第七章无限长数字滤波器的设计方法

1、 7.1 7.1 引言引言 7.27.2 数字滤波器的实现步骤数字滤波器的实现步骤 7.3 7.3 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 7.47.4 IIRIIR数字滤波器的设计方法分类数字滤波器的设计方法分类 7.5 7.5 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 7.77.7 冲激响应不变法冲激响应不变法 7.97.9 双线性变换法双线性变换法本章主要讨论找到一个满足技术指标要求的可实现的因果本章主要讨论找到一个满足技术指标要求的可实现的因果稳定的数字滤波器来逼近理想的滤波器幅度特性。稳定的数字滤波器来逼近理想的滤波器幅度特性。IIRIIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(1) (1) 单

2、位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)是无限长；是无限长；(2) (2) 系统函数是有理分式的形式系统函数是有理分式的形式 H(z) H(z)在有限在有限z z平面上既有极点又有零点。极点应全在平面上既有极点又有零点。极点应全在Z Z平平 面单位圆内；面单位圆内；(3)(3) 系统的运算结构上既有正向支路，也有反馈支路，也就系统的运算结构上既有正向支路，也有反馈支路，也就(4)(4) 是包含递归结构。是包含递归结构。NiiiMiiizazbzH101)(1) 按照任务的需要 ，确定滤波器的性能指标；(2) 用一个因果稳定的LSI系统函数去逼近这一性能要 求，逼近的系统函数可以是IIR或FIR滤

3、波器；(3) 用有限精度算法来实现这个系统函数，包括运算 结构，选择合适的字长以及有效数字的处理方法；(4) 实际技术的实现，包括采用软件、专用数字滤波 器的硬件或专用的数字信号处理器实现。理想低通滤波器逼近的误差容限理想低通滤波器逼近的误差容限1-12dB0dBpR-dBsA-p（1）有通带、阻带和过渡带（2）通带中有通带截止频率 ，及通带波纹（3）阻带中有阻带截止频率 ，及阻带波纹（4） 在过渡带内，频率响应幅度从通带边沿到阻带 边沿是平滑过渡的；（5） 一般用分贝dB来表示，即通带允许的最大衰减衰减Rp 分贝及阻带应达到的最小衰减衰减As分贝。p1st2)(lg20)(lg20)()(l

4、g20)(1lg(20)(lg20)()(lg202max1maxdBeHeHeHAdBeHeHeHRststppjjjsjjjp如果用 分贝来表示增益，则将 处的增益称为0dB，则通带边沿处的增益为-Rp分 贝，阻带起始频率处的增益为-AS分贝。例：)0(1)(maxjeHdBeHeHeHeHppjjjpjp3)1lg(20)(lg20)()(lg20707. 021)(1max处的衰减为则在时，1.1.幅度平方响应幅度平方响应 的极点的极点( (零点零点) )既是共轭的，又是以单位既是共轭的，又是以单位 圆为镜像对称的，就是成共轭倒数。圆为镜像对称的，就是成共轭倒数。取单位圆内的极点作为取

5、单位圆内的极点作为 的极点。的极点。 jezjjjjjzHzHeHeHeHeHeH| )()(|)()()()(| )(|121( )()H z H z( )H z根据傅立叶变换的性根据傅立叶变换的性质，当质，当h(n)h(n)为实序列为实序列的时的时, ,满足满足表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是)()(jjeHeH由于由于所以所以由于由于所以又有所以又有*()()()jjjjeHeH ee)()(ln21)()(ln21)()(ln21)()()(ln)(2)()(1)(2zHzHjeHeHjeHeHjeeHeHejeeHeHjjjjjjjjejj

6、jj)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctge它是滤波器平均延迟的一个度量它是滤波器平均延迟的一个度量可以化为可以化为由于由于所以所以因而又有因而又有dedejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()(lnIm)(jjeHdde)()(ln)(lnjjjejeHeH)(lnIm)(jjeHe 同样可化为 当滤波器为线性相位响应特性时， 则通带内延迟特性为常数。jjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(IIR

7、系统函数求出滤波器的各系数 ，使得在规定意义上(如通带起伏及阻带衰减的要求或采用最优化准则)，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。NkkkMkkkzazbzH101)(,kkab间接法间接法( (从从AFAF设计设计IIR DF)IIR DF)直接法直接法（直接设计（直接设计IIR DF)IIR DF)IIR DFIIR DF冲激响应不变法冲激响应不变法阶跃响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法双线性变换法时域最小均方误差逼近法时域最小均方误差逼近法频域最小均方误差逼近法频域最小均方误差逼近法以及最小以及最小P P误差法误差法零点极点配置累试法零点极点配置累试法设计步骤：（1）给定滤

8、波器技术指标（2）选定滤波器的类型（例如巴特沃思滤波器或 切比雪夫滤波器）（3）计算滤波器需要的阶数（4）通过查表或计算来确定归一化低通滤波器的 系统函数Han(S)（5）将Han(S)转换为所需类型的滤波器系统函数Ha(S)7.5.1 7.5.1 引言引言1 1、 幅度平方函数幅度平方函数 称为巴特沃思滤波器的通带截止频率。 当 时， 因此 又称为巴特沃低通滤波器频率响应幅度衰减到3dB 时的带宽。NCajH2211)(CC21)(21)(2jHjHaa，dBjHjHRCaaC3)()0(lg20C2 2、巴特沃思低通滤波器幅度特性的特点、巴特沃思低通滤波器幅度特性的特点（1） 时， ，无衰

9、减；（2） 时， ，即功率 减少 到一半，不管滤波器的阶数是多少，所有的幅 度曲线都在 处交汇于3dB衰减处。（3）通带内，N越大，通带内幅度特性越平坦；（4）过渡带及阻带内，N越大，幅度特性在这个频率范 围内衰减的越快。N=8N=4N=210.707C01)(jHaC1)(,21)(2jHjHaa即C3 3、巴特沃思低通滤波器的系统函数、巴特沃思低通滤波器的系统函数系统函数的全部零点在系统函数的全部零点在s= s= 处，在有限处，在有限Z Z平面只有极点。平面只有极点。NcajSaaaajssHjHjHsHsH2211)()()()()(NkejssHsHNkjCCNkaa2,2,1,)()

10、1()()()21221(21的极点为Cj03N=3N=3（三阶）（三阶）Cj04N=4N=4（四阶）（四阶）（1）极点在S平面是象限对称的，分布在半径为 的圆上，有2N个极点，当k =1,2, ,N时， sk即为左半平面极点，就是Ha(s)的极点；（2）极点间隔的角度为 rad;（3）极点不会落在虚轴上，这样系统Ha(s)才是稳 定系统；（4）N为奇数时，实轴上有极点； N为偶数时，实轴上没有极点。CN为奇数为偶数波器的系统函数为的巴特沃思低通模拟滤通带截止频率为个二阶实系数子系统将一对共轭极点构成一NsHssHNsHsHsssssHsHssjssHNkkccaNkkackkckkNhkcN

11、ca2) 1(121N1N2),()(),()()()()()(11)(在滤波器设计手册中，为了便于对各种类型及各种截止频率 的滤波器设计，都是将低通滤波器的截止频率 归一化为1，此时巴特沃思归一化低通滤波器的极点及系统函数只要将上面的公式中所有的截止频率 换成1即可。为奇数为偶数NsHssHNsHsHNkkanNkkan2) 1(121),(11)(),()(CCC书P370371的表7.2、表7.3、表7.4分别给出了归一化巴特沃思低通滤波器分母多项式用系数、根以及因式表示的数据。)()(1)(210112210NNNNanssssssdssasasadsH4 4、巴特沃思低通滤波器设计参

12、数的确定、巴特沃思低通滤波器设计参数的确定CpstdB0dBRpdB3dB211121A707.0)(jHa阻带截止频率通带截止频率:stp（1）设计时给定的参数sstastaappapaaAjHjHjHRjHjHjH)(lg20)()0(lg20)(lg20)()0(lg20(2) 求滤波器阶次NNpstRAANcstRNcpsNcststapNcppaNCapsspAjHRjHjH21.01.01.021.0222221101101101101lg10)(lg201lg10)(lg2011)(pstANccppcppstRAppspsNRdBRNdBRlg2110lg2lg101lg103

13、lg2110110lg31.021.01.0时，当当时，当(3) 求CcsccpcsNAstccpNRpcANcstRNcpspsp21 . 021 . 01 . 021 . 02110110110110例 设计一个巴特沃思低通滤波器，其通带截止频率fp=3000Hz，通带最大衰减Rp=2dB，阻带截止频率为fst=6000Hz，阻带最小衰减As =2dB。解：（1）求N。6369.536lg2110110lglg2110110lg/60002,/300022 .031 .01 .0NNsradsradpstRAstpps取已知(2) 求 ，按通带满足衰减要求来求两种方法求系统函数第一种：由求

14、出的 和N求Ha(s)的极点sk，按照公式求所需的Ha(s)第二种：由N求出归一化巴特沃思系统函数Han(s)(利用表7.2或7.4)， 然后用 去归一化就得到所需的Ha(s)CC19711.111030002110120.221.0NRpcpC为偶数，NsHsHsssssHNkkakNkck211N),()()()(C（3）求归一化巴特沃思低通滤波器Han(s)。（4）去归一化，求所需的Ha(s)19318516. 114142136. 11517638. 0118637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 31)(22223456ssss

15、sssssssssHan23222221266122334455662222226652433425669318516. 14142136. 1517638. 08637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 3)()(cccccccccccccccccccccanabssbssbssasasasasassssssssssssssHsH256824543424122118213394451086493. 5,1088526. 3106157796. 7,108078897. 3107875689. 2,100203208. 1101496247

16、. 1101267785. 1,10000930. 7108999975. 2,106157796. 7ccabbbaaaaa巴特沃思型、切比雪夫型、 型滤波器、椭圆函数型、（1）从幅度响应比较。巴特沃思滤波器在全频段具有单调下降的幅度特性；切比雪夫型滤波器在通带种呈等波纹形，在阻带呈单调下降；切比雪夫型滤波器在通带内单调下降，在阻带呈等波纹形；椭圆函数型在通带阻带都呈等波纹形。（2）从过渡带比较。当所有的指标相同，巴特沃思滤波器的过渡带最宽，椭圆函数的最窄。（3）从阶次N比较。若滤波器具有相同的幅度特性指标，则所需的阶次依次为巴特沃思型、切比雪夫型、 型滤波器、椭圆函数型。（4）滤波器对参数

17、量化（变化）的灵敏度比较，量化灵敏度越低越好，依次为巴特沃思型、切比雪夫型、 型滤波器、椭圆函数型。（5）相位响应的比较。贝塞尔具有最好的对线性相位的逼近，后面依次为巴特沃思型、切比雪夫型、 型滤波器、椭圆函数型。但是贝塞尔型滤波器幅度响应性能最差。样本归一化模拟低通样本归一化模拟低通样本归一化模拟低通模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻数字低通模拟-模拟频带转换数字化数字化数字-数字频带转换技术指标技术指标技术指标数字化的方法：数字化的方法：是把s平面映射到z平面，使模拟系统函数变换成所需的数字滤波器的系统函数。基本条件：（1）S

18、平面的虚轴 映射到Z平面的单位圆 上;（2）因果稳定的 就能映射成因果稳定 ,也就是要求S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内。几种映射方法：冲激响应不变法冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。双线性变换法。( )aHs( )H z( )aHs( )H zjje冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)逼近模拟滤波器的单位冲激响应ha(t) 。即抽样满足)()(nThnha设模拟滤波器的系统函数 只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式其相应的冲激响应是的拉普拉斯变换即( )aHs( )ah tNkkkassAsH1)( )aHsNknTskNknTs

19、kanueAnueAnThnhkk11)()()()()()()()()()(zHnhnThthsHzanTtaa 变换拉普拉斯反变换NktskatueAthk1)()(对对h(n)h(n)求求z z变换，得数字滤波器系统函数变换，得数字滤波器系统函数NkTsknnnTsNkknTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk110011111)()()()(数字滤波器的频率响应等于模拟滤波器频率响应的周数字滤波器的频率响应等于模拟滤波器频率响应的周期延拓，等式之间还有一个期延拓，等式之间还有一个1/T1/T的加权因子，当抽样的加权因子，当抽样频率高时，滤波器增益会太高。频率高时，滤波器增益会

20、太高。修正方法：修正方法：令令则有则有及及因，共轭极点，其变成因，共轭极点，其变成H(z)H(z)关系关系kss*kss)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(kajTjHkTjTjeH),()2()( )aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez3 3、从、从S S平面变换到平面变换到Z Z平面的变换关系平面的变换关系z=ez=eststz=rez=rej j s= s= + j+ jt tz=rez=rej j= e= e( (+ j+ j)t)t= e= et te e+j+jt tr=er=et t = =T TS平面平面Z平面平面3 3/

21、T/T/T/T- -/T/T-3-3/T/T0 00 01 1-1-1j jjImzjImzRezRez4 4、H Ha a(s)(s)和变换后和变换后H(z)H(z)之间的关系之间的关系（1 1）s s平面的单极点变换到平面的单极点变换到z z平面上平面上 处的单极点。处的单极点。（2 2）两者部分分式的系数是相同的，都是）两者部分分式的系数是相同的，都是（3 3）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也 是稳定的。是稳定的。（4 4）能保证两者极点代数对应关系，但不存在）能保证两者极点代数对应关系，但不存在s s平平面面z z平面的一一对应关系，尤其是

22、零点就没平面的一一对应关系，尤其是零点就没有这种关有这种关系。而是随系。而是随 的极点及系数两者而变的极点及系数两者而变 化。化。kssks TzekA( )aHs数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，延拓的周期为因此，根据抽样定理，模拟滤波器的最高频率必须小于 ，数字滤波器的频率响应才能带限于 ，才能不失真的重现模拟滤波器的频率响应。由于数字滤波器设计的设计指标是用数字频率给出，如果增加采样频率，则样本模拟滤波器的截止频率也会成比例的增加，因此不能用改变采样频率的方法来控制混叠失真。2,22ssssssfTfT2/2scT（1）线性相位（2）由于要求模拟滤波器是严格带限的，因此

23、不能用于设计高通及带阻滤波器，这是由于当ffs/2时，它们的幅度响应仍不衰减，一定会产生混叠失真；（3）冲激响应不变法的变换关系，只适用于并联结构的系统函数，即系统必须先展开成部分分式。（4）适用于要求时域冲激响应能逼近模拟滤波器场合。例设模拟滤波器的系统函数为例设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计试利用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器。数字滤波器。解：直接利用可得数字滤波器的系统函数为解：直接利用可得数字滤波器的系统函数为 设设T T1 1，则有，则有2211( )4313aHssss)( )111()TTTTTTTTzeeH zezezze

24、ez e1120.318( )1 0.41770.01831zH zzzNkTskzeAzHk111)(模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee 目的：主要用来克服混叠现象。目的：主要用来克服混叠现象。1 1、基本思路、基本思路双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。器的频率响应相似的一种变换方法。首先把整个首先把整个s s平面压缩变换到某一中介的平面压缩变换到某一中介的s s1 1平

25、面的平面的一条横带里一条横带里( (即从即从- -/T/T到到/T)/T)；其次再通过上面讨论过的标准变换关系其次再通过上面讨论过的标准变换关系 , ,将此横带变换到整个将此横带变换到整个z z平面上去平面上去, ,这样就使这样就使s s平面与平面与z z平面一一对应来消除混叠。平面一一对应来消除混叠。Tsez1S平面平面S1平面平面z平面平面j j0 01j j1 10 0/T/T- -/T/TjImzjImzRezRez0 01 1-1-1双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系（1 1）将）将s s平面整个平面整个j j轴压缩变换到轴压缩变换到s s1 1平面平面j j1 1轴上的轴

26、上的/T/T到到/T/T一段，可以采用的变换方式：一段，可以采用的变换方式：这样，这样，上式可以写成：上式可以写成：解析延拓到解析延拓到s s平面和平面和s s1 1平面，令平面，令 则则)2tan(1T11112222TTTTeejee 11,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees111111112122222 2、变换过程及变换关系式、变换过程及变换关系式0011（2 2）将）将s s1 1平面通过以下标准变换关系映射到平面通过以下标准变换关系映射到z z平面平面（3 3）得到）得到s s平面和平面和z z变换的单值映射关系变换的单值映射关系（4 4）为使模拟滤波器的某

27、一频率与数字滤波器的任一频率）为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系引入待定常数有对应关系引入待定常数c c，Tsez11111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1仍将代入，可得仍将代入，可得变换关系为变换关系为这种变换就称为双线性变换。这种变换就称为双线性变换。1s Tze1111zzcsscscz11112)()(zzTsasHzH模拟角频率模拟角频率与数字频率与数字频率之间的之间的变换关系变换关系当零频附近呈线性关系，当增加当零频附近呈线性关系，当增加时，就存在非线性关系。时，就存在非线性关系。当当= = 时，时， ，也就，也就是数

28、字频率终止与折叠频率处。是数字频率终止与折叠频率处。)2tan(c/c=tan(/c=tan(/2)/2)- -0 0（1）由于没有频率响应的混叠失真，可以设计低通、带通、高通、带阻各种滤波器；（2）频率变换是非线性的，会导致DF的幅频响应相对于AF的幅频响应有畸变。例如理想微分器及线性相位的AF经过变换后不再保持原有的理想微分器及线性相位的特点。（3）变换关系适用于各种结构的系统函数。210 0210 012120 0|H|Ha a(j(j)|)|H(e|H(ej j)|)|=2tan=2tan-1-1( (/c)/c)理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变理想微分器经双线性变换后幅频响应

29、产生畸变解决办法：将频率加以预畸，即利用解决办法：将频率加以预畸，即利用将给定的数字滤波器的截止频率将给定的数字滤波器的截止频率 （即临界频率）变换成（即临界频率）变换成模拟频率模拟频率 ，利用这组，利用这组 来设计模拟滤波器，对设计好来设计模拟滤波器，对设计好的样本模拟原形滤波器经过双线性变换后，即可以得到所需的样本模拟原形滤波器经过双线性变换后，即可以得到所需要的数字滤波器，它的截止频率恰好是要的数字滤波器，它的截止频率恰好是)2tan(ciiii利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：（1 1）s s到到z z之间的变换是简单的代数关系，可以将之间

30、的变换是简单的代数关系，可以将模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波器的系统函数：器的系统函数：（2 2）先将模拟系统分解为并联或级联的子系统，）先将模拟系统分解为并联或级联的子系统，每个系统都变成低阶的，然后再对每个子系统函每个系统都变成低阶的，然后再对每个子系统函数分别进行双线性变换。数分别进行双线性变换。因为模拟系统函数的分解有大量的图表可以利因为模拟系统函数的分解有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。用，分解起来比较方便。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa此变换在概念上很清楚，但是实际变换可能会比较复杂，可以此变换在概念

31、上很清楚，但是实际变换可能会比较复杂，可以先求出双线性变换法中数字滤波器的系数与模拟滤波器的系数先求出双线性变换法中数字滤波器的系数与模拟滤波器的系数之间的关系式，并列成表格，便可以利用表格进行设计。之间的关系式，并列成表格，便可以利用表格进行设计。NNNNNiiiNiiiNNNNNiiiNiiiasBsBsBsAsAsAAzBzAzHseseseesdsdsddsesdsH221221000221022100011)()(111111)()(11zzcHsHzHazzcsa一阶一阶N N1 1A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c)/Rc)/RA A1 1 (d (d0 0-d-d1

32、 1c)/Rc)/RB B1 1 (e (e0 0-e-e1 1c)/Rc)/R R (e R (e0 0+e+e1 1c)c)二阶二阶N N2 2 A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R A A1 1 (2d (2d0 0-2d-2d2 2c c2 2)/R)/R A A2 2 (d (d0 0-d-d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R B B1 1 (2e (2e0 0-2e-2e2 2c c2 2)/R)/R B B2 2 (e (e0 0-e-e1 1c+ec+e2 2c c2 2)/R)/RR (eR (e0 0+e+e1

33、 1c+ec+e2 2c c2 2) )三阶三阶N N3 3C 是变换常数是变换常数 ，一般取得一般取得c=T/2例：用冲激响应不变法和双线性变换法设计数字巴例：用冲激响应不变法和双线性变换法设计数字巴特沃思低通滤波器。给定的指标为特沃思低通滤波器。给定的指标为f1kHz,f1kHz,幅度特性幅度特性下降小于下降小于1dB,1dB,当频率大于当频率大于f fst st=1.5kHz=1.5kHz的阻带内，衰减的阻带内，衰减大于大于15dB,15dB,抽样频率为抽样频率为f fs s=10kHz=10kHz321 . 0100320505. 71103 . 0/,2 . 0/10,15,/600

34、021,/10002) 1 (NRpcsststsppssstpppffkHzfdBAsraddBRsrad的公式利用通带满足衰减指标标为则数字滤波器的频率指技术指标为解：（一（一 ）冲激响应不变法）冲激响应不变法6885.51.5lg2110110lglg2110110lgN)2(1.01.51.01.0NNpstRAps取计算模拟滤波器的阶次（3）求归一化巴特沃思低通滤波器Han(s)。（4）去归一化，求所需的Ha(s)19318516. 114142136. 11517638. 0118637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 31)

35、(22223456sssssssssssssHan742732732232222226109449734.4103584878.11109449734.4109448215.9109449734.4106400566.3102091826.19318516.14142136.1517638.0)()(sssssssssssssHsHccccccccana的滤波器。否则要采用更高阶足设计要求，混叠效应可以忽略，满的衰减大于处可以看出在，即可以得到代入修正后的公式利用冲激响应不变法的）（N,15)(3 . 0)(2570. 09972. 010.6304-1.85583699. 00691. 111.14542.1428-6949. 0297. 110.4466-0.2871)(1)(521121121111dBeHeHezzzzzzzzzzzHzeTAzHjstjj