高等代数§5.4 正定二次型

1、则称则称f 为为正定二次型正定二次型. .12(,)0nf c cc 如，二次型如，二次型 是正定的；是正定的； 2121(,)nniif x xxx 不是正定的不是正定的 但二次型但二次型 12121(,)nniif x xxx 一组不全为零的实数一组不全为零的实数 都有都有12,nc cc：实二次型实二次型 若对任意若对任意 12(,)nf x xx1）实二次型实二次型 正定正定 X A X ,0nXRX AX 若若X X0 0, ,则则2）设实二次型设实二次型 f 正定正定 0,1,2,idin证证：充分性显然：充分性显然. 下证必要性，若下证必要性，若 f 正定，取正定，取 22212

2、1122(,)nnnf x xxd xd xd x 则则20()0,0,1,2,iiif Xd xdin 0( )(0,0,1,0,0) ,1,2,iXin 经过非退化线性替换经过非退化线性替换 XCY 化成化成 则，则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性非退化线性替换不改变二次型的正定性. . 11220,0000YYYYnnkckcXCkc1212(,)()(,)nnf x xxY C AC Yg yyy12000012(,)()(,)nnf c ccX AXYC AC Yg k kk 任取一组不全为零的数任取一组不全为零的数 令令12,nk kk证明证明：设正定二次型：设正定二次型

3、 12(,)nf x xxX AX 所以，非退化线性所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性替换不改变二次型的正定性. .又由于又由于C可逆，可逆， 0Y 0 0，所以，所以 0,X 0 0同理，若同理，若 正定，则正定，则 正定正定. . fg1212(,)(,)0nng k kkf c cc12(,)ng yyy正正定定. .反之，实二次型反之，实二次型 可经过非退化可经过非退化12(,)ng yyy不全为不全为0.即即12,nc cc线性线性替换替换变到实二次型变到实二次型 12(,),nf x xxYX-1-1=C=C秩秩 n （ 的正惯性指数的正惯性指数）. .fpf4） n元实二次

4、型元实二次型 正定正定12(,)nf x xxXCY 证证：设：设 经非退化线性替换经非退化线性替换 12(,)nf x xx222121122(,)nnnf x xxd yd yd y变成标准形变成标准形 由由2 2), ), 正定正定 f0,1,2,idin即，即， 的正惯性指数的正惯性指数pn秩秩 . .ff规范形为规范形为 22212.nzzz2221122,0,1,2,nnd yd yd yiin5）正定二次型正定二次型 的标准形为的标准形为 12(,)nf x xx 设设A A为实对称矩阵，若二次型为实对称矩阵，若二次型X AX正定二次型的规范形为正定二次型的规范形为 22212n

5、zzzZ EZ 是正定的，则称是正定的，则称A A为为正定矩阵正定矩阵. .2) 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 1）实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定 A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同合同. .A与与E合同合同,即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C，使使AC ECC C可见，正定矩可见，正定矩阵是可逆矩阵阵是可逆矩阵.存存在在可可逆逆矩矩阵阵C C，使使A C C 3）实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定 A与任一正对角矩阵合同与任一正对角矩阵合同. . 即，即，D与与E合同合同. .为任一正对角矩阵，则为任一正对角矩阵，则若若12,0,1,2,inddDdind1122111nnddddDdd

6、 例例1 1、设设 A 为为 n 阶正定矩阵，证明阶正定矩阵，证明 （5 5）若）若B亦是正定矩阵，则亦是正定矩阵，则AB也是正定矩阵；也是正定矩阵；（2 2）是正定矩阵；）是正定矩阵；(0)kA k （1 1） 是正定矩阵；是正定矩阵；1A （3 3）是正定矩阵；）是正定矩阵；*A（4 4） 是正定矩阵（是正定矩阵（m为任意整数）；为任意整数）；mA证：证： （1）由于）由于A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵P，使，使于是有，于是有，故，故， 正定正定.1A （2）由于）由于A正定，对正定，对 都有都有,0,nXRX 0,X AX 因此有因此有()0.X kA XkX AX11111

7、11()()() )()P APPAPPAPE ,P APE 令令1() ,QP 故，正定故，正定. .kA即，即， 与单位矩阵与单位矩阵E合同合同.1A 则则Q可逆，可逆，且且1,Q AQ E ，由（，由（1 1）（）（2 2）即得）即得 正定正定. .*1AA A 又又*A（3）A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵C，使使AC C ，于是，于是20AC CC 当当 m2 2k时，时，2(),mkkkkkAAA AAEA 即，与单位矩阵即，与单位矩阵E合同，所以合同，所以 正定正定.mAmA（4）由于）由于A正定，知正定，知 为为 n 阶可逆对称矩阵阶可逆对称矩阵，mA（5）由于）由于

8、A、B正定，对正定，对 都有都有,0,nXRX 0,0X AXX BX因此有因此有()0.XAB XX AXX BX故，故，AB 正定正定.当当 m2 2k1时，时，21(),mkkkkkAAA AAAAA 即，与正定矩阵即，与正定矩阵A合同，而合同，而A与单位矩阵与单位矩阵E合同，合同，mA所以所以 与与E合同，即合同，即 正定正定.mAmA1）实对称矩阵实对称矩阵 正定正定 ()ijn nAa0,1,2, .iiain 取取(0,0, 1 ,0,0)iiX 第第 个个正定正定. . 证：证：若若A正定正定 ，则二次型，则二次型12(,)X AXnf x xx ()0,1,2,iiiiif

9、XX AXain 则则反之不然反之不然. . 即，即， 为对称矩阵，且为对称矩阵，且()ijn nAa 但但A未必正定未必正定.如如0,1,2, ,iiain 11,1 1A 所以所以A不是正定的不是正定的.21212(,)() ,f x xX AXxx 当时，有当时，有12121(,)0.xxf x x2) ) 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 det0AA但但 不是不是正定二次型正定二次型.2212X AXxx 1 0,1001AA 如如20.AC CC 证：证：若若A A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵C C ，使，使,AC C 从而从而反之不然反之不然. . 即实对称矩阵即实对称

10、矩阵A A，且，且 A未必正定未必正定.0,A 11111)(1,2, )kk kkkkaaAkRaa 称为称为A为第为第k k阶阶顺序主子矩阵顺序主子矩阵;()n nijAaR 设矩阵设矩阵11112)det(1,2, )kkkkkaaPAkaa称为称为A的第的第k k阶阶顺序主子式顺序主子式. .3） k 级行列式级行列式1 11 212 12 2212kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaQaaa 称为称为A的一个的一个k 阶阶主子式主子式. .即行指标与即行指标与列指标相同列指标相同的的k阶子式阶子式A的顺序主子式的顺序主子式 Pk 全大于零

11、全大于零. .1211(,)nnnijijijf xxxa x xX AX 正定正定实二次型实二次型 1211(,)kkkkijijijfx xxa x x 1212(,) (1,2, )kkxxx xxAkx 证证: :必要性必要性. .设设 正定，对每一个正定，对每一个k12(,)nf x xx(1),kkn令令 是正定的，从而是正定的，从而 正定正定.12(,)knfxxx(1,2, )Ak对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数 有有12,kc cc1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c ccdet(1,2, )0,1,2, .kPAknk k充分性充分性： 对对n作数学归

12、纳法作数学归纳法. n1时，时， 正定正定. 结论成立结论成立.211111110.()iaaf xa x假设对于假设对于n1元二次型结论成立，下证元二次型结论成立，下证n元的情形元的情形. 又又A的顺序主子式全大于零，所以的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式的顺序主子式由归纳假设，由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵正定，即存在可逆矩阵G，使使令令 1111,1211,11,11,nnnnnnnnaaaaAaaa ,=,=则则 1nnAAa 11.nG AGE 也全大于零也全大于零.().ijn nAa 设设则则11121120()101nnnnnEGEEGCC AC CGaG 100

13、nnnEaGG 令令 10,0 1GC 再令再令12,01nEGC 则则 1111000 10 11nnnEGAGGC ACGa 由判定充要条件由判定充要条件3). 知知A正定，所以正定，所以 正定正定.X AX 再令再令 12,nnCC CaaGG则有则有100nEC ACa 两边取行列式，得两边取行列式，得 2CAa 又又 0 ， 0aA即即 为正对角矩阵为正对角矩阵.1nEa 例例2 2、判定下面二次型是否正定判定下面二次型是否正定. . 其顺序主子式其顺序主子式 正定正定. . f1550,10,0.PA2323 2 2 P P P P2 12 12221231231213231) (

14、,)55484f x xxxxxx xx xx x解：解： 的矩阵的矩阵524212425A 123(,)f x xx解：解： 的矩阵的矩阵 12(,)nf xxx111221112211122A A A的第的第k k阶顺序主子式阶顺序主子式Pk （习题（习题7）212112)(,)nniijiij nf x xxxx x 1,2, .kn 正定正定. . f111111221111111222221111112222kkkkP 11111111 11000( )0,222220000kkkkkk 例例3 3、证明：若实对称矩阵证明：若实对称矩阵A正定正定 ，则，则A的任意一个的任意一个k 阶

15、主子式阶主子式证：作二次型证：作二次型（习题（习题9）1 11 212 12 22120.kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaQaaa 1212(,)kkiiiiikixxxxxQx 1211(,)ks tstkkiiii iiistg xxxax x 其中，其中，,1,2,0,1,2,sisjscjiskcjisk 当当当当对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数 , , 有有12,kiiiccc000,X AX 从而，从而，由于由于 A 正定，有正定，有 正定，即有正定，即有12(,)nf x xxX AX 0.kQ 行列式大于零，即行列式大于

16、零，即1212(,)(0,0,0,0,0,0)kkiiiiiig cccfccc 000X AX 012(,)0,nXc cc 即，即， 是正定二次型，因此其矩阵的是正定二次型，因此其矩阵的12(,)kiiig xxx设设n元二次型元二次型 12(,),n nnf x xxX AX AAR 若对任意一组不全为零的实数若对任意一组不全为零的实数12,nc cc都有都有 ，则，则 称为称为半正定二次型半正定二次型.12(,)0nf c cc f ，则，则 称为称为半负定二次型半负定二次型. . f12(,)0nf c cc 则则 称为称为负定二次型负定二次型. . 12(,)0,nf c cc f

17、 既不是半正定，也不是半负定，则既不是半正定，也不是半负定，则 称为称为ff不定二次型不定二次型.正定矩阵正定矩阵负定矩阵负定矩阵半正定矩阵半正定矩阵半负定矩阵半负定矩阵 不定矩阵不定矩阵相应于二次型的分类，相应于二次型的分类，n 级实对称矩阵可分类为：级实对称矩阵可分类为：实二次型实二次型 正定正定12(,)nf x xx12(,)nf xxx 负定；负定； 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 A负定负定.半负定；半负定；12(,)nf xxx 实二次型实二次型 半正定半正定12(,)nf xxx实对称矩阵实对称矩阵A半正定半正定 A半负定半负定. . 12(,),n nnf xxxX AXAA

18、R 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正惯性指数正惯性指数）；）；fp A合同于非负对角阵，即存在可逆阵合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使使则下列有条件等价：则下列有条件等价： 存在存在 ，使，使n nCR ;AC C A的所有的所有主子式主子式皆大于或等于零皆大于或等于零. .（补充题（补充题9） 由此可得，由此可得，A半正定半正定0A（习题（习题14）1,0,1,2,indC ACdind 设设n元实二次型元实二次型 1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型；次型；2、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、半正定、半负定、不定）性不变半正定、半负定、不定）性不变.负定（半负定）负定（半负定）. .12(,)nf xxx 2、实二次型实二次型 正定（半正定）正定（半正定）12(,)nf xxx3、实二次型、实二次型 f (x1,x2,xn)X AX 正定正定A 与与 E