第四节---基本几何体棱锥圆柱圆柱球圆环

1、 一、平面立体的投影及表面取点一、平面立体的投影及表面取点二、曲面立体的投影及表面取点二、曲面立体的投影及表面取点三、基本体的尺寸标注三、基本体的尺寸标注主要内容 本节研究本节研究基本立体的画法基本立体的画法及立体及立体表面取点、取线表面取点、取线的问题。从的问题。从画立画立体投影体投影开始，开始，不再画不再画投影轴投影轴 。 基本立体基本立体由其由其表面表面（平面和曲面）（平面和曲面）围成围成。按表面性质，可以分为。按表面性质，可以分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体（最常见的是（最常见的是回转体回转体）两类。）两类。 圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体平面立体回转体回转体

2、 机器上的机器上的零件零件，不论，不论形状形状多么多么复杂复杂，都可以看作是由，都可以看作是由基本立体基本立体按按照不同的方式照不同的方式组合而成组合而成的。的。 一、平面立体的投影及表面取点一、平面立体的投影及表面取点 1. 棱柱 上底面上底面棱面棱面 棱柱由两个棱柱由两个底面底面和三个以上和三个以上棱面棱面围成，各表面的围成，各表面的交线交线称为称为棱线棱线，侧棱线侧棱线互相互相平行平行，并且与底面，并且与底面垂直垂直 。侧棱线侧棱线底棱线底棱线(1)棱柱的组成棱柱的组成 由由两个底面两个底面和和几个侧棱面几个侧棱面组组成。侧棱面与侧棱面的交线叫成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱侧棱线线，侧棱

3、线相互平行。，侧棱线相互平行。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影正六棱柱的投影 正六棱柱，其正六棱柱，其顶面、底面顶面、底面均为均为水平面水平面，它们的，它们的水平水平投影投影反映实形反映实形，正面及侧正面及侧面投影重影为一直线。面投影重影为一直线。(2)棱柱的投影分析（以正放的六棱柱为例）2）六个棱面中的）六个棱面中的前、后前、后两个为两个为正正平面平面，其正面投影，其正面投影重合重合并并反映实反映实形形，另外两个，另外两个积聚为直线积聚为直线。1）上、下两）上、下两底面底面均为均为水平面水平面，它们的水平投影它们的水平投影重合重合并并反映真反映真形形，正面及侧面投

4、影积聚为两，正面及侧面投影积聚为两条条平行平行投影轴的投影轴的直线直线。3）其他其他四个四个棱面棱面均为均为铅垂面铅垂面，其水平投影其水平投影积聚为直线积聚为直线，正面，正面和侧面投影均为和侧面投影均为类似形类似形，且两，且两棱面投影棱面投影对应重合对应重合。 特点特点： 正放的棱柱正放的棱柱投影投影时，必有一个投影为时，必有一个投影为多边形多边形并反映并反映底面实底面实形形，另外两个投影为，另外两个投影为矩形组合矩形组合。 adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影正六棱柱的投影 棱柱有六个侧棱面，前后棱面为棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面正平面，它们的正面投影，它们的正

5、面投影反映实形反映实形，水平投影及侧面投影重影为一条直线。，水平投影及侧面投影重影为一条直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影正六棱柱的投影 棱棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。 (3)作图步骤1）画对称）画对称中心线中心线、对对称线称线。2）画棱柱）画棱柱水平水平投影投影（一般先画棱柱底面（一般先画棱柱底面投影）投影） 注意注意棱线投影棱线投影与与对称线重合对称线重合时应画成时应画成粗实线。粗实线。3）根据棱柱）根据棱柱高度高度和

6、投和投影关系，画影关系，画正面正面投影、投影、侧面侧面投影。投影。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影图正六棱柱的投影图a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YWW 作投影图时，作投影图时，先画出正六棱柱的先画出正六棱柱的水平投影水平投影正六边形正六边形，再根据，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。（a a） 投影特点投影特点（b b） 绘图过程绘图过程五棱柱的投影图五棱柱的投影图练习：五练习：五棱柱的投影图棱柱的投影图 (4) (4) 棱柱表面上棱柱表面上取点取点 平面立体表面上取

7、点实际就是在平面立体表面上取点实际就是在平面上取点平面上取点。首先应确定。首先应确定点位于点位于立体的立体的哪个表面上哪个表面上，并分析该，并分析该表面表面的的投影特性投影特性，然后再根据点的投影，然后再根据点的投影规律求得。规律求得。 棱柱表面取点可利用棱柱表面取点可利用积聚性投影积聚性投影作图（因为正放的棱柱的作图（因为正放的棱柱的各个面各个面都处于都处于特殊位置特殊位置）。）。a aA Aa a(b(b)b bb b例：已知正六棱柱上两点例：已知正六棱柱上两点A A、B B的正面投影，求作水平投影和侧面投影的正面投影，求作水平投影和侧面投影a aaaa (b)b bC C C棱锥台棱锥台

8、底面底面锥顶锥顶 2.棱锥棱锥 由一个由一个底面底面和多个（至少三个）和多个（至少三个）侧棱面侧棱面围成，各围成，各侧棱侧棱线交于一点线交于一点（锥顶）。（锥顶）。棱面棱面侧棱线侧棱线 棱锥的投影分析棱锥的投影分析（以正放的正三棱锥为例）（以正放的正三棱锥为例）2）左右左右两个侧棱面为两个侧棱面为一般位置平一般位置平面面，三面投影都不反映实形，并，三面投影都不反映实形，并且两棱面的侧面投影且两棱面的侧面投影重合重合。1）底面底面为为水平面水平面，水平投影，水平投影反反映真形映真形，其正面及侧面投影积聚，其正面及侧面投影积聚为为平行平行于相应投影轴的于相应投影轴的直线直线。3）后后侧棱面为侧棱面

9、为侧垂面侧垂面，侧面投，侧面投影影积聚成斜向直线积聚成斜向直线，正面和水，正面和水平面投影均不反映实形，正面平面投影均不反映实形，正面投影与左右两棱面投影投影与左右两棱面投影重合重合。s4）三个三个侧棱面的水平投与底面侧棱面的水平投与底面投影投影重合重合，侧棱面投影都可见。，侧棱面投影都可见。SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影正三棱锥的投影 棱面棱面SABSAB、 SBCSBC是是一般位置平面一般位置平面，它们的各，它们的各个投影均为类似形。个投影均为类似形。 棱面棱面SACSAC为为侧垂面侧垂面，其，其侧面投影侧面投影s”a”c”s”a”c”重影为重影为一直线。一直线。

10、棱锥的三视图棱锥的三视图 正三棱锥，锥顶为正三棱锥，锥顶为S，其底，其底面为面为ABC，呈，呈水平位置水平位置，水平投影水平投影abc反映实形反映实形。 底边底边ABAB、BCBC为为水平线，水平线，ACAC为为侧侧垂线垂线，棱线，棱线SBSB为为侧平线，侧平线，SASA、SCSC为为一般位置直线一般位置直线，它们的投影可根它们的投影可根据不同位置直线据不同位置直线的投影特性进行的投影特性进行分析。分析。SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影正三棱锥的投影 棱锥棱锥作图步骤作图步骤1）画基准线：底面）画基准线：底面（正三角形）外接圆（正三角形）外接圆中心线中心线、底面底面。2）

11、画棱锥底面投影）画棱锥底面投影4）连接）连接锥顶锥顶和底面正和底面正三角形的三角形的三个顶点三个顶点的的投影，得三棱锥的三投影，得三棱锥的三面投影。面投影。3）画锥顶的三个投影）画锥顶的三个投影 棱锥表面取点棱锥表面取点 若点在立体若点在立体特殊位置特殊位置平面上，可利用该平面平面上，可利用该平面积聚性投影积聚性投影作图，若作图，若点在立体点在立体一般位置一般位置平面上，可通过作平面上，可通过作辅助线法辅助线法求得。求得。方法一方法一方法二方法二 作辅助线的方法有二种：作辅助线的方法有二种：( ) 连接连接smsm并延长，与并延长，与acac交于交于22，2m2 在投影在投影acac上求出上求

12、出点的点的水平投影水平投影2 2。 连接连接s2s2，即求出直线，即求出直线SS的的水平投影水平投影。 根据在直线上的点的投根据在直线上的点的投影规律，求出影规律，求出M M点的点的水平水平投影投影m m。 再根据知二求三的方法，再根据知二求三的方法，求出求出m”m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YWW11m 过过mm作作m1m1 acac，交，交sasa于于11。 求出求出点的点的水平投影水平投影1 1。 过过1 1作作1m ac1m ac，再根据点，再根据点在直线上的几何条件，求在直线上的几何条件，求出出m

13、 m 。 再根据知二求三的方法，再根据知二求三的方法，求出求出m”m”。（具体步骤略。（具体步骤略) )scb正三棱锥的三面投影图正三棱锥的三面投影图sabcaa”(b”)c”s”ms(b)saBacbccsbCASa222正三棱锥表面点的投影正三棱锥表面点的投影3s(b)saBacbccsbCASa(3)3正三棱锥表面点的投影正三棱锥表面点的投影二、曲面立体的投影及表面取点二、曲面立体的投影及表面取点 回转体由回转体由回转面回转面或或回转面回转面与与平面平面围成。回转面是由围成。回转面是由母线母线（直线或（直线或曲线）绕某一曲线）绕某一轴线轴线旋转而形成的。常见的回转体有：旋转而形成的。常见

14、的回转体有：圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环素线素线纬线纬线转向轮转向轮廓线廓线 母线的任一位置称为母线的任一位置称为素线，素线，母线上母线上各点的运动轨迹各点的运动轨迹都是垂直于轴都是垂直于轴线的线的圆圆，称为，称为纬线纬线或或纬圆纬圆。根据这一性质可在回转面上。根据这一性质可在回转面上作素线、纬线作素线、纬线取点取点。 回转面上的回转面上的转向轮廓素线转向轮廓素线，就是在，就是在某一投影方向某一投影方向观察曲面立体时观察曲面立体时可见与不可见可见与不可见部分的部分的分界素线分界素线。1.1.圆柱圆柱（1）投影分析（以圆柱轴线处于铅垂线位置为例）投影分析（以圆柱轴线处于铅垂线位置为例） 1）

15、上下）上下底面底面的水平投影的水平投影重合重合并并反映真形反映真形，其正面及侧面投，其正面及侧面投影积聚为两条影积聚为两条平行平行投影轴的投影轴的直直线线，其长度等于直径。，其长度等于直径。 2）圆柱面圆柱面因其因其轴线轴线为为铅垂线铅垂线，故圆柱面上故圆柱面上所有素线所有素线必为必为铅垂铅垂线线，圆柱面为，圆柱面为铅垂面铅垂面。其水平。其水平投影投影积聚为一圆积聚为一圆，并与两底面，并与两底面水平投影的水平投影的圆周重合圆周重合。3）圆柱面）圆柱面正面投影正面投影应画出应画出正面正面转向轮廓线的投影，即转向轮廓线的投影，即最左、最左、最右最右的素线投影。的素线投影。4）圆柱面）圆柱面侧面投影

16、侧面投影应画出侧面应画出侧面转向轮廓线转向轮廓线的投影，即的投影，即最前、最前、最后最后的素线投影。的素线投影。 特点特点： 当圆柱的当圆柱的轴线垂直轴线垂直某一个某一个投影面投影面时，必有一个投影为时，必有一个投影为圆形圆形，另外，另外两个投影为两个两个投影为两个相等的矩形相等的矩形。 XZY圆柱的三面投影图圆柱的三面投影图HVWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b” 圆柱表面由圆柱表面由圆柱圆柱面和顶面、底面面和顶面、底面所组所组成。圆柱面是由一成。圆柱面是由一直直母线母线绕与之平行的绕与之平行的轴轴线回转线回转而成。而成。 如图所示，圆柱如图所示，圆柱的轴线的

17、轴线垂直于垂直于H H面面，其上下底圆为其上下底圆为水平面水平面，水平投影反映水平投影反映实形实形，其正面和侧面投影重其正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转面则用曲面投影的转向轮廓线表示。向轮廓线表示。 XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影圆柱的投影圆柱投影图的绘制：圆柱投影图的绘制： （1 1） 先绘出圆柱的对先绘出圆柱的对称线、称线、回转轴线回转轴线。（2 2）绘出圆柱的）绘出圆柱的顶面顶面和和底面底面。（3 3）画出）画出正面转向轮廓线正面

18、转向轮廓线和和侧面转向轮廓线侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线正面转向轮廓线侧面转向轮廓线侧面转向轮廓线（2）作图步骤）作图步骤1）画基准线：）画基准线：轴线和对称轴线和对称中心中心。2）画底面及圆柱面）画底面及圆柱面积聚性积聚性投影。投影。3）根据圆柱）根据圆柱高度和直径高度和直径画圆画圆柱的另外两个投影（矩形）柱的另外两个投影（矩形）（3）圆柱表面上）圆柱表面上取点取点a(b)例：已知圆柱表面上的两例：已知圆柱表面上的两点点A A、B B的正面投影，求作的正面投影，求作水平投影和侧面投影水平投影和侧面投影aay1y1b(b)y2y2 当圆柱的当圆柱的轴线垂直轴线垂直某一个某一个投影面投影面时，

19、圆柱体表面时，圆柱体表面都有积都有积聚性聚性投影，可利用投影，可利用积聚性投影积聚性投影在表面上在表面上取点取点。圆柱表面取点圆柱表面取点 已知圆柱表面上的点已知圆柱表面上的点M M及及N N正面投影正面投影aa、 bb、mm和和nn，求它们的其余两投影。，求它们的其余两投影。 a a” a b (b”) b2.2.圆锥圆锥（1)投影分析（以圆锥轴线处于铅垂线位置为例）投影分析（以圆锥轴线处于铅垂线位置为例）1）底面底面的水平投影的水平投影反映真形反映真形，正面及侧面投影积聚为正面及侧面投影积聚为平行平行投投影轴的影轴的直线直线，长度等于底面直，长度等于底面直径。径。2）圆锥面圆锥面三个投影均

20、三个投影均无积聚性，无积聚性，其水平投影为其水平投影为圆圆，且与，且与底面底面水水平投影平投影重合重合，圆锥面圆锥面的水平投的水平投影影可见可见。3）圆锥面）圆锥面正面投影正面投影应画出应画出正面正面转向轮廓线的投影，即转向轮廓线的投影，即最左、最左、最右最右的素线投影。的素线投影。4）圆锥面）圆锥面侧面投影侧面投影应画出侧面应画出侧面转向轮廓线转向轮廓线的投影，即的投影，即最前、最前、最后最后的素线投影。的素线投影。 特点特点： 当圆锥的当圆锥的轴线垂直轴线垂直某一个某一个投影面投影面时，必有一个投影为时，必有一个投影为圆形圆形，另外，另外两个投影为两个两个投影为两个相等相等的的等腰三角形等

21、腰三角形。 XZY 圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)圆锥的投影圆锥的投影 圆锥表面由圆锥表面由圆锥面圆锥面和和底圆底圆组成。它组成。它是是一母线一母线绕与它相交的绕与它相交的轴线回转轴线回转而成。而成。 圆锥圆锥轴线轴线垂直垂直H H面，底面面，底面为水平面，它的水平投影为水平面，它的水平投影反反映实形映实形，正面和侧面投影，正面和侧面投影重重影为一直线影为一直线。 对于圆锥面，要对于圆锥面，要分别画出分别画出正面正面和和侧侧面面转向轮廓线。转向轮廓线。正面转向轮廓线正面转向轮廓线侧面转向轮廓线侧面转向轮廓线sabsabcdc”d”c(d

22、)s”a(b) （1 1） 先绘出圆锥的对先绘出圆锥的对称称线、回转轴线线、回转轴线。（2 2）在水平投影面上绘出）在水平投影面上绘出圆锥底圆圆锥底圆，正面投影和侧，正面投影和侧面投影面投影积聚为直线积聚为直线。 (3) (3) 作出作出锥锥顶顶的的正面投影正面投影和侧面投影和侧面投影并并画出正面转向画出正面转向轮廓线和侧面轮廓线和侧面转向轮廓线。转向轮廓线。圆锥的投影圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)(2)(2)圆锥面上取点圆锥面上取点 圆锥上的点，若在圆锥圆锥上的点，若在圆锥底面底面或或转向轮廓线转向轮廓线上，可直接求出，而处上，可直接求出，而处于圆锥

23、表面的于圆锥表面的一般位置一般位置的点，必须通过作的点，必须通过作辅助线法辅助线法求得。求得。BA方法一辅助素线法方法一辅助素线法方法二辅助纬线（圆）法方法二辅助纬线（圆）法方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及点及锥顶锥顶S S作一条作一条素线素线SS, ,先求先求出素线出素线SS的的投影投影, ,再求出再求出素线上的素线上的M M点点。XZY圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圆锥表面的点已知圆锥表面的点M M的的正面投影正面投影m,m,求出求出M M点的点的其它投影。其它投影。 过过msms作圆锥表面上作圆锥表面上

24、的素线，延长交底圆为的素线，延长交底圆为11。111”mm”a(b) 圆锥的投影及表面上的点圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影求出素线的水平投影s1s1及侧面投影及侧面投影s”1”s”1”。 求出求出M M点的水平投影和侧点的水平投影和侧面投影。面投影。XZY圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：辅助圆法方法二：辅助圆法 过过M M点作一平点作一平行与底面的水平行与底面的水平辅助圆，该圆的辅助圆，该圆的正面投影为过正面投影为过mm且平行于且平行于abab的直线的直线2323，它们的水平投影它

25、们的水平投影为一直径等于为一直径等于2323的圆，的圆，m m在在圆周上，由此求圆周上，由此求出出m m及及m”m”。mMmm”mmmnn()n() 例：已知圆锥表面上点例：已知圆锥表面上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它们的其余两投影。求它们的其余两投影。在圆锥表面上定点在圆锥表面上定点 a a (a”) 3. 3.圆球圆球 圆球可以看作由一圆球可以看作由一圆母线圆母线，绕其过，绕其过圆心圆心且在且在同一平面同一平面的的轴线轴线旋转旋转而形成。而形成。 (1)(1)投影分析投影分析 圆球的三面投影均为圆球的三面投影均为等直径等直径的的圆圆，它们的直径为球的直径。它们，它

26、们的直径为球的直径。它们分别是圆球三个方向的分别是圆球三个方向的转向轮廓线转向轮廓线。 球的表面是球面球的表面是球面。球面是一条。球面是一条园母线园母线绕过圆绕过圆心且在同一平面上的心且在同一平面上的轴线回转轴线回转而形成的。而形成的。 球的三个投影球的三个投影均为圆均为圆，其直径，其直径与球直径相等，与球直径相等，但三个投影面上但三个投影面上的圆是不同的转的圆是不同的转向轮廓线。向轮廓线。(2)(2)圆球表面上取点圆球表面上取点 圆球表面上取点，若点在圆球圆球表面上取点，若点在圆球转向轮廓线转向轮廓线上，可直接求出，而处上，可直接求出，而处于于一般位置一般位置的点，必须通过作的点，必须通过作

27、辅助纬线（圆）辅助纬线（圆）求得。求得。bB(b)(b)aAaa4.4.圆圆 环环 圆环面是由圆环面是由圆母线圆母线，绕与其，绕与其共面共面但但不过圆心不过圆心的的轴线回转轴线回转而形成。而形成。其中其中内半圆内半圆ADC形成形成内环面内环面，外半圆外半圆ABC形成形成外环面外环面。 (1)投影分析投影分析1）水平投影的）水平投影的三个同心圆三个同心圆，点画线圆点画线圆是母线圆心是母线圆心轨迹轨迹的水平投影，的水平投影，内、外内、外粗实线粗实线圆圆是圆环面上是圆环面上最小、最大最小、最大的的纬线纬线圆。圆。2）正面投影上的）正面投影上的两个小圆两个小圆（一半粗实线，一半虚线）（一半粗实线，一半

28、虚线）是内、外环是内、外环正面的转向轮廓正面的转向轮廓素线素线。 上下两条上下两条直线直线是圆环上是圆环上面面最高、最低最高、最低的两条的两条纬线纬线圆。圆。3）侧面投影上的）侧面投影上的两个小圆两个小圆（一半粗实线，一半虚线）（一半粗实线，一半虚线）是内、外环是内、外环侧面侧面的转向轮廓的转向轮廓素线。素线。 (2)(2)圆环表面上取点圆环表面上取点 圆环表面上取点，若点在圆环圆环表面上取点，若点在圆环转向轮廓线转向轮廓线上，可直接求出，而其上，可直接求出，而其余处于余处于一般位置一般位置的点，必须通过作的点，必须通过作辅助纬线（圆）辅助纬线（圆）求得。求得。aaaAmm（n）（n）圆环表面

29、取点圆环表面取点三、基本体的尺寸标注三、基本体的尺寸标注 组合体尺寸标注的组合体尺寸标注的基本要求基本要求是：是：正确、齐全、清晰正确、齐全、清晰。首先介绍。首先介绍常见常见基本体的尺寸标注。基本体的尺寸标注。1.平面体的尺寸标注平面体的尺寸标注四棱柱四棱柱正六棱柱正六棱柱三棱柱三棱柱正三棱锥正三棱锥四棱锥台四棱锥台 平面体一般要标注平面体一般要标注长、宽、高长、宽、高三个方向的尺寸。三个方向的尺寸。2.回转体的尺寸标注回转体的尺寸标注圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环圆锥台圆锥台在在非圆投影非圆投影上标注直径尺寸后，就能确定它们的上标注直径尺寸后，就能确定它们的形状和大小形状和大小，其余视图其余视图均可均可不画。不画。 基本回转体一般只要标注基本回转体一般只要标注径向、轴向径向、轴向两个方向的尺寸。两个方向的尺寸。平面立体