第一轮总复习 44 平面向量应用举例课件 文

1、第 四 节 平面向量应用举例考试考试说明说明内容内容知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)用向量方法解决简单问题用向量方法解决简单问题三年三年考题考题1313年年(3(3考考) )：福建：福建T10T10天津天津T12T12江苏江苏T15T151212年年(2(2考考) )：湖南：湖南T15T15陕西陕西T7T71111年年(1(1考考) )：天津：天津T14T14考情考情播报播报 1.1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平面向量以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平面向量的数量积为工具解决三角函数、平面几何及解析几何等问的数量积为工具解决三角

2、函数、平面几何及解析几何等问题是近几年高考命题的热点之一题是近几年高考命题的热点之一2.2.三种题型都有可能出现三种题型都有可能出现, ,属中低档题属中低档题 【知识梳理】【知识梳理】1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用(1)(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题. .(2)(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧用向量解决常见平面几何问题的技巧: :问题类型问题类型所用知识所用知识公式表示公式表示线平行、点线平行

3、、点共线等问题共线等问题共线向共线向量定理量定理ab_其中其中a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )垂直问题垂直问题数量积的数量积的运算性质运算性质ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),其中其中a, ,b为为非零向量非零向量夹角问题夹角问题数量积数量积的定义的定义cos=_(cos=_(为向量为向量a, ,b的夹角的夹角) )长度问题长度问题数量积数量积的定义的定义| |a|=_|=_= =_,_,其中其中a=(x,y)=(x,y)a=b( (b0) )x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1

4、 1=0=0ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0a ba b2a22xy(3)(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的步骤: :平面几何问题平面几何问题 向量问题向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决几解决几何问题何问题2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量由于物理学中的力、速度、位移都是矢量, ,它们的分解与合它们的分解与合成和向量的减法和加法相似成和向量的减法和加法相似, ,可以用向量的知识来解决可以用向量的知识来解决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量物理学中

5、的功是一个标量, ,是力是力F与位移与位移s的数量积的数量积, ,即即W W=_= _(=_= _(为为F与与s的夹角的夹角).).Fs| |F|s|cos|cos【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列结论：给出下列结论：若若 共线，则共线，则A A，B B，C C，D D四点在一条直线上；四点在一条直线上；若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则在在ABCABC中，若中，若 则则ABCABC为钝角三角形；为钝角三角形；物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量，可物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量，可用向

6、量表示用向量表示. .其中正确的是其中正确的是( )( )A.A. B. B. C. C. D. D.ABCD 与222121ABxxyy ；AB BC 0 ，【解析】【解析】选选C.C.错误，线段错误，线段ABAB，CDCD所在的直线也有可能平行；所在的直线也有可能平行；正确，因为正确，因为错误，由错误，由 可得角可得角B B为锐角，但三角形的为锐角，但三角形的形状不能判定；形状不能判定；正确，由物理学的知识知正确，由物理学的知识知正确正确. .2121ABxxyyAB ，所以222121xxyy；AB BC 0BA BC 0 得 ，2.2.已知已知ABCABC的三个顶点的坐标分别为的三个顶

7、点的坐标分别为A(3A(3，4)4)，B(5B(5，2)2)，C(-1C(-1，-4)-4)，则这个三角形是，则这个三角形是( )( )A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解析】【解析】选选B.B.由题意，得由题意，得显然显然 所以角所以角A A是锐角，是锐角， =(-6=(-6，-6)-6)(-2(-2，2)=12-12=02)=12-12=0，所以角，所以角B B是直角，故是直角，故ABCABC是直角三角形是直角三角形. .AB22 AC48 BC66 ，|AB| |AC|BC ,AB AC 8 16

8、80, BC BA 3.(20143.(2014武汉模拟武汉模拟) )在在ABCABC中，中，则则ABCABC的面积是的面积是( )( )A.5 B.10 C. D.20A.5 B.10 C. D.20【解析】【解析】选选C.C.由由得得故故AB5 AC4 AB AC10 ，5 3AB ACAB AC cos A5 4cos A10, 213cos A,sin A1 cos A22所以，ABC113SAB AC sin A5 45 3.222 4 4已知平面向量已知平面向量a=(1=(1，cos ),cos ),b=(1,3sin ),=(1,3sin ),若若a与与b共线，共线，则则tan

9、2tan 2的值为的值为( )( )A. B. C. D.1A. B. C. D.1【解析】【解析】选选C.C.因为因为a与与b共线，所以共线，所以3sin -cos =0,3sin -cos =0,1323342212tan 33tan ,tan 2.131tan419 即所以5.(20145.(2014益阳模拟益阳模拟) ) 在在ABCABC中，中，CC9090，且，且CACACBCB3 3，点点M M满足满足 等于等于( )( )A.2 B.3 C.4 D.6A.2 B.3 C.4 D.6【解析】【解析】选选B.B.由题意可知，由题意可知，BM 2MACM CB ，则11CM CBCAA

10、B CB CA CBAB CB33103 23cos 453.3 () 6.6.一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1, ,F2 2, ,F3 3( (单位：牛顿单位：牛顿) )的作用而的作用而处于平衡状态，已知处于平衡状态，已知F1 1, ,F2 2成成6060角，且角，且F1 1, ,F2 2的大小分别为的大小分别为2 2和和4 4，则，则F3 3的大小为的大小为_._.【解析】【解析】由题意得由题意得F3 3+ +F1 1+ +F2 2= =0，所以，所以答案：答案： 2223312124 162 2 4cos 602 7. FFFFFF2 7考点考点1 1 向量在平面

11、几何中的应用向量在平面几何中的应用【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013福建高考福建高考) )在四边形在四边形ABCDABCD中，中， 则该四边形的面积为则该四边形的面积为( )( )A. B. C.5 D.10A. B. C.5 D.10(2)(2013(2)(2013天津高考天津高考) )在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AD=1,BAD=60,AD=1,BAD=60, ,E E为为CDCD的中点的中点. .若若 则则ABAB的长为的长为_._.AC1,2 ，BD4,2 , 52 5AC BE1, 【解题视点】【解题视点】(1)(1)观察向量观察向量 坐标的特点，

12、由此通过计坐标的特点，由此通过计算判断算判断ACAC与与BDBD的位置关系，再利用面积公式求解的位置关系，再利用面积公式求解. .(2)(2)根据题意，选取根据题意，选取 当基底，根据向量的加法及平面向当基底，根据向量的加法及平面向量基本定理由量基本定理由 列方程求列方程求ABAB的的长，或建系用向量的坐标运算求长，或建系用向量的坐标运算求ABAB的长的长. .ACBD 与ABAD ，ABADAC BEAC BE1 ， 表示， ，由【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为 所以所以AC,BDAC,BD是互相垂直的是互相垂直的对角线，所以对角线，所以 (2)(2)方法一：因为方法

13、一：因为所以所以所以所以AC BD0, 11S|AC| BD5 2 5522 ACABAD,BEBAADDE 11ABADABADAB,22 1AC BE(ABAD) ADAB2 ()2211ADAD ABAB22 21111 |AB|cos 60|AB|1,22 2111|AB|AB|0,AB|.422 |解得|方法二：如图，以方法二：如图，以A A为原点，为原点，ADAD所在所在直线为直线为x x轴建立直角坐标系，则轴建立直角坐标系，则A(0A(0，0)0)，D(1D(1，0)0)，设，设ABAB的长为的长为a,a,则则 因为因为E E是是CDCD的中点，所以的中点，所以所以所以即即2a2

14、a2 2-a=0,-a=0,解得解得 或或a=0(a=0(舍去舍去).).故故ABAB的长为的长为答案：答案：a3a3BaC1a2222( ，)， (，)，a 3E1a4 4(， )，2a3a3aa3AC1a BE1a AC BE11a12244248 (，)，(，)，()()，1a21.212【易错警示】【易错警示】关注四边形面积的求法关注四边形面积的求法 本例本例(1)(1)采用对角线互相垂直的四边形面积的求法，解答采用对角线互相垂直的四边形面积的求法，解答本题易忽视向量本题易忽视向量 的关系，想不到该种方法，使问题陷的关系，想不到该种方法，使问题陷入僵局而产生误选入僵局而产生误选. .求

15、四边形面积的方法有：求四边形面积的方法有：特殊四边形套特殊四边形套公式法；公式法；不规则四边形常用分割法；不规则四边形常用分割法；对角线互相垂直的对角线互相垂直的四边形，其面积是对角线长乘积的一半四边形，其面积是对角线长乘积的一半. .AC BD ，【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)中其他条件不变，若中其他条件不变，若的值的值. .【解析】【解析】如图，令如图，令 则则| |a|= |= |b|=1|=1，a与与b的夹角为的夹角为6060， = =a+ +b，因为因为E E是是CDCD的中点，的中点，1ABAC BE2 ，试求ABAD ，ab12，AC 111BEBCCEAC BE2

16、22 所以()，故()babaabab22111111 cos 6011.22822 aa bb【规律方法】【规律方法】向量与平面几何综合问题的解法向量与平面几何综合问题的解法(1)(1)坐标法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决. .(2)(2)基向量法基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来

17、进行求解构造关于未知量的方程来进行求解. .提醒：提醒：用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底基向量解题时要选择适当的基底. .【变式训练】【变式训练】(2014(2014沧州模拟沧州模拟) )平面上平面上O,A,BO,A,B三点不共线，设三点不共线，设 则则OABOAB的面积等于的面积等于( )( )OA,OB ，ab222222222222A.B.1C.21D.2aba baba baba baba b【解析】【解析】选选C.C.由条件得由条件得所以所以cos,a ba ba b2sin,1 cos,a

18、ba b222()11,|()a ba ba ba b2OAB211()S|sin,|122|所以a ba ba ba ba b22222221()1(|)(|)() .22|a ba ba baba ba b【加固训练】【加固训练】1.1.已知已知ABCABC，点，点D D在在BCBC边上，且边上，且 则则m+nm+n的值为的值为( )( )A. B.0 C. D. A. B.0 C. D. 【解析】【解析】选选B.B.如图，因为如图，因为所以所以又又CD4DBmABnAC ，8585165CD4DB ，4444CDCB(ABAC)ABAC.5555 CDmABnAC ABAC ， ， 不共

19、线，44m,n,mn0.55 所以故2.2.若等边若等边ABCABC的边长为的边长为 平面内一点平面内一点M M满足满足则则 _._.【解析】【解析】方法一方法一: :以以BCBC的中点为原点，的中点为原点，BCBC所在直线为所在直线为x x轴建立轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知A(0A(0，3)3)，2 3，12CMCBCA63 ，MA MB B3 0 ,C3,0 .，设设M(x,y)M(x,y)，则，则由由 所以所以x=0 x=0，y=2,y=2,所以点所以点M M的坐标为的坐标为(0,2).(0,2).所以所以所以所以CMx3,y

20、，CB2 3,0 CA3,3 . ，12CMCBCA,63 得 12x3,y2 3,03,33,2 ,63 MA01 MB32 ， ， MA MB2. 方法二方法二: :由于由于所以所以因为因为ABCABC是边长为是边长为 的等边三角形的等边三角形, ,所以所以所以所以答案：答案：-2 -2 1211MACACMCACBCACACB,6336 ()1225MBCBCMCBCBCACACB,6336 ()1125MA MBCACBCACB3636 () ()22275CACA CBCB .91836 2 3221CACB12 CA CB2 32 362 ，275MA MB126122.91836

21、 考点考点2 2 向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用【考情】【考情】向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，以选择题、填空题或解答题的形式出在知识的交汇点处命题，以选择题、填空题或解答题的形式出现现. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014大同模拟大同模拟) )设向量设向量a=(1,cos )=(1,cos )与与b=(-1,2cos )=(-1,2cos )垂直

22、，则垂直，则cos 2cos 2等于等于( )( )A. B. C.0 D.-1A. B. C.0 D.-1(2)(2013(2)(2013江苏高考江苏高考) )已知已知a=(cos ,sin ),=(cos ,sin ),b=(cos ,=(cos ,sin )sin )，0 0.若若| |a- -b|= |= 求证：求证：ab; ;设设c=(0,1),=(0,1),若若a+ +b= =c, ,求求,的值的值. .22122，【解题视点】【解题视点】(1)(1)由向量由向量a与与b垂直列方程求解垂直列方程求解. .(2)(2)利用模的运算证明利用模的运算证明ab=0=0即可即可; ;根据向量

23、相等列关于根据向量相等列关于,的方程组，由三角变换求解的方程组，由三角变换求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.已知已知a=(1,cos),=(1,cos),b=(-1,2cos),=(-1,2cos),因为因为ab, ,所以所以ab=0,=0,所以所以-1+2cos-1+2cos2 2=cos 2=0,=cos 2=0,故选故选C.C.(2)(2)由题意得由题意得| |a- -b| |2 2=2,=2,即即( (a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2=2.=2.又因为又因为a2 2= =b2 2=|=|a| |2 2=|=|b| |2 2=1,=1

24、,所以所以2-22-2ab=2,=2,即即ab=0,=0,故故ab. .因为因为a+ +b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以所以由此得，由此得，cos =cos(-)cos =cos(-)，由，由0 0，得，得0 0-，又又0 0，故，故=-.=-.代入代入sin +sin =1sin +sin =1得，得， 而而,所以所以cos cos 0,sin sin 1, 1sin sin ,2 5,.66 【通关锦囊】【通关锦囊】 高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略求三角函求三角函数值数值根据向量垂直

25、或共线的条件列方程根据向量垂直或共线的条件列方程, ,把把问题转化为三角函数的条件求值问题转化为三角函数的条件求值, ,利用利用三角函数的相关公式解决三角函数的相关公式解决求三角函求三角函数的周期数的周期或最值或最值利用向量的相关运算利用向量的相关运算, ,把问题转化为三把问题转化为三角函数角函数, ,化简三角函数关系式化简三角函数关系式, ,套公式求套公式求函数的周期函数的周期, ,根据角的范围求函数的最根据角的范围求函数的最值值高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略求角的求角的大小大小利用向量的坐标运算利用向量的坐标运算, ,把有关向量的问把有关向量的问题转化为三角函数问题题转化

26、为三角函数问题, ,先求值先求值, ,再根据再根据角的范围求角的大小角的范围求角的大小在三角形在三角形中的计算中的计算利用向量的坐标运算利用向量的坐标运算, ,把向量垂直或共把向量垂直或共线转化为相应的方程线转化为相应的方程, ,在三角形中利用在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题内角和定理或正、余弦定理解决问题【特别提醒】【特别提醒】解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想化与化归的数学思想, ,即通过向量的相关运算把问题转化为三即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题角函数问题. .【通关题组】【通关题组】 1.1.

27、（20142014孝感模拟）已知孝感模拟）已知O O是是ABCABC外接圆的圆心，外接圆的圆心，BACBAC，ABCABC，ACBACB为为ABCABC的内角，若的内角，若 则则m m的值为的值为( )( )A.1 B.sinBACA.1 B.sinBACC.cosBAC D.tanBACC.cosBAC D.tanBACcos ABCcos ACBAB ACsin ACBsin ABC 2mAO ，【解析】【解析】选选B.B.连接连接AOAO，并延长交圆，并延长交圆O O于于D D，连接，连接BDBD，CDCD，由，由 得得 两边同时点乘两边同时点乘 ，得，得由正弦定理和数量积的定义得由正弦

28、定理和数量积的定义得cosABCsinACB+cosACBsinACBcosBACcosABCsinACB+cosACBsinACBcosBAC=m sin=m sin2 2ACBACB，cos ABCcos ACBAB AC2mAOsin ACBsin ABC ，cos ABCcos ACBABACsin ACBsin ABC mADm ABBD ，AB 2cos ABCABsin ACB 2cos ACBAC ABmABsin ABC ，故故cos ABCcos ACBcos BACmsin ACBsin BACsin ACBcos BACcos ACBcos ACBcos BACsin

29、ACBsin BAC.2.(20142.(2014合肥模拟合肥模拟) )如图，如图，A A，B B是单位圆上的动点，是单位圆上的动点，C C是单位是单位圆与圆与x x轴的正半轴的交点，且轴的正半轴的交点，且 记记COA=COA=，(0(0，)，AOCAOC的面积为的面积为S.S.(1)(1)若若f()= f()= 试求试求f()f()的最大值以及此时的最大值以及此时的值的值. .(2)(2)当当A A点坐标为点坐标为 的值的值. .AOB,6OB OC2S ，23 4BC5 5 (， )时，求【解析】【解析】(1) (1) 则则因为因为(0(0，)，故，故 时，时，f()f()maxmax=1

30、.=1.(2)(2)依题依题在在BOCBOC中，中，由余弦定理得：由余弦定理得：1Ssin OBcos,sin,266 ，()()OC1,0 . f( )OB OC2Scossin sin,63 ()()6 34cos ,sin ,55 BOC.6 2BC1 12 1 1 cos6 ()143 323cossin.5 【加固训练】【加固训练】1.(20141.(2014西宁模拟西宁模拟) )已知向量已知向量a=(cos ,-2)=(cos ,-2)，b=(sin ,1),=(sin ,1),且且ab，则，则2sin cos 2sin cos 等于等于( )( )A.3 B.-3 C. D.-

31、A.3 B.-3 C. D.- 【解析】【解析】选选D.D.由由ab得得cos =-2sin cos =-2sin ，所以所以所以所以45451tan .2 2222sin cos 2tan 42sin cos .sincostan15 2.(20142.(2014海口模拟海口模拟) )若向量若向量 且且ab，则锐角，则锐角的大小是的大小是_._.【解析】【解析】因为因为ab，所以，所以 所以所以sin 2=1,sin 2=1,又又为锐角，故为锐角，故答案：答案：31sin ,cos ,23( ，)()ab31sin cos 023 ，.4 43.(20143.(2014成都模拟成都模拟) )

32、在在ABCABC中，角中，角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且bcos C=3acos B-ccos B.bcos C=3acos B-ccos B.(1)(1)求求cos Bcos B的值的值. .(2)(2)若若 求求a a和和c c的值的值. .BA BC2b2 2, ，且【解析】【解析】(1)(1)由正弦定理，得由正弦定理，得2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B(R2Rsin Ccos B(R为为ABCABC外接圆半径外接圆半径),),所以所以sin Bco

33、s C=3sin Acos B-sin Ccos B,sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,即即sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos Bsin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B，所以所以sin(B+C)=3sin Acos B,sin(B+C)=3sin Acos B,又又sin(B+C)=sin(-A)=sin A.sin(B+C)=sin(-A)=sin A.所以所以sin A=3sin Acos B.sin A=3sin Acos B.因为因为sin A0,sin A0,所以所以1cos B.3(2)(2)

34、由由 得得accos B=2,accos B=2,由由(1)(1)知知 所以所以ac=6ac=6. .又因为又因为b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B,-2accos B,即即8=a8=a2 2+c+c2 2-4,-4,所以所以a a2 2+c+c2 2=12=12. .由由式解得式解得BA BC2 ，1cos B,3ac6.考点考点3 3 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用【典例【典例3 3】 (1)(2014(1)(2014重庆模拟重庆模拟) )已知两点已知两点M(M(3 3，0)0)，N(3N(3，0)0)，点，点P P为坐标平面内一动点，且为坐标平面内一

35、动点，且 则动则动点点P(xP(x，y)y)到点到点M(M(3 3，0)0)的距离的距离d d的最小值为的最小值为( )( )A.2 B.3 C.4 D.6A.2 B.3 C.4 D.6MN MPMN NP0 ，(2)(2014(2)(2014吉林模拟吉林模拟) )已知点已知点A(-1A(-1，0)0)，B(1B(1，0)0)，动点，动点M M的轨的轨迹曲线迹曲线C C满足满足AMB=2, AMB=2, 过点过点B B的直线交曲的直线交曲线线C C于于P,QP,Q两点两点. .求求 的值，并写出曲线的值，并写出曲线C C的方程；的方程；设直线设直线PQPQ的倾斜角是的倾斜角是 试求试求APQA

36、PQ的面积的面积. .2AM BM cos3 ，AM|BM| ,4【解题视点】【解题视点】(1)(1)先根据向量的运算判断点先根据向量的运算判断点P P的轨迹，再由点的轨迹，再由点M M的特点求解的特点求解. .(2)(2)先根据向量的运算确定点先根据向量的运算确定点M M的轨迹，然后根据相关的值写的轨迹，然后根据相关的值写出曲线出曲线C C的方程；的方程；写出直线写出直线PQPQ的方程，与曲线的方程，与曲线C C的方程组成方的方程组成方程组，根据根与系数的关系求程组，根据根与系数的关系求APQAPQ的面积的面积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为M(-3M(-3，0

37、)0)，N(3N(3，0)0)，所以，所以由由化简得化简得y y2 2=-12x=-12x，所以点，所以点M M是抛物线是抛物线y y2 2=-12x=-12x的焦点，所以点的焦点，所以点P P到到点点M M的距离的最小值就是原点到的距离的最小值就是原点到M(-3M(-3，0)0)的距离，所以的距离，所以d dminmin=3.=3.MN6,0MN6,MPx3,y ,NPx3,y . ，22|MN| MPMN NP06x3y6 x30 得，(2)(2)设设M(x,y),M(x,y),在在MABMAB中，中，|AB|=2|AB|=2，AMB=2AMB=2，根据余弦定，根据余弦定理得理得即即 而而

38、22AMBM2|AM| BM cos 24. 2AM|BM|2|AM| BM 1cos 24. 22AM|BM|4|AM| BM cos4. 22|AM| BM cos3,AM|BM|4 34. 所以所以所以又又因此点因此点M M的轨迹是以的轨迹是以A A，B B为焦点的椭圆为焦点的椭圆( (点点M M在在x x轴上也符合题轴上也符合题意意) )，a=2,c=1.a=2,c=1.所以曲线所以曲线C C的方程为的方程为AMBM4. AMBM42AB , 22xy1.43由题意得直线由题意得直线PQPQ的方程为的方程为:y=x-1.:y=x-1.设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q

39、(x2 2,y,y2 2),),由由得得7x7x2 2-8x-8=0,-8x-8=0,所以所以y y1 1y y2 2=(x=(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)22yx13x4y12，121288xx,x x,77 12126yyxx2,7 12129x xxx1,7 因为因为A(-1,0),B(1,0),A(-1,0),B(1,0),所以所以|AB|=2.|AB|=2.即即APQAPQ的面积是的面积是APQABPABQ1211SSSAB yAB | y |22所以2121212363612yyyy4y y2.4977122.7【规律方法】【规律方法】向量在解析几何中的向量在解析

40、几何中的“两个两个”作用作用(1)(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外向量外衣衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题斜率、夹角、轨迹、最值等问题. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab=0(=0(a, ,b为非零向量为非零向量),),aba=b( (b0),),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行可解决垂直、平行问题，

41、特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法优越的方法. .提醒：提醒：用向量法解决解析几何中的平行与垂直问题，比用斜率用向量法解决解析几何中的平行与垂直问题，比用斜率解决优越，因为用斜率解决问题时，易忽视斜率不存在的情况，解决优越，因为用斜率解决问题时，易忽视斜率不存在的情况，常出现使问题漏解的错误常出现使问题漏解的错误. .【变式训练】【变式训练】(2014(2014北京模拟北京模拟) )已知平面上一定点已知平面上一定点C(2C(2，0)0)和直线和直线l:x=8,P:x=8,P为该平面上一动点

42、，作为该平面上一动点，作PQPQl，垂足为，垂足为Q Q，且，且 则点则点P P到点到点C C的距离的最大值是的距离的最大值是_._.11PCPQPCPQ022 () ()，【解析】【解析】设设P(x,y),P(x,y),则则Q(8,y)Q(8,y)，由由 得得化简得化简得 所以点所以点P P的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在x x轴的椭圆，且轴的椭圆，且a=4, a=4, c=2, c=2,点点C C是其右焦点是其右焦点. .故故答案：答案：6 611PCPQPCPQ022 () ()，2222211PCPQ0 x2yx80,44 ，即22xy11612 ，b2 3,maxPCac426.【加固训

43、练】【加固训练】1.(20141.(2014银川模拟银川模拟) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，若定点中，若定点A(1A(1，2)2)与动点与动点P(x,y)P(x,y)满足满足 则点则点P P的轨迹方程是的轨迹方程是_._.【解析】【解析】因为定点因为定点A(1A(1，2)2)与动点与动点P(x,y)P(x,y)满足满足 所以所以(x,y)(x,y)(1,2)=4,(1,2)=4,即即x+2y-4=0.x+2y-4=0.答案：答案：x+2y-4=0 x+2y-4=0OP OA4 ，OP OA4 ，2.2.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，A(1A(1，1)1)

44、， =(6,0)=(6,0)，点，点M M是线段是线段ABAB的中点，线段的中点，线段CMCM与与BDBD交于点交于点P.P.(1)(1)若若 =(3,5)=(3,5)，求点，求点C C的坐标的坐标. .(2)(2)当当 时，求点时，求点P P的轨迹的轨迹AB AD AB|AD| 【解析】【解析】(1)(1)设点设点C C的坐标为的坐标为(x(x0 0，y y0 0) )，又又 (3(3，5)5)(6(6，0)0)(9(9，5)5)，即即(x(x0 01 1，y y0 01)1)(9(9，5)5)，所以所以x x0 01010，y y0 06 6，即点，即点C(10,6).C(10,6).(2

45、)(2)设设P(x,y)P(x,y)，则则 =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)=(x-7,y-1)，ACADAB BPAPAB (3(x(3(x1)1)，3(y3(y1)1)(6(6，0)0)(3x(3x9 9，3y3y3)3)因为因为 所以平行四边形所以平行四边形ABCDABCD为菱形为菱形所以所以所以所以(x(x7 7，y y1)1)(3x(3x9 9，3y3y3)3)0 0，即即(x(x7)(3x7)(3x9)9)(y(y1)(3y1)(3y3)3)0.0.1ACAMMCAB3MP211AB3 APAB3APAB22 ()ABAD ，BP

46、AC ，所以所以x x2 2y y2 210 x10 x2y2y22220 0即即(x-5)(x-5)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.又当又当y=1y=1时，点时，点P P在在ABAB上，与题意不符上，与题意不符, ,故点故点P P的轨迹是以的轨迹是以(5(5，1)1)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆且去掉与直线为半径的圆且去掉与直线y=1y=1的两个交点的两个交点【规范解答规范解答7 7】平面向量与三角函数相结合的综合问题平面向量与三角函数相结合的综合问题【典例】【典例】 (12(12分分)(2013)(2013辽宁高考辽宁高考) )设向量设向量b=(cos x,sin x), =(cos x,sin x), (1)(1)若若| |a|=|=|b| |，求，求x x的值的值. .(2)(2)设函数设函数f(x)=f(x)=ab，求，求f(x)f(x)的最大值的最大值. .x0,.23sin x,sin x ,a【审题】【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)a, ,b的坐标是的坐标是已知的已知的;