高中物理奥林匹克竞赛专题力矩与功

1、.§44 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理引言：从力矩对空间的累积作用出发，引入力矩的功的概念，并得到刚体的转动动能和转动动能定理。一、力矩作功1引入：质点在外力的作用下发生位移力对质点作功 刚体在力矩的作用下发生转动力矩对刚体作功2力矩所作的元功： 刚体在外力F的作用下，绕转轴转过的角位移为d，力F的作用点位移的大小为ds=rd。根据功的定义式，可知力F在这段位移内所作的功为由于力转轴的力矩为，所以 即力矩所作的功等于力矩与角位移的乘积。3恒力矩所作的功当刚体转动时，力矩所作的功为 假如力矩的大小和方向不变，那么当刚体转动时，力矩所作的功为即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于

2、力矩的大小与转过的角度的乘积。4变力矩所作的功说明：力矩作功的本质仍然是力作功。只是对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来表示，而是用力矩的角位移来表示。二、力矩的功率引入：力对质点作功的快慢可以用功率来表示，同样，力矩对刚体作功的快慢可以用力矩的功率来表示。定义：单位时间内力矩对刚体所作的功 对于刚体在恒力矩的作用下，力矩的功率为即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。三、刚体的转动动能问题：质量为m，速度为v的质点的动能为mv2/2，那么绕定轴转动的刚体的动能为多少呢？ 设刚体以角速度作定轴 转动，取一质元mi，距转轴ri，那么此质元的

3、速度为vi=mi，动能为整个刚体的动能就是各个质元的动能之和用转动惯量表示，那么有即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。四、刚体绕定轴转动的动能定理问题：力对质点作功使质点的动能发生变化，那么力矩对定轴转动的刚体作功会产生什么效果？设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为d，合外力矩对刚体所作的元功为 dW=Md由转动定律 得 假设在时间内，由于合外力矩对刚体作功，使得刚体的角速度从0变成，那么合外力矩对刚体所作的功为即 转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。例题：如下图，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的程

4、度轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。解：圆盘和物体的受力如图，对于圆盘，根据转动动能定律式中为圆盘在力矩的作用下转过的角度，0与为圆盘在开场和终了时的角速度，J为圆盘的转动惯量 对于物体来说，由质点动量定理，得式中v0与v为物体在开场和终了时的速度。由牛顿第三定律由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有和解上述方程，可得 补充内容：1 刚体的重力势能：在重力场中，刚体也具有一定的重力势能，它等于刚体上各个质点的重力势能之和。可以证明，刚体的重力势能为其中m为刚体的质量，hc为刚体重心距势能零点的高度。2 功能原理与机械能守

5、恒定律：对于既有平动物体又有绕定轴转动物体组成的系统来说，上一章介绍的功能原理仍然成立。假如在运动过程中，只有保守内力作功，那么机械能守恒定律同样适用。需要注意的是，系统的动能应该包括系统内平动物体的平动动能和绕定轴转动物体的转动动能，势能是平动物体和转动物体的势能之和。*§45 刚体的平面平行运动一、 根本概念Plane-parallel Motion刚体的运动可以看作是质心的平动和刚体绕质心的转动。假如质心被限制在同一平面上运动，那么刚体的运动就被称为平面平行运动。二、 根本方程1质心的运动方程满足牛顿第二定律 其中 作用在刚体上的合外力 刚体的质量 质心的速度 质心的加速度2刚

6、体绕质心的转动遵守转动定律 其中 对通过质心平面而垂直于运动平面的转轴的合外力矩 刚体绕质心转动的角速度 刚体绕质心转动的角加速度 刚体绕质心转动的转动惯量3刚体的动能 其中 质心的平动动能 刚体绕质心转动的转动动能4刚体的势能质心的势能 其中 质心相对于重力势能零点的高度三、例题 例1一绳索绕在半径为、质量为的均匀圆盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上，如下图。绳的质量忽略不计，求1圆盘质心的角速度；2绳的张力。解：作用在圆盘上力有重力和绳索的张力。选竖直向下为轴的正方向。对于质心的平动，由质心的运动方程得其中为质心相对于天花板的加速度。以通过垂直圆盘质心的轴为转轴，由转动定律得其中，为绕通

7、过圆盘质心的转轴的角加速度。当圆盘转动时，绳索相对于圆盘质心的加速度为此加速度与圆盘质心相对于天花板的加速度相等求解上述方程，可得例2悬挂两重物的塔形滑轮的运动如下图，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量M1=6kg，半径R =0.10m，小盘质量M2 = 4kg，半径r=0.05m 。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端各悬挂质量m1 = m2 = 2 kg的物体。此物体由静止释放，求： 1两物体m1、m2的加速度大小； 2两绳中的张力。考虑与分析：这是一个由质点和刚体组成的系统，首先要明确，处理这类问题的根本方法是隔离体法。对质点分析受力，应用牛顿定律。对刚体要分析所受力矩和角加速

8、度，应用转动定律。然后通过角量与线量的关系，把质点的加速度与刚体的角加速度联络起来。解：对质点m1： m1g -T1 = m1a1 1 对质点m2： T2 - m2g = m2a2 2对于滑轮：画出受力图 其中 G=M1+M2g1四个力对转轴的力矩的大小和方向： MN = MG=0理由：作用线通过转轴MT1= RT1 方向 R×T1，MT2= rT2 方向 r×T2， 2设方向为正，由转动定律 RT1rT2 =J1 +J2 =M1R2/2+M2r2/2 33M1的加速度a1，即为大盘边缘处的切向加速度： a1=R 4 同样 a2= r 5由1式5式解得：其中 M1= M 1

9、+ M 1/2 M2= M 2+ M 2/2 a1=R=2.45 m/s2 a2= r=1.23 m/s2 T1= M 1g - a1=14.7 N T2= M 2g - a2=22.1 N 考虑与解答考虑1：方程3是选两个固接圆盘的整体作为研究对象，能否分别选大盘和小盘作为研究对象？答：可以。考虑2：假设分别选大盘和小盘作为研究对象，可否将转动定律写成： T2R = J1 6 -T2r = J2 7两式相加，不是与3式一样吗？答：不可以。因为分别选大盘和小盘作为研究对象，两盘之间的互相作用力矩是外力矩，应当考虑，不能遗漏。考虑3：分别选大盘与小盘为研究对象时，转动定律应该怎样写才对？答：设大

10、盘与小盘之间的互相作用力矩的大小为M，那么有 T1R - M =J1 M - rT2 =J2例3如下图，一均匀细棒，长为l，质量为m，可绕过棒端且垂直于棒的光滑程度固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到程度位置从静止开场下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为，碰后滑块挪动间隔 S后停顿，而棒继续沿原转动方向转动，直到到达最大摆角。求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h。分析：此题有三个物理过程：过程，棒由程度转到竖直的过程，这个过程中，对棒和地球系统，外力轴对棒不作功，仅有保守内力作功，机械能守恒。过程：棒与滑块碰撞过程。碰撞

11、过程中棒与滑块的位移都可忽略不计；由于碰撞时间极短，并且外力为恒力，因此在碰撞过程中外力对轴O的冲量矩可忽略，可近似地用对O轴的角动量守恒定律求解。过程：碰撞之后，棒继续上摆，棒地系统机械能守恒，滑块在程度面上运动。解：过程：棒下落过程，棒、地球系统，机械能守恒 1其中 过程：棒与滑块系统碰撞过程中，对O轴的角动量守恒 2过程：对滑块由动量定理 3 对棒、地球系统，棒上升过程中，机械能守恒 4由1、2、3、4式，并考虑到 解得 四、刚体转动与质点运动的比较质点运动刚体定轴转动位置矢量 角位置 位移 角位移 速度 角速度 加速度 角加速度 力 力矩 质量 转动惯量 动量 角动量 牛顿第二定律转动

12、定律 动量定理 角动量定理 动量守恒定律角动量守恒定律动能 转动动能 功 力矩的功 动能定理 转动动能定理 §46 经典力学的成就和局限性质点力学和刚体力学、以及流体力学和弹性力学等，都是在牛顿运动定律的根底上建立起来的，属于经典力学范围。经典力学是理论严密、体系完好的一门学科，还是经典电磁理论和经典统计力学的根底。经典力学的应用范围极为广泛。但是经典力学也有一定的适用范围。一、经典力学的成就l 是理论严密、体系完好、应用广泛的一门科学l 是经典电磁学和经典统计力学的根底l 促进了蒸汽机和电机的创造，为产业革命和电力技术奠定了根底l 是现代科学技术的根底二、经典力学受到的三次严重挑战

13、l 1905年爱因斯坦建立的狭义相对论l 1925年前后建立的量子力学l 20世纪60年代发现的混沌现象三、经典力学适用范围l 经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，而不能用来处理高速运动问题l 经典力学只适用于宏观物体，而一般不适用于微观粒子处理高速运动问题相对论处理微观粒子问题量子力学相对论和量子力学将在下册中讨论。前述的质点力学和刚体力学以及流体力学、弹性力学、构造力学等是在牛顿定律的根底上建立起来的力学学科，属于牛顿力学或经典力学。经典力学可应用于车辆、行船、行星、火箭，以致于原子、根本粒子等方面，如对哈雷彗星回归时间的预测、海王星的发现、宇宙飞船与空间站的对接和返回地球等等大课题，

14、都能得到完美的解决。但是，在经典力学不断获得辉煌成就的同时，在物理学的开展中，特别是从20世纪初叶以来，就已发现一些现象是与经典力学的一些概念和定律相抵触的。这说明经典力学只具有相对的真理性，或者说经典力学是有局限性的。概括地讲，牛顿力学在20世纪中受到了三次具有革命性的严重挑战，这就是1905年爱因斯坦建立的狭义相对论、1925年前后建立起来的量子力学和20世纪60年代发现的混沌现象。这就向人们明确地提醒了牛顿力学局限性之所在。一、经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，而不能用于处理高速运动问题经典力学把时间和空间看作是彼此无关的；把时间和空间的根本属性也看作与物质的运动没有任何关系而是绝

15、对的、永远不变的。这就是所谓经典力学中的“绝对时间和“绝对空间的观点，也称作牛顿绝对时空观。但是，随着物理学的开展，特别是19世纪末叶有了新的实验发现，结果使经典力学和经典电磁理论遇到了很大的困难，牛顿的绝对时空观和建立在这一根底上的经典力学开场陷入了无法解决的困境。在这种情况下，20世纪初的1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论。这一理论描绘了一种新的时空观，认为时间和空间是互相联络的，而且时间的流逝和空间的延拓也与物质和运动有不可分割的联络。1. 高速运动时速度的相对性由爱因斯坦的狭义相对论可得洛伦兹速度变换式其中， c ：光速；：系沿轴相对于系的速度；：质点在系中沿轴的速度；：质点在系中沿

16、轴的速度。当时，上式变为经典力学的伽利略速度变换式。这说明，经典力学关于不同惯性系间的速度变换式，并没有正确地表达出物体运动间的时空关系，它只能近似的适用于质点的速度远小于光速时的低速运动情况。2. 高速运动时的动量和质量经典力学中，质点的动量；而由狭义相对论可知即，质点在高速运动时的质量为，式中称为静质量，而可称为动质量或相对论质量。可见，质点的质量是依赖于其运动速度的，也就是说，物质的根本属性是与运动严密相联的。3. 高速运动时的动能，经典力学的动能表达式是上式在时的近似值。4. 质量与能量之间的关系从狭义相对论可以得出另一重要结果，即质量与能量之间的关系为或。这个关系式深化地反映了物质与

17、其运动的不可分割性；有质量必有能量，有能量必有质量，任何物体都具有质量和与之相对应的能量。应当指出，质量和能量是表示物质不同属性的物理量，质能关系式给出的是它们之间的联络。它说明，质量和能量并不是互相独立的量，物质有什么样的运动状态，它就必然具有与之相应的质量和能量。因此，任何能量的改变同时有对应的质量的改变，或任何质量的改变同时必有相应的能量的改变。也就是说，这两种改变永远是同时发生的。因此我们不能把质量与能量的这种联络误解为质量与能量间的互相转变。二、确定性与随机性，非线性经典力学认为，运动物体今后的行为，是由过去或如今的运动状态以及物体所受的作用力决定的，这就是牛顿力学或经典力学确实定性

18、。即假如知道物体初始的运动状态以及运动过程中的受力情况，那么就可以根据牛顿运动定律列出物体的运动方程，从而可以确知物体在任意时刻的运动状态。事实上，确定性确实获得了大量令人振奋的成就，如哈雷彗星回归时间的预测、海王星的发现、宇宙飞船与空间站的对接和返回地球等等。然而事实上，物体的运动并非都是只按照确定性进展的，在许多情况下，物体的运动还表现出相当明显的偶尔性、随机性。例如，作抛体运动的物体的运动轨迹会因为空气的阻力、温度和湿度、风速等因素的影响而发生随机的变化。表现物体运动随机性的最典型的例子是布朗运动。如图是藤黄粒子在水中运动的轨迹图线。从图中可看到藤黄粒子的轨迹是一些无规那么的折线。这说明

19、，藤黄粒子的运动除了与其起始运动状态，以及所受的浮力、粘滞力有关外，更重要的是与水分子对其碰撞有关。由于水分子对藤黄粒子碰撞的偶尔性，致使其因碰撞而受到冲力的大小和方向也都具有偶尔性。这就告诉我们，藤黄粒子在水中运动轨迹的无规性，既反映了确定性，又反映了随机性。或者说藤黄粒子的运动既不是完全确定性的，也不是完全随机性的。由此可见，自然界存在的运动是确定性和随机性兼而有之的。我们把确定性运动具有的这种不确性的现象称之为混沌Chaos。三、能量的连续性与能量量子化在经典力学中，物体的运动状态是用它的位置和速度或动量来描绘的，而且物体的位置和动量在任何时刻都可具有各种可能的数值，即它们的变化是连续的

20、。由此可知，在经典力学中，物体的能量变化亦是连续的。直至20世纪，普朗克在说明黑体辐射的规律时，首先冲破了能量连续性这一传统观念的束缚，提出了能量量子化的设想，认为能量是不连续的，而是一份一份的，即量子化。能量量子化是微观粒子的重要性质之一。它指出经典物理不能用来描绘像电子、光子、质子等微观粒子的运动。这样，继狭义相对论之后，经德布罗意、薛定谔等人的工作逐步建立了符合微观粒子特点的新的力学量子力学。量子力学还指出，描绘物体微观粒子运动状态的位置和动量有互相联络，但不能同时准确确定，而且一般作不连续的变化。对于诸如电子、光子等微观粒子，一般要用量子力学来描绘它们的运动规律。但是，对于宏观物体，用

21、量子力学和用经典力学所得的结果那么相差极微。所以说，经典力学一般不适用于微观粒子，而只适用于宏观物体。由上可知，以牛顿定律为根底建立起来的经典力学，只对宏观物体，且其运动速度比较小时才适用。第三章、第四章例题讲解第一部分 公式对照表质点的直线运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度匀速直线运动匀角速转动匀变速直线运动匀变速转动力F，质量m牛顿第二定律F=ma力矩M，转动惯量J转动定律M=Jb动量mv，冲量Ft恒力动量定理ft=mv-mv0恒力角动量Jw，冲量矩Mt恒力矩角动量定理Mt= Jw -J0w0恒力矩动量守恒定律角动量守恒定律平动动能常力的功动能定理转动动能常力矩的功动能定理第二部分

22、 例题讲解例题一 质量分别为m1及m2 的二滑块，分别穿于二平行程度光滑的导杆上，二导杆间的间隔 为 d，再以一劲度系数为k1，原长为 d 的轻质弹簧连接二滑块。设开场m1时位于x1=0处，m2位于x2=l处，且其速度均为零，求释放后两滑块的最大速度分别是多少？解：选择二滑块及弹簧组成的系统为研究对象，那么系统不受外力作用，只有内部保守力作功，因此系统机械能守恒及动量守恒。如下图：  t=0时刻：弹簧伸长量为：，初动能：EK=0；初始势能为：t时刻：设两滑块的速度分别为v1和v2，那么系统动能，势能为EPt。由机械能守恒定律可得显然EPt=0时两个滑块的速度到达最大值，因此： 1由动

23、量守恒定律可得： 2联立方程1和2，即可解得：例题二 某弹簧不遵守胡克定律，假设施力F，那么相应伸长为x，力与伸长的关系为，求：1将弹簧从定长拉伸到定长时，外力需做的功。2将弹簧横放在程度光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定长，再将物体由静止释放，求当弹簧回到时，物体的速率。3此弹簧的弹力是保守力吗？解：1外力作的功为2根据动能定理有3为保守力，因为其功只与弹簧的始末位置有关和运动过程无关。例题三 质量为m的木块置于一质量为M 的锲上，锲体倾角为并放在程度桌面上，所有外表都是光滑的，如图。假如系统由静止释放，任其自由运动，当木块滑下h高碰到桌面

24、时，锲体的速度为多大？解：选桌面为参照系，建立如图2所示的坐标系。设 m 相对 M 速度为，M 相对桌面速度为，m相对桌面速度为，那么有：图1 图2，从而有：注意到程度方向动量守恒：解得： 1系统机械能守恒： 2将1代入2即得当木块滑下h高碰到桌面时，锲体的速度为：例题四 两个质量分别为m1和m2的木块 A 和 B，用一质量可以忽略不计，劲度系数为 k 的弹簧联接起来，放置在光滑程度面上，使 A 紧靠墙壁，然后用力推木块 B 使弹簧压缩了 x0，然后释放。m1=m，m2=3m，求：1释放后，A、B 两木块速度相等时的瞬时速度的大小；2释放后，弹簧的最大伸长量。解：引导学生考虑分析外力释放后系统

25、中物体的运动状态变化过程和遵循的规律。1释放后，弹簧恢复到原长时，A 要分开墙壁，设此时B的速度为vB0，由机械能守恒得，。A 离墙后，系统在光滑程度面上运动，动量守恒和机械能守恒，有： 1 2当时，由1式可得：2弹簧有最大伸长量时：，代入2式得：例题五 如图，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮的质量为M 、半径为 R，其转动惯量为，滑轮轴光滑。试求该物体由 静止开场下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：如图，选取向下为坐标轴正向，设物体下落的角速度为a，滑轮转动的角加速度为，根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律，对m： 1对M： 2又因为： 3联立1、2、3解得：，可见物体作匀加速直线运动。由初始条件，得。例题六 如下图，A、B两圆盘可分别绕O1，O2轴无摩擦地转动。重物C系在绳上绳不伸长，且与圆盘边缘之间无相对滑动。 A、B 的半径分别为R1，R2，A 、B、C 的质量分别为m1，m2，m，求：重物 C