三角形内角和定理及推论

1、 三 角 形内 角和定理及推论阅读下列文字，结合本章学过的数学知识，按要求在横线上补全内容。一、三角形三个内角的关系三角形三个内角的和等于_.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 折叠 本册教材P70图_示意。（填图序号。下同）（2）剪拼 本册教材P70图_示意或本册教材 P75图_示意。（3）度量实际上，有可能：折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角;剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角；度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于18

2、0°。事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进行 _。二、证明三角形的内角的和等于180°1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这样的提示：把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做_.为了区别于原图形中的线，辅助线一般画成_线。A由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。B C EFABC

3、DE1D（2）（1）图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC上，B放在CDF上，C放在BDE上图（2）剪掉两个角（A与B），拼接在它的顶点C处，其中A放在1上图（3）剪掉两个角（B与C）,拼接在它的顶点A处，B放在BAD上 DABCDEBADC（3） （4）图（4）剪掉C放在DAC上。作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达：1、作BC的延长线CD，在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边，画1=A。< > 2、作BC的延长线CD，过C点作CEAB。 < >3、过A点作DEBC。 <

4、 >4、过A点作射线ADBC。 < >5、在BC上任取点D，过D作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。2.证明：请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°”至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他问题的依据，所以课本上，把它称之为_。三角形内角和定理表达式： ABC中A+B+C=180°（三角形内角和定理）根据图（3），证明三角形内角和定理：_.三 三角形内角和定理的推论推论1：直角三角形的两个锐角互余。 表达式在

5、RtACB中，C=90°（已知） A+B=90°（直角三角形的两个锐角互余）推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。表达式：ACB中，A +B=90°C=90°（即 ACB 是直角三角形） 推论3：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。表达式：ACB中，ACD=A +B 推论4：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 表达式：ACB中，ACDA，ACDB结合教材P82内容，解决下列问题：1._叫做三角形的外角。注意：同一顶点处虽然有两个外角，但我们通常指一个。 在上图中，延长CA到点E,得到内角BAC相邻的外角BAE，再根据推论3、推论

6、4，分别写出它们各自的几何表达式。推论3的：_推论4的：_2证明上面四个推论：推论1：_推论2：_推论3：_推论4：_四 三角形内角和定理及其推论的应用1.三角形内角和定理及推论的作用1）在三角形中，利用三角形内角和定理，已知两角求第三角或已知各角之间的关系求各角。2）在直角三角形中，已知一个锐角利用推论1求另一个锐角或已知两个锐角的关系，求这两个锐角。另外，推论1常与同角（等角）的余角相等结合来证角相等。3）利用推论4证三角形中角的不等关系。2.阅读例题例1.已知：如图02-13ABC中，C=90°，BAC，ABC的平分线AD、BE交于点O，求：AOB的度数。  

7、;  另解：同上可得到1+2=45°3=1+2=45°（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）AOB+3=180°（平角定义）AOB=180°-3=180°-45°=135°AOB=135° 例2AB与CD相交于点O，求证：A+C=B+D思路分析：在AOC中， A+C+AOC=180°（三角形内角定理） 在 BOD中，B+D+BOD=180°（三角形内角和定理） A+C+AOC=B+D+BOD（等量代换） AOC=BOD（对顶角相等）, A+C=B+D 这道几何题是一对对顶三角形组成的

8、几何图形因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形内角和定理，探索思路，使问题解决了可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例如图，A+B+C+D+E= 揭示思路：从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”结合图形，连CD，立即可发现，B+E=1+2A+B+C+D+E=A+ACD+ADC=180°（三角形内角和定理）3.教材p83例5可归纳出一个定理：_.。五专题检测 填空1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于_度。2、ABC中，A=B

9、+C，这个三角形是三角形。3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。4、三角形的三个内角中最多有个锐角，最多有个直角，个钝角。5、一个三角形的最大内角不能超过度，最小内角不能大于度。6、已知三角形的一个外角是88°，按角分，这个三角形是（）7、已知ABC，若A=50°B=60°, 则C=_。若A=50°B = C , 则C =_.若A=50°，B-C=10°，则B =_ 若A+B=130°，A-C=25°，则A =_，B =_，C=_。已知：C=2B，B比A大20°，A=_,B=_,C=_。9、在ABC中

10、，A是B的2倍，C比A+B还大30°，求C的外角。9、ABC中，A=40°，B=60°，则与C相邻的外角等于_10、ABC中，B=C=50°，AD平分BAC，则BAD=_. 选择11、已知，在ABC中与最大的内角相邻的外角是120°，则这个三角形是()A、等边三角形B、等腰三角形C、不等边三角形D、等腰直角三角形12、ABC中，ABC=123，则B=（）A、30° B、60° C、90°D、120°13、一个三角形有一内角大于其相邻的外角，这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、斜三角形