限； 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章级数常数项级一般项级-交错收敛“傅立叶级R = 一 , p H 0； R = -HX Q = O；/C = O,Q = -KCS(x)的性质在收敛域I上连续；0在收敛域(-R , R)内可 导，且可逐项求导；和函数s(x)在收敛域/上可积分，且直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式100X 1=Vx