自动控制_03f不同类型系统的稳态误差

1、下面我们来复习单位阶跃信号、单位斜坡信号、恒加速度信号分别作用于0型、型、型系统时的稳态误差的终值稳态误差的终值 。 )(sse)( 1)(ttr一、一、 根据公式 )()(11lim)(lim)(00sRsGsssEessss3-6.3 不同类型系统的稳态误差不同类型系统的稳态误差)0(11)(0lim11)(110lim1)(110limGsGssGsssGss引入静态位置误差系数引入静态位置误差系数 （开环位置放大倍数）（开环位置放大倍数）pK)0()(lim0GsGKsppssKe11)( （表系统的位置误差）（表系统的位置误差）1） 对于对于0型系统型系统 KsTsTsTsTssss

2、sKsGKnmssp) 1() 1)(1)(1() 1() 1)(1)(1(lim)(lim32132100Kess11)( 0型系统的阶跃响应型系统的阶跃响应由此可见由此可见0型系统在单位阶跃函数作用下存在稳态误差。如下图。型系统在单位阶跃函数作用下存在稳态误差。如下图。2）对于）对于型系统型系统 )()(11lim)(0sRsGsesss0)()()(0lim)()(110lim)(110limsMssNssNssNssMssGs对于对于型系统同样可得型系统同样可得 。因此在单位阶跃信号作用下，。因此在单位阶跃信号作用下，型、型、型系统的稳态误差为零。型系统的稳态误差为零。0)(sse二、

3、二、ttr)()()(11lim)(0sRsGsesss201)(11limssGss)(0lim1ssGs引入静态速度误差系数（开环速度放大倍数）引入静态速度误差系数（开环速度放大倍数）vK)(lim0ssGKsvvssKe1)( （表系统速度误差）（表系统速度误差） 1）对于）对于0型系统型系统 0)()(lim0sNsMsKsvvssKe1)( 2）对于）对于型系统型系统KsTsTsTsTssssssKssGKnmssv) 1() 1)(1)(1() 1() 1)(1)(1(lim)(lim32132100KKevss11)( 型系统对斜坡输入的响应型系统对斜坡输入的响应 由此可见，由此

4、可见，型系统对斜坡输入信号响应存在一个稳态误差。见下型系统对斜坡输入信号响应存在一个稳态误差。见下图。图。同理，我们可得对于同理，我们可得对于型系统有型系统有0)(sse三、三、221)(ttr)()(11lim)(0sRsGsesss301)(11limssGss)(20lim1sGss引入静态加速度误差系数（开环加速度放大倍数）引入静态加速度误差系数（开环加速度放大倍数）aK)(lim20sGsKsaassKe1)(（表加速度误差）（表加速度误差） 对于对于0型和型和型系统型系统0aK)(sse 对于对于型系统型系统KsTsTsTsTsssssKssGsKnmssv) 1() 1)(1)(

5、1() 1() 1)(1)(1(lim)(lim32123212020Kess1)( 由此可见，由此可见，型系统在型系统在跟踪恒加速信号时，有跟踪恒加速信号时，有一恒定的位置误差。一恒定的位置误差。型系统对恒加速信号的响应型系统对恒加速信号的响应221,),( 1)(ttttrt将输入信号 分别作用于0型、型、型系统时所对应 的稳态误差列表如下： 例例:某控制系统的结构图为某控制系统的结构图为 试分别求出试分别求出H(s)=1和和H(s)=0.5时系统的稳态时系统的稳态误差。误差。12102ss)(sH)(sC-)( 15)(ttr解解:当当H(s)=1时时,系统的开环传递函数为系统的开环传递

6、函数为则系统稳态误差则系统稳态误差当当H(s)=0.5时时,0,10,1210)(2ksssG115101510kRess3555 . 015 . 0121011lim)()(lim200sssssRssesersss 若上例在若上例在H(s)=1时时,系统的允许误差为系统的允许误差为0.2,问开环增益问开环增益k应等于多少应等于多少? 当当 时时,上例的上例的稳态误差又是多少稳态误差又是多少? 因为因为0型系统在速度输入和加速度输入下的型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大稳态误差为无穷大,根据叠加原理根据叠加原理,ess=2412 .051,100sssseRkkRe则1)(,2

7、1)( 1)(2sHttttr方法二、长除法方法二、长除法 长除法：用误差传递函数长除法：用误差传递函数 的分子多项式除以分母多的分子多项式除以分母多项式求误差系数。误差传递函数的分子、分母须排成项式求误差系数。误差传递函数的分子、分母须排成s的升的升幂级数，然后再作除法。幂级数，然后再作除法。)(se3-6.4 动态误差系数动态误差系数利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意时间函数利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。时的系统稳态误差。方法一、泰勒级数展开法方法一、泰勒级数展开法例例1设有一随动系统如图所示设有一随动系统如图所示,已知已知 及及 , 试计算随动系

8、统的稳态误差试计算随动系统的稳态误差.ttr)()( 1)(ttn思路思路 分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的稳态误差稳态误差,然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差。为然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差。为简化计算，采用长除法。简化计算，采用长除法。第一步第一步,令令 ,求系统控制信号引起的误差求系统控制信号引起的误差0)(tn由图可得由图可得 10) 1)(102. 0() 1)(102. 0() 1(2102. 0511)()()()(ssssssssssRssse302. 0202. 110302. 0202. 1ssssss用分子除以

9、分母用分子除以分母,作整式除法作整式除法 23232092. 01 . 002. 002. 102. 002. 110ssssssss432002. 0102. 01 . 0)ssss432002. 0082. 092. 0sss得出得出 2092. 01 . 0)()()(sssRsEsRe1 . 0)(092. 0)(1 . 0)(. trtrtessr )(stt 第二步第二步,令令 ,求干扰信号引起的稳态误差求干扰信号引起的稳态误差0)(tr由图可得由图可得 )1(2102.051)1(2)()()()()(ssssssNssNsEsNNen302. 0202. 110)04. 02(

10、ssss作整式除法 sssss016. 02 . 004. 0202. 002. 1103232004. 0204. 02 . 02)sss32004. 0204. 016. 0sss 已知 ,则)( 1)(ttn0)(. tn2 . 0)(016. 0)(2 . 0)(.tntntessn 第三步第三步,根据叠加原理根据叠加原理,求系统总的稳态误差求系统总的稳态误差3 . 02 . 01 . 0)()()(tetetessnssrss例例 2 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.6- 3 所 示 。 图 中所 示 。 图 中 K1= 1 0 ，K

11、2=2， ， 伏伏/（转（转/分）。试求分）。试求 （伏）时的（伏）时的稳态误差。稳态误差。1 . 005. 0ck)( 1)(ttr解解 对于非单位负反馈系统，我们先求系统的偏差对于非单位负反馈系统，我们先求系统的偏差由图可得由图可得 )()(11)()()(21sGsGksRssc124. 02107. 0111sKsKck已知已知K1=10，K2=2， ， 伏伏/（转（转/分）将它们代入分）将它们代入上式，并整理得上式，并整理得1 . 005. 0ck220168. 031. 01 . 10168. 031. 01)(sssss采用长除法得采用长除法得 21 . 1008. 01 . 1

12、03. 01 . 11)(sss20073. 00273. 0909. 0ss)(0073. 0)(0273. 0)(909. 0)(2sRsssRsRs 进行拉氏反变换得进行拉氏反变换得 .)(0073. 0)(0273. 0)(909. 0)(trtrtrtss已知已知 ， 代入上式得代入上式得)( 1)(ttr0)(. tr909. 0)(tss又又 cksH)(8 .18105. 01 . 0909. 0)()(cssssktte G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)3-6.5 扰动作用下系统稳态误差的分析扰动作用下系统稳态误差的分析 理想情况下理想情况下,系

13、统对于任意形式的扰动作用系统对于任意形式的扰动作用,其稳态其稳态误差应当为误差应当为0,即对于扰动信号即对于扰动信号N(s)而言而言,理想的情况就理想的情况就是扰动信号引起的输出为是扰动信号引起的输出为0,希望系统的输出一点都不希望系统的输出一点都不受扰动的影响受扰动的影响,实际上这是不可能的。实际上这是不可能的。 如上图所示，如果输入信号如上图所示，如果输入信号R(s)=0,仅有扰动仅有扰动N(s)作用时作用时,系统误差为系统误差为:)()()()(1)(lim)()()()(1)()(2120212sNsHsGsGsGsesNsHsGsGsGsEsss 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态

14、误差,实质上就是扰动引实质上就是扰动引起的稳态输出的负值起的稳态输出的负值,它与开环传递函数它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号及扰动信号N(s)有关有关,还还与扰动作用点的位置有关。与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)12Tsk)( 1)(0tMtn0ksk1(a)r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(b)000210210021020)1(1)1(lim:)(0)1(11lim:)(kMsMTsskkkTsskksebsMTsskkkTskseassssss中中 作用点不同作用点不同,稳态误差也不同。稳态误差也不同。 在扰动

15、作用点之前的前向通路中用一个积分在扰动作用点之前的前向通路中用一个积分环节用环节用 （比例积分调节器）代替（比例积分调节器）代替)11(00sTk0kr(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn)11 (00sTksk1(b) 由此可得，干扰信号作用下产生的稳态误差由此可得，干扰信号作用下产生的稳态误差除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前用点之前(干扰点与误差点之间干扰点与误差点之间)的传递函数的的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作用点之后的传结构及参数有关，但与干扰作用点之后的传递函数无关。递函数无关。0)1()11(1)1(lim0

16、2100210sMTsskksTkTsskksesss则 为系统对输入信号的误差传递函数为系统对输入信号的误差传递函数, 为系统对扰动信号的误差传递函数。为系统对扰动信号的误差传递函数。 则则: 例例:已知系统的结构图如下已知系统的结构图如下,试求系统在输入试求系统在输入信号信号r(t)=t和扰动信号和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下同时作用下系统的稳态误差系统的稳态误差ess)(ser)()()()(lim)(lim00sNssRssssEeenerssss)(sen解解:理想情况偏差信号理想情况偏差信号E(S)0， 则系统在输入信号作用下的希望输出为：则系统在输入信号作用下的希望输出

17、为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)12.01s)1(2ss)()(1)(sRsHsCr)()()(sHsCsRr 对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,理想的情况就是扰动理想的情况就是扰动信号引起的输出为信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。不受扰动的影响。 系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)则则R(s)和和N(s)引起的系统误差引起的系统误差为为:)()()()(1)()()()()()(1)()()(21222

18、1211sNsHsGsGsGsCsRsHsGsGsGsGsC)(1)()()(11)()()()()()()(1)()()(1)()()(21212111sHsHsGsGssRssRsHsGsGsGsGsHscsCsEererr 在本题中在本题中,首先要判断系统的稳定性首先要判断系统的稳定性,如果系统如果系统不稳定不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为不可能存在稳态误差。特征方程为:)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(1)()(0)(2121221222sNssRssEsEsEsHsGsGsGssNssNsHsGsGsGsCsEenerenen02) 1(

19、212 . 011)()()(121ssssHsGsG即即:所以系统稳定。所以系统稳定。根据推导出的公式根据推导出的公式:0321238 . 02 . 1042 . 12 . 0aaaasss，即2)1(212 .011)1(2)(212)1(212 .0111)(ssssssssssener 系统的误差与系统的结构有关系统的误差与系统的结构有关,还与外作用还与外作用(输入信号输入信号,扰动扰动)的大小及形式有关。的大小及形式有关。85)()()()(lim)(lim1)()( 1)(1)()(002sNssRssssEessNttnssRttrenerssss3-6.5 减少和消除系统的稳态

20、误差的办法减少和消除系统的稳态误差的办法1、提高系统的开环放大倍数。、提高系统的开环放大倍数。（矛盾：（矛盾： 稳定性稳定性 ）)(sse2、增加系统的类型数、增加系统的类型数当系统跟踪当系统跟踪 类型的信号时，系统的稳态误差等于零。类型的信号时，系统的稳态误差等于零。iivitritr10!1)(证明： )()()()(11)()()(sMsNssNssGsRsEsvve)()()()()()()(sRsMsNssNssRssEvve设 112210)!1(1! 21)()(vvtrvtrtrrtr则则 vvsrsrsrsrsR132210)(利用终值定理得利用终值定理得 )(lim)(0s

21、sEesss)()()(lim0sMsNssNssvvs)(132210vvsrsrsrsr=0 因此对于形如因此对于形如 的输入信号，可在系统的前向通道上串的输入信号，可在系统的前向通道上串联联 个积分环节就可以消除稳态误差。但又面临将使系统稳定性降个积分环节就可以消除稳态误差。但又面临将使系统稳定性降低的问题。所以应折中考虑系统的稳态误差和稳定性。低的问题。所以应折中考虑系统的稳态误差和稳定性。iivitritr10!1)(v3、减少和消除干扰信号引起的稳态误差的办法、减少和消除干扰信号引起的稳态误差的办法干扰信号与控制信号的作用点不同，须重新分析上面所得出的结论。干扰信号与控制信号的作用

22、点不同，须重新分析上面所得出的结论。1) 放大倍数的影响放大倍数的影响 图3.6-5 控制系统方块图图3.6-5中，设1)(111sTKsG1)(222sTKsG， 由图可求得误差信号对干扰信号的闭环传递函数由图可求得误差信号对干扰信号的闭环传递函数)()(1)()()()()(212sGsGsGsNsEssNNeN21) 12)(11() 11(2KKsTsTsTK)() 1)(1() 1()(212112sNKKsTsTsTKsEN 若干扰信号为单位阶跃信号，则若干扰信号为单位阶跃信号，则ssN1)(所以所以 )(lim)(0ssEeNsssnsKKsTsTsTKss1) 1)(1() 1

23、(lim21211202112KKK得出减少干扰信号引起的稳态误差的方法：提高系统前向通道中干得出减少干扰信号引起的稳态误差的方法：提高系统前向通道中干扰信号作用点之前的环节的放大倍数。扰信号作用点之前的环节的放大倍数。2）系统类型的影响）系统类型的影响a）设图）设图3.6-5中系统前向通道中系统前向通道 中有中有 串联环节，即串联环节，即)(1sGv)()()(111sNssMsGv)()()(222sNsMsG， 为便于比较控制信号与干扰信号引起的稳态误差的不同，由图为便于比较控制信号与干扰信号引起的稳态误差的不同，由图3.6-5我们分别求得误差信号对控制信号及干扰信号的闭环传递函数我们分

24、别求得误差信号对控制信号及干扰信号的闭环传递函数)()(11)()()()(21sGsGsRsEssRe)(2)(1)(2)(1)(2)(1sMsMsNsNvssNsNvs)()(1)()()()()(212sGsGsGsNsEssNnen)(2)(1)(2)(1)(2)(1sMsMsNsNvssMsNvs对于控制信号形如对于控制信号形如iivitritr10!1)(和干扰信号形如和干扰信号形如iivitnitN10!1)(从上面我们可以看出，控制信号和干扰信号作用下的误差传递函数从上面我们可以看出，控制信号和干扰信号作用下的误差传递函数中都含有中都含有 个个 的零点，因此在如上控制信号和干扰

25、信号形式的零点，因此在如上控制信号和干扰信号形式作用下，系统的稳态误差等于零。作用下，系统的稳态误差等于零。v0s故我们可以得出：故我们可以得出：在干扰信号作用点前串联在干扰信号作用点前串联 个积分环节，可以消个积分环节，可以消除控制信号和干扰信号作用于系统引起的稳态误差，除控制信号和干扰信号作用于系统引起的稳态误差，这与我们前面这与我们前面讨论消除控制信号引起的稳态误差的结论是相同的。讨论消除控制信号引起的稳态误差的结论是相同的。vb）假设）假设 个串联积分环节中，有个串联积分环节中，有 个集中在个集中在 部分，部分， 个个集中在集中在 部分，即部分，即v1v)(1sG1vv )(2sG)(

26、)()(1111sNssMsGv)()()(2221sNssMsGvv， 这时这时)()(11)()()()(21sGsGsRsEssRe)(2)(1)(2)(1)(2)(1sMsMsNsNvssNsNvs)()(1)()()()()(212sGsGsGsNsEssNnen)(2)(1)(2)(1)(2)(11sMsMsNsNvssMsNvs此时系统跟踪前面形式的控制信号与干扰信号其稳态误差不等于零。此时系统跟踪前面形式的控制信号与干扰信号其稳态误差不等于零。若干扰信号改成如下形式，则系统的稳态误差又为零。若干扰信号改成如下形式，则系统的稳态误差又为零。iivitnitn101!1)( 减少和

27、消除干扰信号引起的稳态误差，须注意干扰信减少和消除干扰信号引起的稳态误差，须注意干扰信号的作用点。只有串联在干扰信号作用点前的积分环节才号的作用点。只有串联在干扰信号作用点前的积分环节才对减少和消除它引起的稳态误差起作用。对减少和消除它引起的稳态误差起作用。 对非单位反馈系统，我们所得出的减少和消除系统的对非单位反馈系统，我们所得出的减少和消除系统的稳态误差的方法都适用。稳态误差的方法都适用。综上所述综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。益。为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提

28、高为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，提高开增益。而这样都会降低系统的稳定性，提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。采用如下动态性能，利用上述方法难以兼顾。采用如下一些方法。一些方法。1.按干扰补偿按干扰补偿. 如果加于系统的干扰是能测量的如果加于系统的干扰是能测量的,同时干扰同时干扰 对系统的影响是明确的对系统的影响是

29、明确的,则可按干扰补偿的则可按干扰补偿的 办法办法提高稳态精度。办法办法提高稳态精度。G2(s)Gn(s)G1(s)C(s)R(s)E(s)N(s)-+在扰动作用下的输出为在扰动作用下的输出为:完全消除扰动对系统输出的影响。完全消除扰动对系统输出的影响。增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误差为差为0。, 0)(,)(1)()()()(1)()()()()(121212sCsGsGsNsGsGsGsGsGsGsCnn则若例例:系统输出系统输出:)1(sTskmm111sT1k)(s

30、Gn-R(s)=0N(s)C(s)补偿装置补偿装置放大器放大器滤波器滤波器)() 1)(1(11)(1 ) 1()(1111sNsTsTskksTksGsTsksCmmnmmn 若选若选 则系统的输出不受扰动的影则系统的输出不受扰动的影 响响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。 如果选如果选 则在稳态情况下则在稳态情况下,这就是稳态全补偿这就是稳态全补偿, 实现很方便。实现很方便。),1(1)(11sTksGn,1)(1ksGn0)() 1)(1(11)1(1 ) 1(

31、lim)(lim)()(lim1111100sNsTsTskksTkksTsksscsctcmmmmsnsnnt2.按给定输入补偿按给定输入补偿.如果要求对误差实行全补偿如果要求对误差实行全补偿R(s)G1(s)G2(s)Gr(s)-C(s)补偿装置补偿装置 同样同样,全补偿也难以实现全补偿也难以实现,通常采用稳态补偿通常采用稳态补偿的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的稳态误差。的稳态误差。)(1)()()(0)()()()()()(1)()()()(22121sGsGsCsRsCsRsEsRsGsGsGsGsGsCrr不引入补偿装置，则系统开环传递函

32、数不引入补偿装置，则系统开环传递函数 为为型系统型系统, ,所以在速度输入信号作用下所以在速度输入信号作用下, ,存在常值稳态误差存在常值稳态误差tVtrsTsksGsTksG0222111)(,) 1()(,1)(若) 1)(1()()()(212121sTsTskksGsGsG210kkVess引入按输入补偿的作用引入按输入补偿的作用Gr(s),则则如果选如果选 则则但但 在物理上难以实现。在物理上难以实现。)()()(1)()(1)()()(1)()()()()(2122121sRsGsGsGsGsRsGsGsGsGsGsRsErr222) 1()(1)(ksTssGsGr0)(sE22

33、) 1()(ksTssGr如果取如果取 ,则则这样即实现稳态补偿。这样即实现稳态补偿。2)(kssGr)(lim)()()() 1)(1(1) 1(1)()()(1)(1)(020021212222122ssEesVsRtVtrsRsTsTskksTskkssRsGsGsGkssEsss3-6.6 基本控制规律的分析基本控制规律的分析l 比例（比例（P）控制）控制l 比例加微分（比例加微分（PD）控制）控制l 比例加积分（比例加积分（PI）控制）控制l 比例加积分加微分（比例加积分加微分（PID）控制）控制1 比例（比例（P）控制）控制)()(teKtmppcKsEsMsG)()()( 负反馈控制系统中，误差是进行控制